2019版高考数学 二十 3.3三角函数的图象与性质

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课时分层作业二十
三角函数的图象与性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,
则ω= ( )
A.1
B.±1
C.2
D.±2
【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.
【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.
2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是
( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在内单调递减
【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.
3.函数y=-2cos2+1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的非奇非偶函数
【解析】选A.y=-2cos2+1
=-+1=sin 2x.
4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )
【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.
【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.
5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)
在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为π<x<,
所以ωπ-<ωx-<-,
由正弦函数的单调性可得
即也即
所以≤ω≤.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.
【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.
答案:2
7.函数y=的定义域为________.
【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).
答案:,k∈Z
8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.
【解析】设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤. 所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;
当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.
【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+
cos 2x=sin,所以T==π.
(2)令t=2x+,因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤,
因为y=sin t在上递增,
在上递减,且sin<sin ,
所以f(x)≥sin=-,得证.
10.已知f(x)=sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.
(2)求f(x)的单调递增区间.
(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=sin,
令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)当x∈时,≤2x+≤,
所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈
时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )
A. B.2 C. D.
【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,
所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,
所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,
即ω2≤,即ω2=,所以ω=.
2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈
R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx
=2sin.
由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,
所以函数f(x)的最小正周期T=,
所以ω==4.
3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数
f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.
【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.
因为|φ|<,所以φ=,
即f(x)=sin.
故f=sin=cos=.
答案:
4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).
所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),
展开整理得sin 2xcos φ=0,
由已知上式对∀x∈R都成立,
所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.
(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),
故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),
又因为0<φ<,所以φ=,
即f(x)=sin,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得
kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故f(x)的递增区间为.
5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.
(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.
(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,
所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.
①当a>0时,
所以a=3-3,b=5.
②当a<0时,
所以a=3-3,b=8.
综上所述,a=3-3,b=5
或a=3-3,b=8.
【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数的最大值及相应的x值集合.
(2)求函数的单调区间.
(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.
【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,
即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;
故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为
.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k ∈Z. 由+2k π≤2x-≤
+2k π,k ∈Z 得+k π≤x ≤+k π,k ∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为
,k ∈Z.
(3)由2x-=+k π,k ∈Z
得x=+k π,k ∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴为 x=+k π,k ∈Z.
由2x-=k π,k ∈Z 得x=+k π,k ∈Z, 即对称中心为,k ∈Z.
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