数学1.7.1《定积分在几何中的应用》教案2(新人教A版选修2-2)

1.7 定积分的简单应用（共两课时）
一、感悟要点
1．知识与技能
能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。

2．过程与方法
通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。

3．情感态度与价值观
通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。

二、学习重难点
1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。

三、温习旧知
1．定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？
2．曲边梯形的面积表达式是什么？
3．匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？
4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W 呢？
四、 例题精析
例1 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.
解析：
【教学札记】
合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？
(1) 画出图形；
(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限；
(3) 确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置；
(4) 写出平面图形的面积的定积分表达式；
(5) 运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。

例2 计算由曲线y =
4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.
解析：
【教学札记】
探究：这道题还有其它解法吗？
解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差：
解法三：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，
因此可以取y 为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,
函数y =2
2
y x =.
变式训练:计算有曲线2
2y x =和直线y=x-4所围成的图形面积.
作业：58P 练习，60P A 组第1题.
例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程。

解析：
【教学札记】
合作探究：这道题还有其他解法吗？
针对训练：一物体沿直线以23v t =+（t 的单位是：s ，v 的单位是：m/s ）的速度运动，求
该物体在3到5秒间行进的路程。

O
例4：如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．
解析：
【教学札记】
针对训练：一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与里F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F （x ）所做的功。

练习：
1（08年高考宁夏/海南卷）第10题 由直线1,2,2x x ==曲线1y x
=及x 轴所围图形的面积为（ ） 15.4A 17.4
B 1.ln 22
C .2ln 2D
2（05年湖南卷）函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成的面积称为函数
()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y x =在[0,n π上的面积为2n
（n N +∈）.则①函数sin3y x =在2[0,3π上的面积为＿＿＿＿＿．②函数sin(3)y x =-π＋１在4[,]33
ππ上的面积为＿＿＿＿＿．
第一章 导数及其应用复习小结（共两课时）
一、 本章知识结构
二、 本章知识点
三、关于导数应用的几个题型：
一、利用公式求导：
1、 幂函数求导
2、 整式函数求导
3、 分式函数求导
4、 复合函数求导
例1． 求函数21()tan 2
f x x x =-
+的导函数。

例2． 求函数124()(1440)50x f x x x e
=-+-+的导函数。

例3． 求函数1()ln f x x x =
的导函数。

例4． 求函数1()1
x f x x +=
+的导函数。

二、利用导数几何意义解题——切点待定法（设出切点，写出切线表达式）
1、求切线方程
2、已知切线方程求曲线参数
例1、若曲线42y x x =+的一条切线l 的斜率为-2，则l 的方程为________________.
例2、 曲线ln y x =在点M （e,1）处的切线方程为_________________.
例3、求过点（2，0）且与曲线1y x
=
相切的直线方程。

例4、若直线31y x =-与曲线C ：3(0)y ax a =≠相切，则a =___________.
三、导函数与原函数图象关系
例1、设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象
如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ ）
四、利用导数求函数的单调区间——三行表格法（求出使得'()f x =0的根，分出区间）
1、 不含参
2、 含参
例1、 已知函数()ln(1)f x x x =+-，求()f x 的单调区间。

例2、 已知函数()(0)b f x x b x
=+
>，求()f x 的单调区间。

五、导数与函数极值
1、 已知函数表达式，求极值
2、 已知极值，求函数表达式
例1、 求函数3()27f x x x =-的极值。

例2、 若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极值，则常数c 的值为_________。

六、导数与函数最值
1、 已知函数表达式求最值
2、 已知函数的其中一个最值，求另外一个
例1、求函数321()233
f x x x x =-
+-在区间[0，4]上的最大值和 最小值。

例2、已知函数32()39f x x x x a =-+++
（1） 求()f x 的单调减区间。

（2） 若()f x 在区间[-2，2]上的最大值为20，求函数在该区间上的最小值。

七、导数中的两类恒成立问题
1、 在R 上恒成立
2、 在某个区间[a,b](或（a,b ）) 上恒成立
例1、 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是
_________________.
例2、若21()ln(2)2f x x b x =-
++在(1,)-+∞上是减函数，求b 的取值范围。

八、生活优化问题
例、用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转090角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？。