2021年高三数学第三次联考(12月)试卷 理

2021年高三数学第三次联考（12月）试卷 理
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、已知集合{}(){}
222230,log 1,=A x x x B x x x A B =--≤=->⋂则( )
A. B. C. D. 2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知函数的值域为，则a 的值是（ ）
4.在等比数列中，，，则( ）
A ．-9 B. -6 C.6 D.9
5、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）
A ．
6、在矩形ABCD 中，AB ＝22，BC ＝4，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若AB →·AF →＝22，则AE →·BF →的值是( )
A.2 2 B ． 2
C ．0
D ．1
7. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若 ，则的大小关系( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9、已知＞0，函数上单调递减．则的取值范围是（ ）
10.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差
数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前xx 项和＝( )
11. 定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）
A． B． C． D．
12.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且,
则△ABC的面积最大值为（）
二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置).
13.已知等差数列中，，则
14直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的正弦值为
15. 已知变量满足,则的最大值为
16. 在数列{a n}中，a1＝1，a n＋2＋(－1)n a n＝1.记S n是数列{a n}的前n项和，则S200＝
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（本题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和，证明
18、（本题满分12分）
如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于
（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．
19. （本题满分12分）
已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<<π
2
)的部分图象如图所示，P是
图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝5，PQ＝13.
(1)求函数y＝f(x)的对称轴方程；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．
20. （本题满分12分）
已知函数．
（1）求函数处的切线方程。

（2）若曲线与有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．
21．（本题满分12分）设函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果对于任意的，都有成立，试求a 的取值范围．
请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
选修4—4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
ρsin 2
θ＝2cos θ，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)证明|PM |，|MN |，|PN |成等比数列．
选修4—5：不等式选讲
23、设函数的最小值为．
（1）求；
（2）已知两个正数满足求的最小值．
“四地六校”联考
xx学年上学期第三次月考
高三理科数学参考答案
一、选择题：1-12 ACCDB ACDCA BB
二、填空题：13. 14. 15.16.5100
17.解：（1）由题意，，成等差数列，，
当时……………………1分
当时……………………2分
两式相减得由为正项数列，……………………4分
因此数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．即……………6分（2）证明由（1）知……………………7分
……………………8分
则
111111
11
22311
n
T
n n n
=-+-++-=-
++
，……………………11分
即……………………12分
18（1）证明：∵平面平面ABCD，
平面平面，
，，∴平面ABCD，……………………1分
又平面ABCD，．
平面ABCD，为BE与平面ABCD所成的角，
设，则，
在中，，，……………………3分
在直角梯形ABCD中，，
在中，，
，，……………………4分
又，平面BDE，
又，∴平面平面．……………………6分
(2)解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，……………………7分
则(000)(2,0,0),(220)(202)(040)(002)D A B F C E ，，，，，，，，，，，，，，，
取平面CDE 的一个法向量，……………………8分
设平面BDF 的一个法向量，
则即令，则，
所以．………………10分、
设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为，
则，……………………11分
所以平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值是．……………………12分
19.解：(1)由条件，cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）
22×4×5＝55，……………………1分 所以P (1，2)．所以A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6
.将点P (1，2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝1，……………………3分 因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
x ＋π3.……………………4分 函数y ＝f (x )的对称轴方程为
即对称轴方程是（）……………………6分
(2)由题意，可得g (x )＝2sin π6
x . …………………7分 所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6
x ＝1－cos
π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.……………………9分 当x ∈[0，3]时，π3x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.……………………11分 所以函数h (x )的值域为[0，3]．……………………12分
20解：（Ⅰ）∵函数，
∴f'（x ）=x 2﹣3x+2，……………………1分
f'（3）=2，……………………3分
在处的切线方程是…………………4分
即…………………5分
（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即，
∴，
设g（x）=，……………………7分
∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，
∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，
当0＜x＜3时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，………9分
∵，
即……………………11分
画出函数g（x）的大值图象如右图，
∴实数m的取值范围为．……………………12分
21.（Ⅰ）
函数的定义域为，，………………1分
当时，，函数在区间上单调递增；…………2分
当a>0时，若，则，函数单调递增；……………3分
若，则，函数单调递减；………………4分
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．………………5分（Ⅱ），，
可见，当时，，在区间单调递增，……6分
当时，，在区间单调递减，……7分
而，所以，在区间上的最大值是1，
依题意，只需当时，恒成立，
即恒成立，亦即；……8分
令，
则，显然，
当时，，，，
即在区间上单调递增；……10分
当时，，，，上单调递减；
所以，当x=1时，函数取得最大值，……11分
故，即实数a的取值范围是……12分
22.解：(1)把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2cos θ，得y 2＝2x ……2分 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22
t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，……4分 ∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2
＝2x ，x －y －2＝0. …5分
(2)证明将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2x ， 整理得t 2－102t ＋40＝0. ……7分
设t 1，t 2是该方程的两根，
则t 1＋t 2＝102，t 1·t 2＝40，
∵|MN |2＝(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝40……8分
|PM |·|PN |= t 1·t 2＝40，∴|MN |2==PM |·|PN |……9分
∴|PM |，|MN |，|PN |成等比数列……10分
23解：（I ）函数3-,2
211()11=2,2122
3,12x x f x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=++--+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
，……3分 当x ∈（﹣∞，1]时，f （x ）单调递减；
当x ∈[1，+∞）时，f （x ）单调递增，……4分
所以当x=1时，f （x ）的最小值a=．……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2+n 2=，由m 2+n 2≥2mn ，得mn ≤，∴≥……7分
故有 +≥2≥，当且仅当m=n=时取等号．……9分
所以+的最小值为．……10分y• 27766 6C76 汶u37589 92D5 鋕37143 9117 鄗33124 8164 腤*!C38482 9652 陒`27404 6B0C 欌。