浙江省2018-2019学年九年级上学期数学期末综合检测卷

浙江省2018-2019学年九年级上学期数学期末综合检测卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1.抛物线y=ax2﹣4ax﹣3a的对称轴是（）
A. 直线x=3
B. 直线x=2
C. 直线x=1
D. 直线x=﹣4
2.已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为( )
A. （－2，－1）
B. （2，1）
C. （2，－1）
D. （－2，1）
3.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）
A. π
B. 3π
C. 2π
D. π
4.已知二次函数y= +bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：①ac ＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根是=﹣1，=3；③2a﹣b=0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；则以上结论中正确的有（）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5.如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）
A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. D. ∠BAC=30°
6.下列说法中正确的个数有（）
①直径不是弦；
②三点确定一个圆；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，
P2，…，则点P2010的坐标是（）．
A. （2010，2）
B. （2010，-2）
C. （2012，-2）
D. （0，2）
8.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分的面积为（）
A. B. . C. D.
9.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜x B＜0，下列结论①abc ＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（）
A. ①②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③
10.如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转60°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转60°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…则P32的坐标为（）
A. （﹣231，231）
B. （231，231）
C. （﹣232，232）
D. （232，232）
二、填空题（共6题；共24分）
11.小芳抛一枚硬币10次，有6次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为________．
12.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．
13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．
14.4二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________．
15.如图，点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB 为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线上运动，则k的值为________。

16.二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）
三、解答题（共8题；共66分）
17.如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆
上．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）．
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留）
19.图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图①中以AB和BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形为中心对称图形；
（2）在图②中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形的面积等于（1）中所画的四边形ABCD的面积；
（3）图①所画的四边形与图②所画的四边形不全等．
20.如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．
21.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
22.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB 的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
23.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2﹣4ax﹣3a的对称轴是x=﹣=2，
故选B．
【分析】直接利用对称轴公式求得对称轴即可．
2.【答案】B
【解析】【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式（或用公式)，即可得到顶点坐标。

【解答】∵y＝x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝（x－2)2＋1，
∴顶点坐标为（2，1)。

故选B。

3.【答案】B
【解析】【解答】解：=3π．故答案为：B．
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.
4.【答案】B
【解析】【解答】由二次函数y= +bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，ac＜0，①错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则方程+bx+c=0的两根是=﹣1，=3，②正确．∵对称轴为直线x=1，∴=1，即2a+b=0，③错误；由函数图象可得：当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确；综上所知正确的有②④两个.
故答案为：B．
【分析】由二次函数y= a x 2 +bx+c的图象可得：抛物线开口向下，故a＜0，抛物线与y轴的交点在y 轴正半轴，故c＞0，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，故抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），从而得出方程 a x2+bx+c=0的两根，由对称轴为直线x=1，知−=1，即
2a+b=0，由函数的增减性知当x＞1时，y随x的增大而减小，利用这些知识点一一判断即可。

5.【答案】D
【解析】【解答】A选项中，因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，
∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A不符合题意；
B选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B不符合题意；
C选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可得，，故C不符合题意；
D选项中，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC= ∠BOC= ∠BOA= ×60°=15°，故D不符合题意．
故答案为：D．
【分析】A,、首先判断出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°，根据正对变形和圆的关系即可得出以AB为一边可构成正六边形；
B、根据垂径定理可知，弧AC=弧BC，再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
C、根据垂径定理可知，弧AC=弧BC；
D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=15°。

根据分析一一比对即可得出答案。

6.【答案】A
【解析】【分析】依据确定圆的条件、直径以及弦的定义、圆的对称性即可解答．注意：④要成立必须强调在同圆或等圆中．
【解答】由圆中定义可知③正确，这是根据圆的轴对称的性质来判断的；
①错误，直径是过圆心的弦；
②错误，三点不一定能确定一个圆，如三点同线确定的是一条直线；
④错误，相等的圆心角所对的弧不一定相等，所对的弦也不一定相等，等弧是在同圆或者等圆中，能互相重合的两条弧；
故正确的只有③．故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，以A为对称中心作点P（0，2)的对称点P1，即A是PP1的中点，结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标；同理可求得其它各点的坐标，分析可得规律，进而可得答案．
【解答】根据题意，以A为对称中心作点P（0，2)的对称点P1，即A是PP1的中点，
又由A的坐标是（1，1)，
结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0)；
同理P2的坐标是（2，-2)，记P2（a2，b2)，其中a2=2，b2=-2．
根据对称关系，依次可以求得：
P3（-4-a2，-2-b2)，P4（2+a2，4+b2)，P5（-a2，-2-b2)，P6（4+a2，b2)，
令P6（a6，b2)，同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2)，即P10（4×2+4，b2)，
由于2010=4×502+2，
所以点P2010的坐标是（2010，-2)，
故选B．
【点评】根据条件求出前边几个点的坐标，得到规律是解题关键．
8.【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
∵，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE= ×60°=30°，
∴DE=1× =
∴阴影部分的面积=1×1-2×（×1× ）=1-
故选D.
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
9.【答案】C
【解析】【解答】①∵抛物线开口向下，
抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x=- =h，且-2＜h＜-1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a-b＜0，
又∵h＜0，
∴- ＜1
∴2a+b＜0，
∴（4a-b）（2a+b）＞0，
故②错误；
③由②知：b＞4a，
∴2b-8a＞0①．
当x=-2时，4a-2b+c＞0②，
由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．
故③正确；
④∵当x=-1时，a-b+c＞0，
∵OC=OB，
∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=-b-1，
则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故,b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0；由抛物线的对称轴直线-2＜h＜-1，根据对称轴公式及不等式的性质得出4a＜b ＜2a，进而得出4a-b＜0，2a+b＜0，故（4a-b）（2a+b）＞0；由于b＞4a，根据不等式的性质得出2b-8a ＞0，又当x=-2时，4a-2b+c＞0，故4a-8a+c＞0，即4a-c＜0；当x=-1时，a-b+c＞0，又OC=OB，当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，根据等式的性质得出ac+b+1=0，即ac=-b-1，故（a+1）（c+1）
=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0。

10.【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得出：OP1=2，OP2=4=22，OP3=8=23，
则OP32=232，
∵将线段OP按逆时针方向旋60°，
∴每6个点循环一圈，
∵32÷6=5…2，
∴点P32的坐标与点P2的坐标在第2象限，
∵OP32=232，
∴P32到x轴的距离为：232•sin60°=231•
到y轴的距离为232•cos60°=231，
∴点P32的坐标是：（﹣231•，231•）．
故选：A．
【分析】根据题意得出OP1=2，OP2=4，OP3=8，进而得出P点坐标变化规律，得出点P23的坐标即可．
二、填空题
11.【答案】0.5
【解析】【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，故则第10次正面朝上的概率为．
【分析】掷一次硬币，有正面朝上与反面朝上两种可能，所以第10次正面朝上的概率为。

12.【答案】y=﹣2（x﹣1）2+5
【解析】【解答】解：y=﹣2x2+4x+3 =﹣2（x2﹣2x）+3
=﹣2（x﹣1）2+5．
故答案为：y=﹣2（x﹣1）2+5．
【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式即可．
13.【答案】2
【解析】【解答】解：∵∠CDB=90°，∠DCA=30°，∴∠CED=60°，
∴∠AEB=60°，
作AF⊥BD于点F，
∵∠DAB=90°，AB=6，∠ABD=45°，
∴AB=AD=6，
∴BD=6 ，
∴AF= ，
∴AE= ，
故答案为：2 ．
【分析】根据锐角三角函数和等积法可以求得BD和BD边上的高的长，从而可以求得AE的长．
14.【答案】﹣1≤t＜8．
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x．
当x=﹣1时，y=1+2=3；
当x=4时，y=16﹣2×4=8；
当x=1时，y=1﹣2=﹣1．
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在﹣1＜x＜4内有交点，依此求解即可得出结论．15.【答案】3
【解析】【解答】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ =tan60°= ，
∴= =3，
∵点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD= ×|xy|= ，
∴S△EOC= ，即×OE×CE= ，
∴k=OE×CE=3，
故答案为：3．
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据双曲线的对称性及等腰三角形的性质得出CO⊥AB，∠CAB=30°，根据平角的定义得出∠AOD+∠COE=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DAO+∠AOD=90°，根据同角的余角相等得出∠DAO=∠COE，从而判断出△AOD∽△OCE，根据三角形三角形的对应边成比例及正切函数的定义，特殊锐角三角函数值得出
,进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出
SΔAOD∶SΔEOC=3，根据反比例函数k的几何意义得出S△AOD，进而得出S△EOC，从而k的值。

16.【答案】①③
【解析】【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x=﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（，y2），
﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵﹣=﹣1，
∴b=2a，
当x=1时，y=0，即a+b+c=0，
3a+c=0，
a=﹣c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c= ，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AB=AC=4时
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④错误．
综上所述，正确的结论是①③．
故答案是：①③．
【分析】①根据题意a＜0得到抛物线开口向下，根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，得到16a﹣4b+c＜0；②由抛物线的对称轴是：x=﹣1，由对称性得到y1＜y2；③由对称的性质得到③正确；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，逐步分析组成方程组，得出方程无解，从而得到④错误；此题难度较大，计算复杂，需逐步认真仔细.
三、解答题
17.【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
18.【答案】①△A1B1C1如图所示②△A2BC2如图所示
线段BC旋转过程中所扫过得面积S= = ．
【解析】【分析】此题考查了作图-旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．①根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；②根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．
19.【答案】解：如图①所示，四边形ABCD为中心对称图形；
如图②所示，四边形ABCE的面积等于四边形ABCD的面积．
【解析】【分析】利用中心对称图形的性质以及四边形面积求法得出四边形ABCE面积等于四边形ABCD 的面积．
20.【答案】（1）答：△ABC是等腰三角形．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD是角平分线，
∴DE=DF．
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．
证明：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD过圆心O．
作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，
∴⊙O是△ABC的外接圆．
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．21.【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH=．
∴DG=DH=，
∴点D到AB的距离=．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG=DH，通过△BEF∽△BHD，得到，代入数据求得DH=．即可得到结论．
22.【答案】（1）证明：∵∠OAB=90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：设OG的长为x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8-x，
由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，
在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，
即（8-x）2=x2+（4）2，
解得：x=1，
即OG=1．
【解析】【分析】（1）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．
23.【答案】解：①w=（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
=（x﹣20）（﹣10x+500）
=﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50 ）；
②当w=2000时，得﹣10x2+700x﹣10000=2000
解得：x1=30，x2=40，
所以，商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
③w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w max=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元
【解析】【分析】①根据销量=250﹣10（x﹣25），再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可；
②根据①式列出方程，进而求出即可；③直接利用二次函数最值求法得出答案．
24.【答案】解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α，
证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB=OD′=OA=OC′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′=AC′，
∴∠OBD′=∠OAC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α，
综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α，
（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OC′=OA，OD′=OB，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，
（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
（3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．。