分解质因数(一).教师版

:i' nf-教学目标
1. 能够利用短除法分解
2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟任何一个数字都可以表示为△☆ △☆ ... △☆的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
例如：30=2 3 5 •其中2、3、5叫做30的质因数•又如12=2 2 3 =22 3，2、3都叫做12的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
（4）.分解质因数的方法：短除法
212
例如：26 , （「是短除法的符号）所以12=2 2 3 ;
3
、唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n二p；1 p；2 p；3川p；k其中为质数,
a1 <a2a k为自然数，并且这种表示是唯一的•该式称为n的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.
分析：•/ 210=2X3X5X7, •••可知这三个数是5、6和7.
三、部分特殊数的分解
111 =3 37 ；1001 =7 11 13 ；11111 =41 271 ；10001 =73 137 ；1995 =3 5 7 19 ；1998 =2 3 3 3 37 ；2007 =3 3 223 ；2008 =2 2 2 251 ；10101 =3 7 13 37.
模块一、分解质因数
【例1】分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空
【解析】原式=2 33 7 53
【答案】2 33 7 53
【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？
【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空
【解析】210分解质因数：210=2 3 5 7，可知这三个数是5、6和7。

【答案】5、6和7 【例3】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空
【解析】111555分解质因数：111555 =3 3 5 37 67 =(3 3 37) (5 67)=333 335，所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 =3 37。

【答案】668
【巩固】已知两个自然数的积是35,差是2,则这两个自然数的和是______________ .
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题
【解析】35=1X35=5X7, 5、7差2，两个自然数的和是5+7=12
【答案】12元
【例4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空
【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题
【解析】11 12 13=1716 , 12 13 14 =2184 , 所以是2184
【答案】2184
【例5】
如果两个合数互
质，它们的最小公倍数是126,那么，它们的和是
【考点】分解质因数【难度】2星【题
型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第3题
【解析】126 =2 32 7，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23 .
【答案】23
【例6】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答
【解析】将360分解质因数得360 =2 2 2 3 3 5，它是6个质因数的乘积•因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为 6 -3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4
个乘数分别为3，3, 5，8,所组成的最大四位数是8533.
【答案】8533
【例7】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答
【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225 =1 13 25 37 49，五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁
【例8】如果两个自然数的和与差的积是23 ,那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题
【解析】根据题意列式子如下： a b a _b =23，因为23分解质因数是1与23，所以a七=23卫_匕=1 , 根据和差关系算出a =12，b=11，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，
【答案】23 【例9】2004 7 20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答
【解析】首先分解质因数，2004 7 2^2 2 2 2 3 5 7 167，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165=3 5 1，166=2 83，168=2 2 2 3 7，
169=13 13，所以165 166 167，166 167 168，167 168 169都没有4 个2,不满足题意.说明167 不可行.尝试3*4 1 ，335 =5 67 ，336 =2 2 2 2 3 7 ，
334 335 336 =2 2 2 2 2 3 5 7 67 167，包括了2004 7 20中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.
【答案】1005
【例10】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A、B两数之差的最大值是。

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分
【解析】2007=1X1X3X3X223=1X1X1X9X223=1X1X1X3X669=1X1X1X1 疋007,所以A 的可能值是231 或235 或675 或2011,又2007=1 X X X223=1 X >9 X223=1 X X3 >669=1 X X >2007，所以B 的可能值是230 或234或674或2010 , A、B两数之差的最大值为2011 - 230=1781。

【答案】1781 【例11】(老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)
大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空
【解析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

48384 =28 33 7 =(22 3) (2 7) 24 (2 32) =12 14 16 18，由此得出这四个人的年龄分别
是12岁、14岁、16岁、18岁。

由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。

它们的积是偶数，
当然这四个数不是奇数，一定是偶数。

又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有
个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、&又因为104 ::: 48384 ,而48384 20 4,
所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。

也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14
岁、16岁、18岁。

答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】12岁、14岁、16岁、18岁【例12】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答
【解析】将6384分解质因数，6384 =2 2 2 2 3 7 19，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，
19 -5 =14 =2 7 ,19 5 =24 =2 2 2 3，恰好14 19 24 =6384，所以这三个数即为14, 19, 24. 一般象这种类型
的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑
38，再下一个该考虑57 ,依此类推.
【答案】14, 19 , 24
【例13】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少? 【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空
【解析】分解质因数3024 =24 33 7，考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含
有5,不行)，经检验6、7、8、9恰符合.
【答案】9
【例14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法( )。

A、3 种
B、7 种
C、11 种
D、13 种
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题
【解析】只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。

1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。

所以答案为A
【答案】A
【例15】a、b c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是____________ 。

A. 1
B. 3
C. 5
D. 10
【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择
【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题
5
【解析】D，解：设 a ::: b ::: c ::: d :::e。

由ab=3, ac = 6推知c =2b ;由ce =120, de= 300推知d=#c=5b。

2
be 二b 2b =2b2，bd 二b 5b =5b2，cd =2b 5b = 10b2。

在15,18, 20, 50, 60,100中，满足 2 :5:10 的三个数是20,50,100,所以b2=100“ 10 =10。

【答案】D
【例16】a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、
2、5、6、10、12、30。

将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是__________ 。

(A) 0.3 ( B) 0.5 (C) 1 ( D) 1.5
【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择
【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题
【解析】C，设 a ::: b ::: c ::: d ::: e。

由题意知，ab =0.3，ac =0.6，推知c=2b ;由ce = 12，de =30，推知^-^5b，bc=b 2b =2b2，bd =b 5b=5b2，cd =2b 5b = 10b2，在 1.5,1.8,2,5,6,10 中，
12 2
满足2:5:10 的三个数是2,5,10，所以10b2 =10，b2=1，b =1。

【答案】1
【例17】将1〜9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48,第二组三个数的乘积是45, 第三组三个数字之和最大是多少？
【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答
【解析】分解质因数45 =3 3 5，48 =2 2 2 2 3，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4, 6或2,3,8或1,6, 8(舍去)，则第三组的三个数可能是3,7,8或4,6,7,其中和最大的是3+7+8 = 18.
【答案】18
【例18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是佃98立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答
【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小•如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8. 1998=2X3X3X3X37, 37是质数，不能再分解，所以2X3X3X3对应的两个数应越接近越好.有2X3X3X3=6X9时，即1998=6X9X37时，这三个自然数最接近.它们的
和为6+9+37=52（厘米）.
【答案】52
【例19】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答
【解析】39270=2X3^5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，而34X34X34最接近39270, 39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有33X34X35=39270 •所以33、34、35为满足题意的长、宽、高•则长方体的表面积为：
2 X长X宽+ 宽槁+ 高X长）=2 X3
3 X4+3
4 X35+3
5 >33）=6934（平方厘米）.
方法二：39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足•当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7,与34接近的数32〜36中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270的质因数中只剩下了3和11 ,所以这个长方体的大小为33X34X35 .长方体的表面积为
39270 39270 39270
2 X + + ）=2 X1190+1155+1122）=2 3467=6934（平万厘米）.
33 34 35
【答案】6934 【例20】如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少？
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答
【解析】4875=3X5X5X5X13，有a X b为4875的约数，且这两个数的和为64.发现39=3X13、25=5X5这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数•那么它们的差为39-25=14。

【答案】14
【例21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.
求这两个整数分别是多少？
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答
【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1 *32=2 •31=3・30THIH =16 17，共有16种形式，
如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了•可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每
个数都是111的倍数，而111 =37 3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）3倍就不是两位数
了.
把九个三位数分解：111 =37 3、222 =37 6 = 74 3、333 =37 9、444 =37 12 =74 6、555 =37 15、666 =37
18=74 9、777 =37 21、888 =37 24 =74 12、999 =37 27 .
把两个因数相加，只有（74 - 3） =77和（37 -18） =55的两位数字相同•所以满足题意的答案是74和3,
37 和18.
【答案】74和3, 37和18
【例22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数•如年份数1991, 具有如下两个性质：①1991是一个回文数.②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质
数回文数的积.在1000年到2000年之间的一千年中，除了佃91夕卜，具有性质①和②的年份数，
有哪些？
【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答
【解析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991夕卜，还有1001 , 1111, 1221 , 1331 , 1441, 1551 , 1661, 1771 , 1881 .符合条件②的两位质数只能是11,所以符合条件②的只有三个，即
11 101=1111, 11 131=1441 , 11 151=1661.
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【答案】11 101 =1111, 11 131 =1441 , 11 151=1661
【例23】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是
140 •如果把所有这样的分数从小到大排列，那
么第三个分数是多少？
【考点】分解质因数
【难度】3星
【题型】解答
【解析】有140=2X2X5X7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数
2必须同时位于分
子或者同时位于分母的位置上。

这样由小到大的最简分数依次是. 1 _ 1 2 汇2 _ 4 2 2 5 7 _140'5 7 一35
【例24】纯循环小数0.abC 写成最简分数时，分子和分母的和是 58，则三位数abc= ____________ 【考点】分解质因数
【难度】3星
【题型】填空
【解析】如果直接把0.abC 转化为分数 应该是abC ，因此，化成最简分数后的分母应该是 999的约数，我们
999
将999分解质因数得：999 =33 X37 ,这个最简分数的分母应小于58 ,而且大于29 ,否则该分 数就变成了假分数了 ，符合这个要求的 999的约数就只有 37 了 ,因此，分母应当为 37,分子就是 58 —37 =21，也就是说0 4匕&=藝= 航 =空，因此 赢 =21汉27 = 567.
999 37X27 37
【答案】567
模块二、分解质因式
【例25】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11倍，求这三个质数.
【考点】分解质因式
【难度】2星
【题型】解答
【解析】设这三个质数分别是 a 、b 、c ，满足abc =11( a b c)，则可知a 、b 、c 中必有一个为11,不妨 记为 a ，那么
bc =11 b c ,整理得(b -1)(c -1) =12，又 2 12 2=6 3=4 ，对应的 b = 2、c=13
或b=3、c =7或b =4、c=5 (舍去)，所以这三个质数可能是
2, 11, 13或3,乙11.
【答案】2、11、13或3、7、11
【例26】三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7倍，求这三个质数.
【考点】分解质因式
【难度】2星
【题型】解答
【解析】设这三个质数分别是 a 、b 、c ，满足abc 7(a b c)，则可知a 、b 、c 中必有一个为 乙 不妨记 为 a ，那么 be
=7 b c ，整理得(b -1)(c -1) =8，又 8 1 8 =2 4
，对应的 b =2、c =9(舍去)或 b = 3、
c =5，所以这三个质数可能是
3, 5, 7
【答案】3、5、7
【例27】如图，长方形周长为20 ,面积为24。

另一个长方形，面积为 20 ,周长为24。

它的长是 宽是 。

【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第7题，10分
【解析】 周长为24则，长和宽的和为 24'2 =12，因为20 =1 20 =2 10 =4 5，因为10 • 2 =12，所以它的 长是10,宽
【答案】
5
28
=—，倒数第三小的是 20
5 28
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是2。

【答案】长是10,宽是2
【例28】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
【考点】分解质因式【难度】3星【题型】解答
【解析】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209.
ac+ab=a*c+b)=209，而209=11 >19.
当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;
当a=19时，c+b=11，贝U c+b=2+9 , b为9不是质数，所以不满足题意. 所以它们的乘积为11X2X17=374 .【答案】374
【例29】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17, 19可得到一个四位数1719,由19, 17也可得到一个四位数1917 .已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数。

【考点】分解质因式【难度】3星【题型】解答
【解析】设这2个两位质数分别是a和b，则这个四位数是100a +b，根据条件可知：空(100a+ b),即
2
200a *2b =k，贝U 200a+2b = k ( a+b ),化简得(200 _k)a= (k_2)b , a +b (a+b)|(200a +2b)，设
200 * ,其中k是整数，a和b均为两位质数，设200 _k=bm, k-2=am，则两式相加得a k 一2因此b =
(a b)m =198，注意到a和b都是质数即也是奇数，所以a b是198的约数.198 =2 32 11 ,由于
a、b都是两位不同的质数，因为11十13 <a+bc89+97中的偶数，所以a + b=66
【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729。