中考数学矩形的折叠中的距离或线段长度问题专题练习

中考数学矩形的折叠中的距离或线段长度问题专题练习
【典例】在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A
落在BC 边上的A’处，折痕为PQ ，当点A’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随
之移动. 若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A’在BC 边上可移动的最大距
离为
.
A D (Q )C
B P
A'
5534 A D
C B (P )A'Q 332图例1-1 图例1-2 图例1-3
【解析】此题根据题目要求准确判断出点A '的最左端和最右端位置.当点Q 与点D 重合时，
A '的位置处于最左端，当点P 与点
B 重合时，点A '的位置处于最右端. 根据分析结果，作
出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA '或CA '的长度，二者之差即为所求.
①当点Q 与点D 重合时，A '的位置处于最左端，如图例1-2所示.
确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'Q =AQ ，所以以点Q 为圆心，以AQ 长
为半径画弧，与
BC 的交点即为点A '. 再作出∠
A 'QA 的角平分线，与A
B 的交点即为点P .
由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，
'4
A C ===②当点P 与点
B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A '的位置
方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的
交点即为点A '. 再作出∠A 'PA 的角平分线，与AD 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，
AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.
综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.
【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A的落点A'，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.
1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把
△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（）
A．2B．C．2D．2
【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．
【解析】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB
∴A'A=A'B，由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP，∴△ABA'是等边三角形，
==
∴∠ABP=30°，∴AP=；
②如图，当A'D=DC时，A'D=2
由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'D=2+2=4
连接BD，则R t△ABD中，BD，∴
=
A '
B +A 'D ＜BD （不合题意）
故这种情况不存在；
③如图，当CD =CA '时，CA '=2
由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处
此时，∠ABP =∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．12
综上所述，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为
或2．故选C .【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图
形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．
2、矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折
叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为( )
A ．3
B ．
C ．2或3
D ．3或3
23
2
【分析】当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B ′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC ，先利用勾股定理计算出AC =5，根据折叠的性质得∠AB ′E =∠B =90°，而当
△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折
叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB =EB ′，AB =AB ′=3，可计算出CB ′=2，
设BE =x ，则EB ′=x ，CE =4-x ，然后在R t △CEB ′中运用勾股定理可计算出x ．
②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示．此时ABEB ′为正方形．
【解析】当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B ′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC ，在R t △ABC 中，AB =3，BC =4，∴
AC ，
∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，∴∠AB ′E =∠B =90°，
当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，
∴点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，∴EB =EB ′，
AB =AB ′=3，
∴CB ′=5-3=2，设BE =x ，则EB ′=x ，CE =4-x ，
在R t △CEB ′中，∵EB ′2+CB ′2=CE 2，∴x 2+22=（4-x ）2，解得x =，∴BE =；3232
②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示．此时ABEB ′为正方形，∴BE =AB =3．
综上所述，BE 的长为或3．故选D ．32
【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考
查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝3，将△ABC 沿对角线AC 折叠，点B 恰
3好落在点P 处，CP 与AD 交于点F ，连接BP 交AC 于点G ，交AD 于点E ，下列结论不正确的是( )
A ．
B ．△PB
C 是等边三角形PG CG =13
C ．AC ＝2AP
D ．S △BGC ＝3S △AGP
【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC 的长度，进而求出∠ACB ＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP 为等边三角形；运用射影定理求出线段CG 、AG 之间的数量关系，进而证明选项A 、B 、C 成立，选项A 不成立.
【解析】如图，∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC ＝90°；由勾股定理得：AC 2＝AB 2+BC 2，而AB ＝，BC ＝3，∴AC ＝2，AB ＝AC ，
3312∴∠ACB ＝30°；由翻折变换的性质得：BP ⊥AC ，∠ACB ＝∠ACP ＝30°，BC ＝PC ，AB ＝AP ，BG ＝PG ，∴GC ＝BG ＝PG ，∠BCP ＝60°，AC ＝2AP ，∴△BCP 为等边三角形，
33故选项B 、C 成立，选项A 不成立；
由射影定理得：BG 2＝CG •AG ，∴AG ＝BG ，CG ＝3AG ，∴S △BCG ＝3S △ABG ；
33由题意得：S △ABG ＝S △AGP ，∴S △BGC ＝3S △AGP ，故选项D 正确；故选：A ．
【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
4、如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折
ABCD 5AB =3BC =P BC CDP ∆DP 叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的值
C E PE DE AB O F OP OF =AF 为_____________．
【分析】由矩形的性质和已知条件，可判定,设，根据
OP OF =OEF OBP ∆≅∆EF x =全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在根据
Rt ADF ∆勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值.
【解析】四边形ABCD 是矩形, ,,
∴5CD AB ==3AD BC ==
90B C A ︒∠=∠=∠= 是由沿折叠而来的，, ,
DEP ∆CDP ∆DP ∴5DE CD ==EP CP =90E C ︒
∠=∠=，又 ，
B E ∴∠=∠,FOE POB OP OF ∠=∠= （AA S ）
∴OEF OBP ∆≅∆，
,EF BP OE OB ∴==BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设,则 ，
=EF BP x =5,3DF x BF CP x =-==-5(3)2AF AB BF x x
∴=-=--=+在中，根据勾股定理得： ,即Rt ADF ∆222AD AF DF +=2223(2)(5)
x x ++=-解得 故答案为：67x =620277AF ∴=+=207
【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的
判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解
题的关键.
5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿
CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．
【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；
【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x
在R t△ABC中，由勾股定理得：AC
在R t△EBC中，由勾股定理得:EC
由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF
【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.
6、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．
【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，
∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，
在R t△BCE中，EC==，∴CF＝CE＝，
∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝，
当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，
∴DF＝CD+CF′＝，故答案为或．
【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．
7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边
OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.
【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，
∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，
∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，
在R t△A′CD与R t△DBA中，，
∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，
∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，
【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”
8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，
又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，
∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，
根据勾股定理得，CF===．故答案为：．
9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=　5　．
【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，
∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，
在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：5
10、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为　5或　．
【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1
此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．
又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．
②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则
NH=4．
根据折叠的对称性可知EN=BN=5，
∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．
设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，
在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．
故答案为5或．
11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于
点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当
⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是 ．
【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，
由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，
∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，
∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，
∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，
在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），
∴AB=8x=．故答案为：．
12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为
半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=　2　，⊙O半径= ．
【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，
∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，
在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，
∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，
∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，
在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，
∴AD=2，
设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，
在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，
即⊙O的半径为．故答案为2，．
13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为　
18　°．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，
AD=10，求CG的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，
由折叠的性质得：∠DAE=∠FAE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，
由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴
CF=BC﹣BF=10﹣8=2，
设CE=x，则EF=ED=6﹣x，
在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，
由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，
在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，
则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，
在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG 的长为．。