上海市奉贤区届高三数学一模试卷文(含解析)

2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b= ．
2．函数的定义域是．
3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=．
4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t= ．
5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为．
6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则
q= ．
7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=
cm．
8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）
9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB
的倾斜角为α，则cosα的值为．
10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a= ．
11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是．
12．在（x++2）4展开式中的常数项是（用数值作答）
13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．
14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取
值范围是．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）
A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]
16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）
A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）
C．＜D．＞
17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）
A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）
C．[﹣5，5）D．前三个都不正确
三、解答题（共5小题，满分60分）
19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，
PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；
（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；
（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．
21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：
①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；
②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）
（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；
（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．
23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；
（1）求证：{a n•b n}是常数列；
（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；
（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．
2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b= 0 ．
【考点】复数的基本概念．
【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，
又i（bi+1）是纯虚数，
则﹣b=0，即b=0．
故答案为：0．
2．函数的定义域是[0，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得函数的定义域．
【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，
解不等式可得x≥0
所以函数的定义域是[0，+∞）
故答案为：[0，+∞）
3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．
【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，
∴=，
即，解得sin∠BAC=，
又•＜0，∴，
∴∠BAC=150°．
故答案为：150°．
4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t= ±\frac{1}{2} ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，
可得渐近线为y=±2x，
直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，
而渐近线的斜率为±2，
由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得
﹣t=±，
即有t=±．
故答案为：±．
5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为 4 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．
【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得： =4x0，解得x0=3．
∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．
故答案为：4．
6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则
q= \frac{1}{2} ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．
【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，
且S n=2，∴=2，解得q=，
故答案为：．
7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=
\frac{3}{2} cm．
【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．
【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，
所以，，所以R=（cm）；
故答案为：．
8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34 ．（用数字作答）
【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，
③由事件间的关系，计算可得答案．
【解答】解：分3步来计算，
①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；
②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，
③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；
故答案为34．
9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB
的倾斜角为α，则cosα的值为\frac{\sqrt{10}}{10} ．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，
cosα=．
【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，
则tanα====3，
∴cosα===．
故答案为：．
10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a= 1 ．
【考点】反函数．
【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．
【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，
∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，
∴f（0）=1﹣a=0，
解得a=1，
∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．
故答案为：1．
11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是[﹣4，2]．．
【考点】交集及其运算．
【分析】把A∩B≠∅转化为线性规划问题，作出可行域，由直线x﹣y+t=0与可行域有交点求得t的范围．
【解答】解：由作出可行域如图，
要使A∩B≠∅，则直线x﹣y+t=0与可行域有公共点，
联立，得B（1，3），
又A（4，0），
把A，B的坐标分别代入直线x﹣y+t=0，得t=﹣4，t=2．
∴﹣4≤t≤2．
故答案为：[﹣4，2]．
12．在（x++2）4展开式中的常数项是70 （用数值作答）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：（x++2）4 =的展开式的通项公式为T r+1=•=•x4﹣r，
令4﹣r=0，求得 r=4，可得展开式中的常数项是=70，
故答案为：70．
13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是\frac{3+\sqrt{3}}{2} ．
【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，
所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，
即：3×=．
故答案为：．
14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取
值范围是（1，3）．
【考点】数列的函数特性．
【分析】数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，解出即可得出．
【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，
∵数列{a n}满足a n+a，且a1=x，
解得a2=6﹣x，a3=4+x．
∴x＜6﹣x＜4+x，
解得1＜x＜3．
故答案为：（1，3）．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）
A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．
【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，
∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，
当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，
∴直线与斜线所成的角为90°，
故选：D．
16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）
A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）
C．＜D．＞
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．
【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．
17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】设z=x+yi，（x，y∈R），代入复数z满足关系=1，化简即可得出．
【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），
∵复数z满足关系=1，
∴x2+y2=1．
则z对应的复平面的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．
故选：A．
18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）
A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）
C．[﹣5，5）D．前三个都不正确
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．
【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，
∴|3x+b|=5﹣9x，
∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，
①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，
其在（﹣∞，0）上单调递减，
故当b≤3时，无解，
当3＜b＜5时，有一个解，
当b≥5时，无解；
②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，
∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，
∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；
当b=﹣时，有一个解；
综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），
故选B．
三、解答题（共5小题，满分60分）
19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，
PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；
（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；
（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．
【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）连接AE，则∠BEA为所要求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则
tan∠BEA=．
【解答】解：（1）延长PE交AC于F，
∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴，
∴F与C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，
∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，
又B是平面PBE和平面ABC的公共点，
∴BC是面PBE与面ABC的交线．
（2）连接AE，
∵AP、AB、AC两两互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角，
∴V B﹣PADE==（1+2）×1×AB=，
∴AB=．
又∵AE==，
∴tan∠BEA==．
∴BE与面PADE所成的线面角为arctan．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组，能求出椭圆方程．
（2）由已得A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），由此能证明点Q（m，n）在定圆x2+y2=
运动．
【解答】（1）解：∵椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，
∴，解得a=2，b=1，c=，
∴椭圆方程为．
（2）证明：∵A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点，
∴A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），
则+y02=1．由，得，
∴+（m+n）2=1，故点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．
21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：
①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；
②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）
（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；
（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．
【解答】解：（1）由条件①，得，
∵PA=5x，∴PB=3x，
则，
可得；
（2）由同角的平方关系可得，
所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，
=，
∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，
所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．
即选址应满足千米，千米．
22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；
（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．
【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．
【分析】（1）使用分析法证明；
（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；
（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．
【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，
欲证：，
只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），
即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，
只需证：x2＞x1，
显然x2＞x1成立，
∴．
（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1
=lg+log3=lg﹣log．
∵0＜x1＜x2，
∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，
∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．
（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，
∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，
∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．
∴13447＜（n﹣107）2≤13456．
∵115＜＜116， =116，n∈Z，
∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．
∴集合M有两个元素．
∴集合M有4个子集．
23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；
（1）求证：{a n•b n}是常数列；
（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；
（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】（1）化简可得b n+1=2，从而可得a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，从而证明；
（2）由题意知a n+1=a n+b n＜a n，从而求得；
（3）化简可得a n+1=+，从而可得===（）2，从而可得数列{c
}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得．
n
【解答】解：（1）证明：∵=+=（），
∴b n+1=2，
∴a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，
∴{a n•b n}是常数列；
（2）∵{a n}是递减数列，
∴a n+1=a n+b n＜a n，
∴a n＞b n，
∴a1＞b1．
（3）∵a1=4，b1=1，∴a n•b n=4，
∴a n+1=a n+b n=a n+=+，
∴===（）2，
∴log3=log3（）2=2log3，
即c n+1=2c n，
又∵c1=log3=1，
故数列{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴c n=1•2n﹣1=2n﹣1．。