必修五数列常考二十种题型

必修五数列二十种题型归纳总结
考点1 等差数列
考法一：等差数列定义的运用
1.已知数列{}n a 中，12a =，122n
n n a a +=++，证明数列{}
2n n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公
式；
【解析】因为(
)()1
12
22n n n n
a a
++---=，且1120a -=，
所以数列{}2
n
n a -为首项为0，公差为2的等差数列.
所以202(1)n n a n -=+-，即22(1)n
n a n =+-.
2．已知数列{}n a 中，135
a =
，112n n a a -=- ()*
2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足11n n b a =-()*n N ∈。

（1）求证：数列{}n b 为等差数列。

（2）求数列{}n a 的通项公式。

【解析】（1）证明：由题意知，
111
11
11121n n n n n a b a a a ---=
==----，又111
1n n b a --=-，
故()
*1111112,11n n n n n a b b n n N a a -----=
-=≥∈--，又易知1115
12
b a ==--，
故数列{}n b 是首项为5
2
-
，公差为1的等差数列。

（2）由（1）知()()15711122
n b b n d n n =+-=-
+-⨯=-，所以由()*11n n b n N a =
∈-，可得125127n n n a b n -=
+=-，故数列{}n a 的通项公式为2527
n n a n -=-。

考法二：等差中项性质
1.等差数列x ，33x +，66x +，⋅⋅⋅的第四项等于
【解析】由题得2(33)+(66),0x x x x +=+∴=.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.
2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++= 【解析】由等差数列性质可知：21112163
S a ==，解得：
113a =311191139
a a a a ∴++==
3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S = 【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()174
7772732122
a a a S +⨯∴===⨯= 4．已知0a >，0
b >，并且
1
a ，12，1
b 成等差数列，则4a b +的最小值为 【解析】因为0a >，0b >，且1
a ，12，1
b 成等差数列，所以111a b
+=，
因此()114441459a b a b a b a b b a ⎛⎫
+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
4a b
b a =，即3a =，32
b =时，等号成立. 5．在等差数列 {}n a 中，若12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，则 210082014++=a a a 【解析】
12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，1201510a a ∴+=，
由等差数列的性质得1008210a =，即10085a =，2100820141008315a a a a ∴++==. 6．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111
3
a a -
的值是 【解析】依题意，由4681012120a a a a a ++++=，得85=120a ，即8=24a 所以()()()911911971111978111122
32416333333
a a a a a a a a a a a -
=-=++-=+==⨯=
7．在ABC ∆中，若()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列，b =
，则当B 取最大值时，
sin sin sin a b c
A B C
【解析】因为()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列
所以()()()2lg sin lg sin lg sin B A C =+所以2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =
由余弦定理2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=当且仅当a c =时取等号，
()0,B π∈0,3B π⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦
所以max 3B π=此时32
sin sin sin sin 32
a b c
b
A B C
B
8．三角形的角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若角A,B,C 依次成等差数列，且a =1,b =√3，则三角形的面积S =
【解析】∵A,B,C 依次成等差数列，∴A +B +C =3B =180∘,B =60∘，
因为a =1,b =√3，∴由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，得c =2，∴S ΔABC =1
2
acsinB =√3
2
9．已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有最小值 【解析】由题意可知：lg 0,lg 0x y >> ，且：4
lg lg
2210x y xy +=⨯⇒= ， 由均值不等式有：200x y +≥= ，当且仅当100x y == 时等号成立.
10．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为___
【解析】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,
，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列, 其和为6，所以2(1)
(2)
2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以2
2(1)2(2)4(3)
a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)
a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，
先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得
()()2
4422
d d m -+-+=，整理得()2
1335222
m d =
-+≥. 考法三：前n 项和的性质
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为 【解析】因为()2121121m m S m a -=-=，所以2111m -=，故6m =.
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若5359
a a =，则9
5s s =
【解析】∵等差数列{a n }中，
5359a a =，∴5193152529a a a a a a +==+，∴1995
159
()952159()2
5a a S S a a +==⨯=+，
3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ；
【解析】数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 成等差数列．S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．
因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．
4.数列{}n a 的通项公式为262n a n =-，要使数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则n 的值为 【解析】因为262n a n =-，所以数列{}n a 是以124a =为首项，公差2d =-的等差数列， 所以()
211252
n n n na d n n S -=+
=-+由二次函数的性质可得：当13n =或12时，n S 最大。

5.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，
1010
1011
1a a <-，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是_____ 【解析】由于等差数列首项10a >，而1010
1011
1a a <-，故公差0d <，且10101011101010110,0,0a a a a ><+>，所以1202010101011202020202020022a a a a S ++=
⨯=⨯>，1202110112021220212021022
a a a
S +=⨯=⨯<，故使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是2020.故填：2020. 6．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，2018201620172018,S S S S <<，则0n
S <时n 的最大值是
【解析】由2018201620172018,S S S S <<所以2018201720180,0a a a +<>所以2017
0a <
可知等差数列{}n a 是单调递增的,且前2017项均是负数，又1403420172018a a a a +=+
()14034403440342
a a S +⨯=
即()201720184034
403402
a a S
+⨯=
<()140354035
2018
4035403502
a a S
a
+⨯=
=>
故当0n
S <时，n 的最大值是4034
7．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且1310670,0,0a a a a a >+><，则满足0n S >的最大自然数n 的值为__
【解析】由3100a a +>,利用等差数列的性质可得：310670a a a a +=+>,又67a a <0,1
a >0， ∴6a >0,7
a <0.∴()
()()
1121131267137121360,1302
2
a a a a S a a S a ++==+>=
=<，n 的值为12.
考法四：实际运用
1．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日､第四日､
第七日所走之和为三百九十里，问第一日所走里数为
【解析】由题意，该男子每日走的路程数构成等差数列，91260S =，147390a a a ++=， 则()199********
a a S a +=
==，解得51260
1409
a =
=， 14743390a a a a ++==，解得4390
1303
a =
=， 所以公差5414013010d a a =-=-=，14313030100a a d =-=-=.
2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为
【解析】设每个月的收入为等差数列{a n }．公差为d ．则a 3=25，S 12=510．∴a 1+2d=25，12a 1+1211
2
⨯d=510，解得a 1=15，d=5， 121111511570a a d ∴=+=+⨯=
3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为
【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ，分析可得数列是首项164a =，公差7d =的等差数列， 该问题中的1864人全部派遣到位的天数为n ，则()164718642
n n n -+⋅=，
依次将选项中的n 值代入检验得，16n =满足方程.
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，
使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的1
7是最小的两份之和，则最小的一份的量是
【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ， 由题意可得11111
[20(3)(4)]()7a d a d a a d ++++⨯
=++，解得153
a =. 5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿
问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为
【解析】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即9198
9(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =，即这位公公的长儿的年龄为35岁． 考点2 等比数列
考法一：定义的运用
1.已知数列{}n a ，11a =，n N +∀∈，121n n a a +=+.求证：{1}n a +是等比数列； 【解析】依题意，n N +∀∈，()112221n n n a a a ++=+=+1120a +=≠ 所以，{}1n a +是首项为2、公比为2的等比数列.
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()
*
11n n a S n n N +=++∈.求证：{}1n a +为等比数列，并
求{}n a 的通项公式；
【解析】由11n n a S n +=++得：()12n n a S n n -=+≥，两式相减得：
()112n n n a a a n +-=+≥，即121n n a a +=+，∴()()11212n n a a n ++=+≥，
由11n n a S n +=++，令1n =得23a =，而11a =，故()21121a a +=+，
所以{}1n a +为首项是2，公比是2的等比数列，故12n
n a +=，(
)*
21n
n a n N
=-∈.
3．已知数列{}n a 中，其前n 项和n S 满足22(*)n n S a n =-∈N ．求证：数列{}n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
【解析】当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；
当1n >时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，即有12n n a a -=，
则数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，可得2n
n a =，
考法二：中项性质
1．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为
【解析】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2
(1)(9)3x x =-⨯-⇒=±
当3x =时，2
(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-
2．已知数列{}n a 是等比数列，函数2
=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =
【解析】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >
，且
231533a a a a =⋅=∴
3．在等比数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2510x x ++=的两根，则5a = 【解析】在等比数列{}n a 中，由题意知：465a a +=-，461a a ⋅=，
所以40a <，60a <，所以2
5461a a a =⋅=，即51a =±.
4．在正项等比数列{}n a 中，10101
10
a =
，则1232019lg lg lg lg a a a a ++++=_______
【解析】由正项等比数列的{}n a 的性质以及等比中项公式可得:
21201922018320171009101110101100
a a a a a a a a a ===
===
, 则:()()
2019
1232019123201820191010lg lg lg lg lg lg a a a a a a a a a a +++
+==2019lg102019-==-.
5．己知数列{}n a 为正项等比数列，且13355724a a a a a a ++=，则26a a +=
【解析】∵数列{}n a 为等比数列，且13355724a a a a a a ++=∴22
226624a a a a ++=，
即2
26()4a a +=，又0n a >，∴262a a +=．
6．实数数列2
1,,4,a b 为等比数列，则a =_______
【解析】由题意2144a =⨯=，2a =±，又a 与2b 同号，∴2a =．
7．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2
620x x ++=的两个根，则216
9
a a a 的值为
【解析】等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根
1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==
∴9a ∴=
8．已知0ab >，若2是2a 与4b 等比中项，则
41121
a b +++的最小值为 【解析】∵2是2a 与4b 的等比中项，∴244a b ⋅=，∴22a b +=，即1214a b +++=，
结合0ab >可得10a +>，210b +>，∴
()411411*********a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+++ ⎪++++⎝⎭
()
4211119
55421144b a b a ⎛+⎡⎤+ =++≥+=⎢⎥ ++⎣⎦⎝， 当且仅当()1221a b +=+，即53a =，1
6b =时取等号，即41121a b +++的最小值为94
，
9．已知1291a a －，，，－四个实数成等差数列，12391b b b －，，，，－五个实数成等比数列，则221()b a a －＝
【解析】先由等差数列和等比数列的性质，得()2119841
3
a a d ----==
=-，()()2
2199b =-⨯-=；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得23b =-；所以2218
()3=83
b a a -⨯-－＝ 10．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，
c ，若a ，b ，c 成等比数列且sin sin a c C c b A -=-，则sin c
b B
=____
【解析】由a ，b ，c 成等比数列，可得2ac b =，则2
sin sin sin c
b b B b B a B
b a ==
， 又sin sin a c C c b A -=-，利用正弦定理可得，a c c
c b a
-=-，则2222a c ac bc c b bc =+-=+-， 故2221cos 222
b c a bc A bc bc +-
===
，所以sin A ===
，
所以sin 1sin sin sin sin sin c b B b B a B A B A =====
11．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则
sin cos tan sin cos tan A A C
B B C
++的取值范围是
【解析】
sin sin cos sin cos tan cos sin sin cos tan sin cos cos C
A A
A A C C C
B B
C B B C
++=++ 可得：sin cos tan sin cos cos sin sin cos tan sin cos cos sin A A C A C A C
B B
C B C B C
++=++,即()()sin sin cos tan sin sin cos tan sin sin A C A A C B B B C B C A ++==++
由
sin sin a b A B =，所以sin cos tan sin cos tan A A C b B B C a
+=+ 因为a 、b 、c 成等比数列，所以2
b a
c =即2
b c
a
，令b t a =
又a b c +>，则2b a b a +>化简可得：2
10b b a a
⎛⎫--< ⎪⎝⎭即210t t --<
t <<
考法三：前n 项和的性质
1.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =
【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，
1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.
2．已知等比数列{}n a 的前项和为n S ，41S =，83S =，则9101112a a a a +++= 【解析】因为484128S S S S S --、、成等比数列，所以()()2
844128S S S S S -=- 代入数值所以127S =，则9101112128734a a a a S S +++=-=-=. 3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =
【解析】∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ，∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =，∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为
10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24S S S S S -=--=，∴15510513 44S S S S =+=，∴1553:4
S S =． 4．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2n S =，26n S =，则
3n
n
S S = 【解析】依题意，显然数列{}n a 的公比1q ≠-，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列，
且公比为2422n n n S S S -==，所以2
32228n n S S -=⨯=，所以38614n S =+=，所以31472
n n S S ==， 5．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则2
9
()42n n
S a +的最小值为____
【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2
444,2a a ==
公比432,a q a ==首项114a = 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124
n n n a a q --==
所以29()2164448242n n n n S a +=++≥= 当且仅当216,342n n n =∴=
所以当3n =时，2
942n n
S a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的最小值为8 6．设正项等比数列{}n a 的首项112
a =，前n 项和为n S ，且()1010
3020102210S S S -++=，则公比q 的值为
【解析】()
1010
3020102210S S S -++=化简得
30201020101
2
S S S S -=-
因为{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，所以
103020
2010S S q S S --=所以1=2
q
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
【解析】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶， 则S 奇=341,S 偶=682,所以2S q S =
=偶奇
，∴(
)212
13411n
a q S q -==-奇
，解得n=5，等比数列的项数为10，
8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8425S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为 。

【解析】因为{}n a 是等比数列，8425S S -=所以8445S S S -=+，且484128,,S S S S S --也是等比数列，1289101112S S a a a a -=+++所以()()844182
2S S S S S =⋅--
整理有(
)4
8
42
124
4525101020S S S S S S +-==
++≥= （当且仅当45S =时取等号） 所以9101112a a a a +++的最小值为20 考法四：实际运用
1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，
今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有1尺长的线段，每天取走它
的
1
2
，m 天后剩下的线段长度不超过0.001尺，则m 的最小值为 【解析】由题意可知：第一天取走12，剩下11122-=尺，第二天剩下14尺，第三天剩下1
8
尺， 第九天剩
下910.0192⎛⎫≈ ⎪⎝⎭尺，第十天剩下10
10.000982⎛⎫≈ ⎪⎝⎭
尺，答案：10
2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为
【解析】由题意可知此人行走的里程数为等比数列 设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为1
2
q =
则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q
-=
-代入可得
6112378112
m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
- 解得192m = 根据等比数列的通项公式1
1n n a a q
-=代入可得2
31192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个
单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为
【解析】设从第一单音起，每个单音的频率记为{}n a ，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 第一个单音的频率f ，所以{}n a 是以f 为首项，
公比为
78a f ==.【答案】
4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10
升，则马主人应偿
还 升粟。

【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =
则31(21)
5021
a -=-，解得1507a =
，所以马主人要偿还的量为：2110027a a == 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了____ 【解析】记第n 天行走的路程为n a ，则数列{}n a 为等比数列，公比1
2
q =
， 依题意知，前6项的和6189S =，即
61(1)
1891a q q
-=-，所以16
1(1)2189112
a -
=-，解得1
96a =，
所以211
96482
a a q ==⨯
=，所以第二天行走了48里. 6．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是 ____ 【解析】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即
1
6n
n a a -=，所以数列{}n a 为等比数列即6n n a = 所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是6
66a =
考点3 递推公式求通项（第1课时）
考法一：公式法
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a =
【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n S n n =+当1n =时,代入可得2
11123S a ==+=
而由1n n n a S S -=-,代入可得()()22
2121n a n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦
21n =+ 当1n =时上式也成立综上可知21n a n =+
2．已知数列 {}n a 的前n 项和31n
n S =+，则它的通项公式是n a =_____;
【解析】
数列{}n a 的前n 项和31n
n S =+
∴114a S ==，1131(2,)n n S n n N -*-=+≥∈,又1(2,)n n n n N a n S S *-=-≥∈，
∴1131(31)23(2,)n n n n a n n N --*=+-+=⋅≥∈，检验当1n =时，11112324a S -=⋅=≠=，
∴()1
4(1)232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
3．如果数列{}n a 的前n 项和为3
32
n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 【解析】当1n =时，1113
3,62
S a a =
-= 当2n 时，111333
333222
2n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=
---=- ⎪⎝⎭ 即1
3n
n a a -= ，故数列{}n a 为等比数列则16323n n n a -=⨯=⨯ ,因为623=⨯，所以,()2*3n n a n N ∈=⨯ 4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________. 【解析】因为点()1,n n S S +在直线3y x =上代入可得13n n S S +=,即
1
3n n
S S +=. 由113S a ==可知数列{}n S 是首项为13S =,公比为3q =的等比数列.所以1333n n n
S -=⨯= 由1n n n a S S -=-代入可得11
3323n n n n a ---=⋅=而113S a ==不符合上式
所以()()1
3
1232n n n a n -⎧=⎪=⎨⋅≥⎪⎩
故答案为: ()()1
3
1232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩
5．若数列{}n a 满足112a =,2
12323n n a a a na n a +++⋯+=,则n a =______ ．
解:22
12121331(1)((23231))2)1(,n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得,
122111)1)((1
n n n n n a n a n a n
n a a n +++-⇒
+==++, 所以有234
123
111123
112
234
n n n a a a a n
a a a a a n a a n --=
⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅=
6．数列{}n a 满足
*122111
25,222
n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = . 【解析】这类问题类似于()n n S f a =的问题处理方法，在122111
(25222)
n n a a a n +++=+中用1n -代换n
得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172
a =，即114a =，故114,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________
【解析】由题意，122n n n S S S +=-，所以132n n S S +=，11S =，所以1
32n n S -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．
8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且(
)*
13n n a S n N
+=∈，则n
S
=______.
【解析】1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==，1
1140,0,4n n n
S S a S S +==≠∴≠∴
=, {}n S ∴是以4为首项,公比为4的等比数列, 4n n S ∴=.故答案为:4n
考法二：累加法
1．数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +=++，则n a =
【解析】
122n n a a n +=++，()121n n a a n +∴-=+，则当2n ≥时，12n n a a n --=，
()()()()121321222222322n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-+
+-=+⨯+⨯+
+=()1n n =+。

2．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 【解析】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，()()()2
1
1213214222
n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=+++
+()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 3．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)1n n a a n n n
+=+++，则n a = 。

【解析】由题,
11ln 1n n a a n n n n ++=++,则1ln 11n n a a n n n n -=+--,121ln 122n n a a n n n n ---=+---…,212
ln 211
a a =+,
所以由累加法可得,
112ln ln ln
112
1n a a n n n n n -=+++--,即11
2ln 121n a n n a n n n -⎛⎫
=+⋅⋅⋅ ⎪--⎝⎭
, 则
2ln n
a n n
=+,所以2ln n a n n n =+ 考法三：累乘法
1.已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是
【解析】由题意可得：11
n n a n a n
++=， 又∵a 1=1，∴321121n n n a a a a a a a a -=
⋅⋯⋅=231121
n n ⨯⨯⋯⨯⨯-=n ．∴a n =n ， 2．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是 【解析】已知{}n a 中,11a =,()112n n n a na ++=化简整理可得
()112n n n a a n
++=
所以递推可得()121n n a n a n -=-，()
121
22n n a n a n ---=-，...... 32322a a =⨯，21221
a a =⨯，等式两边分别相乘可得 ()()()12321232112322122232221
n n n n n n a a a a a n n n a a a a a n n n -------⋅⋅⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⨯---⨯⨯ 即1
12n n a n a -=所以1
1122n n n n n a a --=⋅= 考点4 递推公式求通项（第2课时）
考法一：构造等差数列
1．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________． 【解析】由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-= 则
111
2,n n a a +-=则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1
11a 为首项，2 为公差的等
差数列，则()8111121,,.2115n n n a a a n =+-∴=∴=-即答案为115
.
2．在数列{}n a 中，11a =，()*11n
n n
a a n N a +=
∈+，则这个数列的通项n a = 【解析】∵11n n n a a a +=
+，等式两边同时取倒数得：1111n n
a a +=+，则
()*111
1n n n a a N +∈-=， ∴132211
-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 1
11111+1n
n a ⇒
=++++=，1n a n
⇒=， 当1n = 时，11
11a == 亦成立，综上所述()
*1n a n N n
=
∈ 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1120n n n a S S +++=，则n S =______． 【解析】因为11n n n a S S ++=-则1120n n n a S S +++=可化简为1120n n n n S S S S +++=- 等式两边同时除以1n n S S +可得
11120n n S S ++-=,即111
2n n
S S +-= 所以数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,首项11111S a ==,公差2d = 所以()111221n n n S =+-⨯=- 即121n S n =
-故答案为: 1
21
n - 4．各项均正的数列{}n a 满足1
114,22n n n a a a ++==+，则n a 等于
【解析】1
122n n n a a ++=+两边同除以12n +，得
11122n n n n
a a ++=+,则2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为首项为2，公差为1 的等差数列，∴
2n 11n 1,2
n
n a =+-⨯=+则()12n n a n =+⋅ 考法二：构造等比数列
1．已知数列{}n a 满足12a =-，且136n n a a +=+，则n a =________________.
【解析】由136n n a a +=+可得：133(3)n n a a ++=+，所以{3}n a +是以1为首项3为公比的等比数列，
所以133n n a -+=，故1
33n n a -=-.
2．已知数列{}n a 满足11235,6n
n n a a a +=+⨯=，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.
【解析】设()
1
15
25n n n n a x a x +++⨯=+⨯①
将1235n
n n a a +=+⨯代入①式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，
等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352x x +=，则1x =-， 代入①式得()
1
15
25n n n n a a ++-=-②
由1156510a -=-=≠及②式得50n n a -≠，则1
1
525
n n n
n a a ++-=-， 则数列{}
5n n a -是以1
151a -=为首项，以2为公比的等比数列，所以152n n n a --=，所以125n n n a -=+.
3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1232(2)n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =，则n a =
【解析】由()1
12322n n n a a n ---=⋅≥两边同除以2n ，整理得
1113
(2)2424
n n n n a a n --=⋅+≥， 令2n
n n a b =
，则113(2)44n n b b n -=+≥，∴111(1)(2)4
n
n b b n --=-≥， 又由2112
2632a a a a -=⎧⎨=⎩解得13a =，∴ 13
2b =。

∴数列{}1n b -是首项为1112b -=，公比为14的等比数列。

∴1211111()(*)242n n n b n N ---=⨯=∈。

∴2111(*)22n n n a n N --=∈，∴1
12(*)2n
n n a n N -=+∈，
4．已知数列{}n a 满足113
a =，11221n n n n a a a n --⋅=+- (2,n n N *
≥∈)，则n a =__________．
【解析】由11221n n n n a a a n --⋅=
+- (*2,n n N ≥∈)，可得11122n n n n a a --=+，于是
1
111(1)2n n n n a a ---=-， 又111312a -=-=，∴数列{n n a ﹣1}是以2为首项，12为公比的等比数列，故n n a ﹣1=1
12()2n -⋅ ∴a n =1·212n n n -+（n ∈N *）．故答案为1·212
n n
n -+． 考法三：周期数列
1．数列{}n a 中，若11,a =11
11
n n a a +=
-+，则2016=a 。

【解析】1111
n n a a +=-+，则11
11n n a a ++=+，所以
211
1
11111
n n n n a a a a +++===+++，所以数列{}1n a +是周期数列，周期为2. 又11,a =，12,1a += 2111112a a +==+，12
112n n a a +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩
n n 为奇数
为偶数 ，20161+1=2a ∴，即20161
2
a =-.
2．已知数列{}n a 中，11
4
a =，111(2)n
n a n a -=-≥，则2020a 的值是 【解析】因为11
4a =
，111(2)n n a n a -=-≥，所以2143a =-=-，314133a =+=，431144
a =-=，⋯，
可知数列的取值有周期，周期为3，所以202011
4
a a ==， 3．已知数列{}n a 满足113
a =
,1
11n
n n a a a ++=-*()n N ∈,则2012391a a a a ⋯⋯⋅⋅= 【解析】依题意，113
a =
，111n
n n a a a ++=-，所以2345112,3,,,
23a a a a ==-=-=，
所以数列是周期为4的数列，且每4项的积为()1
12313
2⎛⎫
⋅⋅-⋅-= ⎪⎝⎭
， 故1232019a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1232a a a ⋅⋅=-.
4．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()
21n n n a a a n N *
++⋅=∈，则2019a 的值为
【解析】因为(
)*
21n n n a a a n N
++⋅=∈，由1
1a
=，22a =，得32a =；
由22a =，32a =，得41a =；由32a =，41a =，得512a =；由41a =，51
2a =，得612
a =； 由51
2a =
，612a =，得71a =；由612
a =，71a =，得82a =
由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==。

5．数列{}n a 满足12a =，2
1n n a a +=（0n a >），则n a =
【答案】1
22n -
【解析】因为数列{}n a 满足12a =，2
1n n a a +=（0n a >），所以21
2122log log 2log 2log n n n n
a a a a ++=⇒
=所以
{}2log n a 是公比为2的等比数列，所以1
12
221log log 22n n n n a a a --=⋅⇒=
6．已知数列{}n a
中，117,1n n a a a +=-+，则30a =
【解析】因为11n n a a +-=+
，所以11n n a a +=++，
即1221n n a a ++=++
，所以
)2
2
1=，
1=
，故是以3为首项，1为公差的等差数列，
()311n 2n =+-⨯=+，所以2
4n 2n a n =++，所以30a =1022
7．数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________.
【解析】当n 是奇数时，cos()n π＝﹣1，由23cos()n n a a n π+-=+，得22n n a a +-=， 所以1a ，3a ，5a ，…21n a -，…是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，cos()n π＝1，由23cos()n n a a n π+-=+，得2
4n n a a +-=，
所以2a ，4a ，6a ，…2n a ，…是首项为22a =，以4为公差的等差数列， 则,22,n n n a n n ⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数
，()()()()199210010050+50+501+99502+200-275002222a a a a S =+=+=.
考点5 求和方法（第1课时）
考点一：裂项相消
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()
1
2n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
【解析】（1）14(21)1n n S n a +=-+①，
当1n =时，1241S a =+，解得23a =当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②， ①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---，
整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即
12121n n a n a n ++=-，∴21
3a a =，325
3a a =，⋯，12123n n a n a n --=- 以上各式相乘得
1
21n
a n a =-，又11a =，所以21n a n =-， （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+-+-+⎝⎭
，
1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭111111123352121n n ⎛
⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭
111221n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭21n n =+21
n n T n ∴=+， 2．已知数列{}n a 满足，()()*3211
1N 232
n a a a a n n n n +++⋅⋅⋅+=+∈. （1）求1a ，2a 的值
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121n n n n b a a ++=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，3
14
n S ≤<. 【解析】（1）由()3211
1232
n a a a a n n n +
++⋅⋅⋅+=+()*N n ∈ 当1n =时，()111112a =+=，即11a =.当2n =时，()21
1221322
a +=⨯⨯+=，解得24a =.
（2）∵()3211
1232
n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+①，
∴当2n ≥时，()31211
12312
n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=--②
①－②()()111122
n a n n n n n n =+--=，∴2
n a n =，
由（1）11a =，即上式当1n =时也成立.因此，{}n a 的通项公式为()
2*
N n a n n =∈；
（3）由（2）得()()22
221212111
11n n n n n b a a n n n n +++=
==-++， ∴()1232
22222211111111223341n n S b b b b n n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝
⎭()2111n =-+ ∵()
2
1
11n S n =-
+单调递增，∴当1n =时n S 取最小值13
4
S =
，
∵*
N n ∀∈，()
2
1
01n >+，∴()
2
1
111n -
<+，即1n S <.因此，314
n
S ≤<.
3．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323
141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===
联立两式可得11{2a q ==或者18
{12
a q ==
又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--
所以111
1211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111
11111122
1 (133721212121)
n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 4．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
()*
2
4141n
n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前n 项和为n P ，若112020
n P +<，求正整数n 的最小值. 【解析】（1）解析1：（累乘法）由()112
2n n n n S n nS n S S n
+++=+⇒
=,所以2n ≥时, 1
2112
1n n n n n S S S S S S S S ---=
⋅⋅()111431123212
n n n n n n n n ++-=⋅⋅⋯⋅⋅=---, 又111S a ==也成立,所以()
12
n n n S +=
, 所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =. 解析2：（配凑常数数列）()1122n n n n S S nS n S n n ++=+⇒
=+()()()1211n n S S n n n n +⇒=+++,故()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
为
常数列,即()111212n S S n n ==+⨯,所以()12
n n n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.
5．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，且{}n a 为递增数列.已知24a =，314S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
221
21
1log log n
n n n n b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前2n 项之和2n T .
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则23
1221232144a S a a a a a a a q q q =++===⎧++=⎪⎨⎪⎩
，解得1
22a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，
因为{}n a 为递增数列，所以只有122
a q =⎧⎨=⎩符合题意，故2n
n a =；
（2）由题意，()
()()()12221211
1111log 2log 211n
n n n n n n n b n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅⋅++⎝⎭
，
∴2122n n T b b b =++⋅⋅⋅+
111111
1122334221n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212121n n n =-+=-++. 6．已知数列{}n a 的前n 项和n S
满足(
)*
23n n S na n n N -=∈，且2
5a
=.
（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a
的通项公式； （2）设n b =
n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n T >成立的最小正整数n 的值.
【解析】（1）当2n ≥时，112(1)3(1)n n S n a n ----=-， 又23n n S na n -=，所以1(1)(2)3n n n a n a ----=， 当3n ≥时，21(2)(3)3n n n a n a -----=，
所以121(1)(2)(2)(3)n n n n n a n a n a n a ------=---， 可得122n n n a a a --=+，所以{}n a 为等差数列.
又1123S a -=，得13a =，又25a =，所以21n a n =+.故答案为21n a n =+ （2
）
n b =
==
12==
，所以
12n T =.
要使10n
T >
，即1210>， 解得63
8
n >
，所以8n =.故答案为8n = 7．已知数列{}n a 的前n 项和()1
*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭
，数列{}n b 满足2n
n n b a =.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()()1121n n
n n n n c n a n a ++=
-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124
N 63
n T n <∈的n 最大值. 【解析】(Ⅰ) ()
1
122n n n S a n N -+
⎛⎫
=--+∈ ⎪
⎝⎭
，当2n ≥时，2
11122n n n S a ---⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
，
1
1112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
∴=-=-++ ⎪
⎝⎭
，化为1
1221n n n n a a --=+，
12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =
. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是()1112n
n n b n n a =+-⋅==，
2
n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得
()1112122n n n n n n c n n n n ++=
+⎛
⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭()()11121
1221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡
⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦
11124212163
n +⎛
⎫=-< ⎪-⎝⎭,
可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.
考点二：错位相减法
1．已知等差数列{}n a 公差不为零，且满足：12a =，1a ，2a ，5a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
【解析】（1）由125,,a a a 成等比数列得()522
1=⋅a a a 即2
(2)2(24)d d +=⨯+,
解得4d =或0d =（舍）,所以 24(1)42n a n n =+-=-,
（2）由（1）知3(42)3==-n n n n a n b 所以232363103(42)3=⨯+⨯+⨯+⋯+-n n S n
所以234
132363103(46)3(42)3+=⨯+⨯+⨯+
+-+-n n n S n n ，两式相减得：
(
)
23
1
264333(42)3
+-=+++
+--n
n n S n (
)21
1
43136(42)3
13
-+⨯-=+
---n n n 14(1)312n n +=--
所以1
2(1)36+=-+n n S n .
2．在数列{}n a 中，首项112
a =
前n 项和为n S ，且1)21(n n S a n N *+=-∈ （1）求数列{}n a 的通项；（2）若31()2n
n n b n a =+⨯⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【解析】（1）因为121n n S a +=-，当2n ≥时，121n n S a -=-，所以1122n n n n n a S S a a -+=-=-，即
123n n a a +=，
132n n a a +=，又11221a S a ==-，234a =，2132
a a =，
所以{}n a 是等比数列，公比为32q =，所以11
11133()222n n n n n a a q ---==⨯=．所以132
n n n a -=．
（2）由（1）1
33(1)2(1)32
n n
n n n b n n -=+⨯⨯=+⋅，
23233343(1)3n n T n =⨯+⨯+⨯+
++⨯，①，所以23413233343(1)3n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯，②
①－②得2
3
1
26333(1)3
n
n n T n +-=+++
+-+⨯13(13)3(1)313
n n n +-=+-+⨯-1
31()322n n +=-+⨯，
所以1(21)33
4
n n n T ++⋅-=．
3．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2
1n S n =+．等比数列{}n b 中39b =，公比为3．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，以及数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n P ．
【解析】(1)当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22
(1)21n n n =--=-，
又121112a =⨯-=≠，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩ ；由23139b b =⋅=得11b = ，1
3n n b -∴=，
∴131(31)132
n n
n T -==--
(2) 2
3
1
21335373......(21)3
n n P n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-
2343213335373......(21)3n n P n =⨯⨯+⨯+⨯+⨯++- 2341252(3373......3)(21)3n n n P n --=+++⨯++--
29(13)52(21)313
n n n --=+---34(21)3n n n =---(22)34n n =-- ∴(1)32n
n P n =-+.
4．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，()*1n n n b a a n N +=-∈.
（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2
1
log n n n
c b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【解析】（1）
数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，
12n n a a k +∴=+，12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+.
()11222n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，1
2n n
b b +∴
=， 12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列.∴数列{}n b 的通项公式为()*
2n n b n N =∈；
（2）由于2
211log 2log 22
n n
n n n
n c b n b ==⋅=-⋅，231222322n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯，①
()23412122232122n n n S n n +∴-=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯，②
①-②(
)()231
1
1212222222
12212
n
n
n n n n
S n n n +++⨯-=++++-⨯=
-⨯=--⨯--.。