高三数学第二轮复习专题 集合与简易逻辑简易逻辑 (教案及测试;含详解答案)

1.2城东蜊市阳光实验学校简易逻辑考纲解读：
1.理解逻辑联结词“或者者〞、“且〞、“非〞的含义，并能用逻辑联结词正确表达相关内容；
2.理解命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题之间的关系.能利用互为逆否命题是等价命题
来断定有关命题的真假.
3.理解充分、必要、充要条件的意义，并会断定命题P是命题Q的什么条件.
考点回忆：
逻辑是研究思维形式及规律的一门根底学科，根本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在近年高考中，本节以考察四种命题、逻辑联结词为主，难度也比较小；预计在2021年高考中本节内容仍会有所表达，题型以选择题为主，另外，本节知识可以作为工具考察三角、立体几何、解析几何等的知识点，平时学习要注意这些知识的联络与应用.
根底知识过关：
逻辑联结词：
1.命题：
〔1〕、定义：可以的语句叫命题.
〔2〕、分类：按命题的正确与否，命题可分为、.
按是否含有逻辑联结词命题可分为、.
2.逻辑联结词：这些词叫做逻辑联结词.
3.根据真值表判断命题的真假：
〔1〕、非P形式的复合命题：当P为真时，非P为，当P为假时，非P为.
〔2〕、P且q形式的复合命题：当p、q都为真时，p且q为；
时，p且q为假.
〔3〕、P 或者者q 形式的复合命题：当p 或者者q 至少有一个为真时，p 或者者q 为；当时，p 或者者q 为假.
四种命题
1、四种命题：原命题：假设p 那么q ，那么逆命题为；否命题为
；逆否命题为.
2、四种命题的关系：假设原命题为真，那么它的逆否命题；原命题与它的逆否命题；同一个的命题的逆命题和否命题.
3、反证法：欲证“假设p 那么q 〞为真命题，需从否认其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而断定原命题为真，这样的方法称为反证法．
充要条件
1、 从逻辑关系上看：
〔1〕、假设p q ⇒，但q
p ，那么p 是q 的条件； 〔2〕、假设q p ⇒
，但p q,那么p 是q 的条件； 〔3〕、假设p q ⇒且q p ⇒，那么p 是q 的条件；
〔4〕、假设p
q 且q p ，那么p 是q 的条件. 2、从集合与集合之间的关系看：
〔1〕、假设
A B ⊆,那么A 是B 的条件； 〔2〕、假设A B ⊇，那么A 是B 的条件；
〔3〕、假设A=B,那么A 是B 的条件；
〔4〕、假设B A A B 且,那么A 是B 的条件.
答案：
逻辑联结词：
1.〔1〕、判断真假
〔2〕、真命题假命题简单命题复合命题
2、或者者且非
3、〔1〕、假真
〔2〕、真当p 或者者q 至少有一个为假
〔3〕、真当p 和q 都为假
四种命题：
1、假设q 那么p 假设p q
⌝⌝则q p ⌝⌝若则
2、真等价等价
3、结论
充要条件：
1、〔1〕、充分不必要
〔2〕、必要不充分
〔3〕、充要
〔4〕、既不充分也不必要
2、〔1〕、充分不必要
〔2〕、必要不充分
〔3〕、充要
〔4〕、既不充分也不必要
高考题型归纳：
简易逻辑
题型1.判断复合命题的真假
此类问题主要是考察真值表的应用，常以选择题的形式出现。

例1.以下各组命题中，满足“p 或者者q 〞为真，“p 且q 〞为假，“非p 〞为真的是 〔〕
A ．p:0＝∅；q:0∈∅
B ．p ：在∆AB
C 中，假设cos2A ＝cos2B ，那么A ＝B ；:q y ＝sinx 在第一象限是增函数
C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为
()0,∞- D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆1342
2=+y x 的一条准线方程是x ＝4
分析：分别判断出个选择项中简单命题的真假既得.
解析：由条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；应选(C)
点评：解决此类问题的关键是第一步确定命题p 、q 的真假，假设这一步弄错了，那么第二步根据真值表确定“p 或者者q 〞“p 且q 〞“非p 〞的真假就没有了保障，因此，这两步都必须准确无误.
题型2.四种命题
此类问题主要考察学生能否根据原命题正确写出其它三个命题的才能，并根据命题间的关系准确断定其真假。

例2.分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1)假设q<1，那么方程220x x q ++=有实根；
(2)假设ab ＝0，那么a ＝0或者者b ＝0；
(3)假设220x y +=，那么x 、y 全为零.
分析：根据四种命题的关系，正确写出其它几个命题是解题关键，判断真假的时候可以对每个命题单独断定，也可以应用等价关系间接断定.
解析：(1)逆命题：假设方程220x x q ++=有实根，那么q ＜1，为假命题．否命题：假设q≥1，那么
方程220x x q ++=无实根，为假命题．逆否命题：假设方程220x x q ++=无实根，那么q≥1，为真命题．
(2)逆命题：假设a ＝0或者者b ＝0，那么ab ＝0，为真命题．
否命题：假设ab≠0，那么a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：假设a≠0且b≠0，那么ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：假设x 、y 全为零，那么220x
y +=，为真命题． 否命题：假设22x y +≠0，那么x 、y 不全为零，为真命题．
逆否命题：假设x 、y 不全为零，那么22x y +≠0，为真命题．
点评：四种命题问题，要注意分清原命题的条件和结论，特别是对于含有逻辑联结词的问题，在写否命题的时候要注意改变.而且要弄清否命题与命题的否认的区别.
题型3.充要条件
充分条件与必要条件是四种命题关系的深化，应当深化领会充分、必要、充要条件的内涵，尤其是“必要条件〞，这一概念较难理解，可借助“逆否命题〞的概念来帮助理解，一个结论成立的条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个.
例3.以下各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由．
1．A ：
R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根； 2．A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=；
3．A ：132>-x ；B ：0
61
2>-+x x ；
4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：
.)(2222r b a c += 分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．
解析：(1)当
2≥p ，取4=p ，那么方程0742=++x x 无实根；假设方程+2x 03=++p px 有实根，那么由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或者者≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件．
(2)假设πβαk 2=+那么βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又 所以βαβαsin sin )sin(+=+成立
假设βαβαsin sin )sin(+=+成立取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，
故A 是B 的充分不必要条件．
(3)由21132><⇒>-x x x 或，由0
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2>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，
故A 是B 的必要非充分条件．
(4)直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的间隔r d =，即22b a c
+＝2c r ⇔＝
222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.
点评：对充分条件的断定要分清条件和结论，而且对于必要不充分或者者者充分不必要条件的断定假设考虑不全，那么往往出现错误的结果或者者者变成了充要条件.
题型4.反证法
反证法的第一步为否认结论，需要掌握常用词语的否认〔如“至少〞等〕，而且推理过程中，一定要把否认的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：〔1〕假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；〔2〕从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；〔3〕由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．
例4. 假设a ，b ，c 均为实数，且a ＝2x －2y ＋2π，b ＝
2y －2z ＋3π，c ＝2z －2x ＋6π
．求证：a 、
b 、
c 中至少有一个大于0． 分析：此题主要考察反证法，首先要正确的作出假设〔否认结论〕:a 、b 、c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤. 证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，那么0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++
-=++x z z y y x c b a
＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x
0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．
00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．
点评：正确地作出反设〔即否认结论〕是正确运用反证法的前提，要注意一些常用结论否认形式，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立.
过关训练：
简易逻辑〔A 版〕
(一)选择题
1．以下语句中是命题的是〔〕
A ．集合与简易逻辑
B ．你学过逻辑知识吗？
C ．ax2＋bx ＋c
D ．0属于自然数集N
2．否认结论“至多有两个解〞的说法中，正确的选项是〔〕
A ．有一个解
B ．有两个解
C ．至少有两个解
D ．至少有三个解
3．在以下各组命题“p 或者者q 〞、“p 且q 〞、“非p 〞形式的复合命题中，p 或者者q 为真，p 且q 为假，非p 为真的是〔〕
A ．p ：3是质数；q ：2不是质数也不是合数
B ．p ：2×8＝10；q ：－1的倒数还是－1
C ．p ：空集的子集是空集q ：设A 是任一集合，那么
A
D ．p ：Z Rq ：N N* 4．命题“不等式x2－x －6＜0的解是－2＜x ＜3〞中，使用的逻辑联结词是〔〕
A ．或者者
B ．且
C ．非
D ．没有使用逻辑联结词
5．原命题：“假设xy＝－1，那么x、y互为负倒数〞，那么〔〕
A．逆命题为真，否命题假，逆否命题真
B．逆命题为假，否命题真，逆否命题真
C．逆命题为真，否命题真，逆否命题假
D．逆命题为真，否命题真，逆否命题真
6．以下说法中，正确的个数是〔〕
①一个命题的原命题为真，它的逆命题也一定为真；
②一个命题的原命题为假，那么它的逆否命题一定为真；
③假设一个命题的否命题为真，那么这个命题不一定为真；
④假设一个命题的逆命题为真，那么这个命题的否命题也一定为真
A．1个B．2个
C．3个D．4个
7．b2－4ac＞0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的〔〕
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．设集合A，B及全集S，以下命题①A∩B＝A②A∪B＝B③A∩(CSB)＝④(CSA)∪B＝S中与命题A B等价的有〔〕
A．1个B．2个
C．3个D．4个
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是〔〕
10．h＞0，设命题p：两个实数a、b满足|a－b|＜2h
命题q：两个实数a、b满足|a－1|＜h且|b－1|＜h，那么〔〕
A ．p 是q 的充分而不必要条件
B ．p 是q 的必要而不充分条件
C ．p 是q 的充要条件
D ．p 不是q 的充分条件也不是q 的必要条件
11.设x 是实数，命题P ：x>0,命题Q ：2
x >0,那么p Q ⌝⌝是的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.假设x 、y 是实数，那么“xy>0〞是“|x+y|=|x|+|y|〞的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(二)填空题
13.反证法证明命题：“假设a 、b∈N*，a 、b 可以被7整除，那么a 、b 中至少有一个能被7整除〞，那么假设的内容应是________． 14.A 和B 是两个命题，假设A 是B 的充分条件，那么B 是A 的________条件，A 是
B 的________
条件． 15.“正数或者者零可以方〞是由简单命题p ：________和q ：________构成的________形式的复合命题．
16.|x －1|＜ε(ε＞0)的充要条件是________．
(三)解答题
17.设命题p ：〔4x-3〕2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,假设⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.
18.求关于x 的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.
19.设p ：实数x 满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x2-x-6≤0，或者者x2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求a 的取值范围.
20.(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？假设存在，求出p 的取值范围； 〔2〕是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件？假设存在，求出p 的取值范围.
21.0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，假设p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．
22.a 与b 均为有理数，且a 和b 都是无理数，证明a +b 也是无理数。

答案与解析
(一)选择题
1．解：根据命题定义，能判断真假的只有第四个.
答案：D
2．解：至多有n 个〞的否认是“至少有n ＋1个.所以致多有两个解得否认式至少有三个解.
答案：D
3．解：由题意p 或者者q 为真，p 且q 为假，非p 为真可知，只要找p 假q 真的一组即可，显然只有B 符合条件.
答案：B
4．解：不等式a ＜x ＜b 是指“x＞a 且x ＜b 〞
答案：B
5．解：逆命题与否命题同真同假即，一个命题的逆命题与否命题等价.并且原命题为真，那么可判断D 正确.
答案：D
6．解：互为逆否的两个人命题是等价的，而一个命题的真假和它的逆命题或者者者否命题之间没有根本的联络.
答案：B
7．解：假设b2－4ac ＞0，那么方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个不等实根，而假设方程
ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有实根，那么b2－4ac ≥0，所以b2－4ac ＞0是方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有实根的充分不必要条件.
答案：A
8．解：利用文氏图显然可知，四个结论均正确。

答案：D
9.解：因为21253032x x x --<⇔-<<，故要找P=132x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
的必要不充分条件，即找集合Q,使P Q ⊆,那么P Q ⇒而Q
P. 答案：D
10．解：因为|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|,所以假设|a-1|<h 且|b-1|<h,那么
|a-b|<h,反之那么不一定成立.所以P 是q 的必要不充分条件.
答案：B
11.解：显然
p Q ⇒且Q P ，所以Q P ⌝⇒⌝且P ⌝Q ⌝,所以p Q ⌝⌝是的必
要不充分条件.
答案：B 12.解：由xy>0,知x 、y 同号，那么|x+y|=|x|+|y|，从而xy>0⇒|x+y|=|x|+|y|,而反之
不一定成立，因为x=0,y ≠0时，|x+y|=|x|+|y|成立，但是xy>0不成立，所以“xy>0〞是“|x+y|=|x|+|y|〞的充分不必要条件.
答案：A
(二)填空题
13.解：至少有一个的反面是一个都没有。

答案：a 、b 都不能被7整除．
14.解：根据充分、必要条件的定义以及命题之间的等价即可得.
答案：必要；必要．
15.解：这是一个或者者命题，由正数可以方及0可以方两个简单命题复合而成。

答案：正数可以方；0可以方；p 或者者q ．
16.解：求不等式的充要条件就是解不等式.
答案：1－ε＜x ＜1＋ε
(三)解答题
17.解：设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
易知A={x|21≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤a a
故所务实数a 的取值范围是［0，2
1］. 18.解方法一假设a=0，那么方程变为-x+1=0,x=1满足条件，假设a≠0，那么方程至少有一个正根等价于
01<+a a 或者者⎪⎩
⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或者者⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或者者a>0. 综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.
方法二假设a=0，那么方程即为-x+1=0,
∴x=1满足条件；
假设a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根. 故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++a
a a a a 解得a≤-1, ∴至少有一正根时应满足a>-1且a≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 19.解设A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},
B={x|q}={x|x2-x-6≤0或者者x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或者者x>2}={}
.24|-≥-<x x x 或 方法一∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p
p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 那么{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x |RB={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=RA={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-x x {},0,3|<≥≤a a x a x x 或
那么⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.
0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或 方法二由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，
∴p 是q 的充分不必要条件，
∴A B ，∴a≤-4或者者3a≥-2,又∵a<0,∴a≤-4或者者-3
2≤a<0. 20.解〔1〕当x>2或者者x<-1时，x2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-
,4p 故-4p ≤-1时， “x<-4
p 〞⇒“x<-1〞⇒“x2-x-2>0”.∴p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件. 〔2〕不存在实数p 满足题设要求.
21．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c
不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数
|2|c x x y -+=，在R 上恒大于1
∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2
∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R
2112>⇔>⇔c c ，假设p 正确，且q 不正确 那么210≤<c ，假设p 不正确，且q 正确，那么1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦
⎤ ⎝⎛,121,0． 22.证明：假设a +b 是有理数，那么〔a +b 〕〔a b 〕=a b
由a>0,b>0那么a +b >0即a +b 0
∴b a b
a b a +-=-∵a,b Q 且a +b
Q ∴b a b
a +-Q 即〔a
b 〕Q
这样〔a +b 〕+〔a b 〕=2a Q
从而a Q 〔矛盾〕∴a +b 是无理数。