高二数学人教A版选修2-1课件:2.2.2 椭圆的简单几何性质

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或������2
25
+
2������02 =1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)∵椭圆的长轴长是 6,cos∠OFA=23,
∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点). ∴|OF|=c,|AF|=a=3.
∴������
3
=
23.∴c=2, b2= 32- 22= 5.
∴椭圆的方程是������2
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12
轴长 焦点
长轴长为 2a,短轴长为 2b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
焦距 对称性
2c 对称轴为 x 轴和 y 轴,对称中心为原点
离心率
e=c ,其中 c= a2-b2
a
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12
求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴长、短轴长、离心率以及焦点和 顶点的坐标.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
由 e= 23,得
������+2 ������+3
=
23,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为
x2+
������2
1
=1,
4
∴a=1,b=12,c= 23. ∴椭圆的长轴和短轴的长分别为 2 和 1,两焦点坐标分别为
F1
-
3 2
,0
和 F2
3 2
,0
,四个顶点分别为
A1(-1,0),A2(1,0),B1
9
+
������2 5
=1
或������2
5
+
������2 9
=1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若椭圆的短轴长为 4 5,它的一个焦点是(0,2 15),则该椭圆的
标准方程为
.
答案:���8���02 + 2������02=1
解析:依题意椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=2 15,又知 2b=4 5,所以
故所求椭圆标准方程为 ������2
148
+
3������72 =1
或������2
52
+
1������32 =1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)当椭圆焦点在 x 轴上时,∵过 P(3,0),∴a=3.
又������
������
=
36,∴c=
6.
∴b2=a2-c2=3.此

椭圆的标
准方程为������2
一 二三
知识精要
典题例解
解:(1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2=12(x-4),
即 y=12x.由
������
=
1 2
������,
������2 36
+
������2 9
=
1,
可得 x2-18=0,
若设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=0,x1x2=-18.
迁移应用
于是|AB|=
焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交
点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是(
)
A.
2 4
B.12
答案:C
C.
2 2
D.
3 2
一 二三
知识精要
典题例解
解析:由题意知 A(a,0),B(0,b),P
-������,
±
������2 ������
一 二三
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典题例解
迁移应用
【例 3】
已知椭圆 ������2
36
+
������2 9
=1
和点
P(4,2),直线
l
经过点
P
且与
椭圆交于 A,B 两点.
(1)当直线 l 的斜率为12时,求线段 AB 的长度;
(2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 思路分析:对于(1),可先写出直线 l 的方程,再与椭圆方程联立, 根据两点间距离公式以及根与系数的关系求解;对于(2),可设出直线 l 的斜率得到直线的方程,然后利用根与系数的关系或“点差法”求 解.
提示:把已知方程化
为标准方程为������2
25
+
���1���62 =1,这里
a=5,b=4,c= 25-16=3.因此,椭圆的长轴长为 2a=10,短轴长为 2b=8,
离心率为 e=������������ = 35,焦点坐标为 F1(-3,0),F2(3,0),椭圆的四个顶点坐标 分别为 A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4).
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
解:(1)把方程
4x2+9y2=36
化成������2
9
+
������2 4
=1,
则其焦距为 2 5.由题意知������������ = 55,而 c= 5,
∴a=5,b2=a2-c2=52-5=20.
∴所求椭圆的方程为������2
25
+
���2���02 =1
������2 1-������2
,能对
一 二三
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典题例解
迁移应用
一、椭圆的简单几何性质
1.椭圆的范围 椭圆的范围决定了椭圆的大小,它位于四条直线x=±a,y=±b围成的矩形内,即-a≤x≤a,-b≤y≤b.椭圆的范 围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时,常常涉及.
一 二三
知识精要
9
+
������2
3 =1.
当椭圆焦点在 y 轴上时,∵过 P(3,0),∴b=3.
又������
������
=
36,∴
������2 -������2
������ =
36,∴a2=27.
此时椭圆的标准方程为������2
27
+
������2
9 =1.
故所求椭圆的标准方程为������2
9
+
������2 3
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12
������ ������

������������的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么?
提示:可以,利用������������ =
������2 -������2
������ =
椭圆的扁平程度进行刻画.
1-������2 或
������ ������
=
������ =
������2 -������2
2
,∴m=3.
当焦点在 y 轴上时,a2=m,b2=5,
∴c2=a2-b2=m-5.
又∵e= 510,∴���������-���5 =
10 5
2 ,∴m=235.
故 m=3 或 m=235.
一 二三
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迁移应用
一 二三
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典题例解
迁移应用
1.从椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左
若设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=321���+���24-���1���26������,由于 AB 的中点恰好为 P(4,2),
所以������1 +������2
2
=
116+������24-������82������=4,解得
(������1-������2 )2 + (������1 -������2 )2=
(������1 -������2 )2
+
1 4
(������1 -������2 )2
=
5 2
(������1 + ������2)2-4������1 ������2 = 25×6 2=3 10.
所以线段 AB 的长度为 3 10.
+
������2
������2=1
或������������22
+
������2
������2=1(a>b>0).
由已知得 a=2b.

∵椭圆过
P(2,-6),∴���4���2
+
3������62 =1
或3������62
+
4 ������2
=1.

由①②得 a2=148,b2=37 或 a2=52,b2=13.
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12
1.椭圆的几何性质与特征
焦点的位置 焦点在 x 轴上
图形
标准方程 范围 顶点
x2 a2
+
yb22=1
-a≤x≤a,-b≤y≤b
A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)
焦点在 y 轴上
y2 a2
+
x2 b2
=1
-b≤x≤b,-a≤y≤a
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解:椭圆方程可化为������������2
+
������2
������ =1,
������+3
∵m-���������+��� 3 = ���������(������+���+32)>0,∴m>���������+��� 3.
∴a2=m,b2=���������+��� 3,c= ������2-������2 = ���������(������+��ห้องสมุดไป่ตู้+32).
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2.椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比������������称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 e=������������.
因为 a>c>0,所以 0<e<1,e 越接近 1,则 c 越接近 a,从而 b= ������2-������2 越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 越接近于 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.
一 二三
3.椭圆的离心率
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迁移应用
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典题例解
迁移应用
【例 1】
已知椭圆������2
5
+
������2 ������
=1
的离心率
e=
510,求 m 的值.
解:当焦点在 x 轴上时,a2=5,b2=m,
∴c2=a2-b2=5-m.
又∵e=
10
5,
∴5-������
5
=
10 5
,
∵AB∥OP,∴P
-������,
������2 ������
.
∴-���������������2���=-������������.∴b=c.
∵a2=b2+c
2,∴e2=
������2 ������2
=
12.
∴e= 22.故选 C.
迁移应用
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迁移应用
2.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 23,求 m 的值及椭
一 二三
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典题例解
(2)方法一:由题意知,直线 l 的斜率显然存在. 设 l 的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x-4).
迁移应用
联立
������2 36
+
������2 9
=
1,
消去 y 得
������-2 = ������(������-4),
(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.
=1
或������2
27
+
���9���2=1.
一 二三
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典题例解
迁移应用
三、直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系的方法: 解由直线的方程和椭圆的方程组成的方程组. (1)当方程组无解时,直线与椭圆无交点,即直线与椭圆相离;(2)当方程组只有一组解时,直线与椭圆只有一个 交点,即直线与椭圆相切;(3)当方程组有两组解时,直线与椭圆有两个交点,即直线与椭圆相交.
b=2
5,于是
a2=b2+c2=
80,所
以椭圆的标
准方程是������2
80
+
2������02 =1.
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典题例解
迁移应用
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且过 P(2,-6);
(2)椭圆过 P(3,0),且 e= 36.
解:(1)设椭圆标准方程为������������22
2.2.2 椭圆的简单几何性质
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学习 目标
重点 难点
1.能说出椭圆的几何性质. 2.会分析椭圆标准方程中 a,b,c,e 的几 何意义,以及 a,b,c,e 之间的相互关系. 3.能利用椭圆的方程研究椭圆的几 何性质. 重点:利用椭圆的标准方程研究椭圆 的几何性质. 难点:椭圆几何性质的应用.
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迁移应用
【例 2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 55; (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA=23. 思路分析:根据椭圆的几何性质,正确运用 a,b,c,e 四个参数之间 的相互关系,确定椭圆的标准方程.
典题例解
迁移应用
2.椭圆方程������������22 + ������������22=1(a>b>0)中 a,b,c 的几何意义
在方程������������22 + ������������22=1(a>b>0)中,a,b,c 的几何意义如图所示.即 a,b,c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点构成的直角 三角形.
0,-
1 2
,B2
0,
1 2
.
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迁移应用
二、利用椭圆的几何性质或椭圆的方程
1.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. 2.已知椭圆几何性质求椭圆标准方程的步骤如下: (1)确定焦点所在坐标轴以确定椭圆标准方程的形式;(2)建立关于a,b,c之间的关系式或方程(组)解出a,b的 值;(3)写出椭圆的标准方程. 3.不要忽视椭圆焦点的位置而产生混淆. 强化对标准方程的理解,做题时遵循先定型(方程的形式),后定量(求a,b的值)的原则.
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