云南农业大学运筹学第二章课件

在线性规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶 变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束
条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
max z 3 x1 4 x 2 x 3
min w 10 y 1 16 y 2
x 2
1
x
1
2
x 2
2
x
2
x
3
x
3
10 16
x
j
0,
j
1,2,3
X(6,2,0)T
y1 2 y2 3
2 y
y
1
1
y
2
2
y2 1
4
y 1 , y 2 0
Y=(1,1)
25
第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
【例2-4】 已知线性规划
max z 3 x1 4 x 2 x 3
的最优解是
x 2
1
x
1
2
x 2
2
x
x 2
3
x
10 3 16
minw 500y1 450y2 300y3 550y4
9y1 5y2 8y3 7y4 100 8y1 4y2 3y3 6y4 80 6y1 7y2 2y3 4y4 70 yi 0,i 1,,4
原始问题的C,A,b分别转置后就是对偶问题的资源限量(b)， 消耗系数(A)及利益系数(C)
EX S 0
b
对偶问题
min w Yb YA C DP Y 0
maxw Yb OYS
YA Y ,YS
EYS 0
C
假设Xs与Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。
19
第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
【性质1】（ 对称性）对偶问题的对偶是原问题。 【性质2】 （弱对偶性）设X°、Y°分别为LP(max)与
推论2: 在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无 界解，则另一个问题无可行解；
推论3: 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具 有无界解。 注意上述后两个推论的条件不能少。
21
第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
思考：一个问题无可行解时，另一个问题解的情况怎样？ 【结论】一个问题无可行解时，另一个问题可能有可行
解此线性方程组得 y1=1, y2=1
对偶问题的最优解为 Y=(1,1)，最优值w=26。
26
第2章 对偶理论
【例2-5】 已知线性规划 的对偶问题的最优解为Y=(0,-2), 求原问题的最优解。
【解】对偶问题为
min z 2 x1 x2 2 x3
x1 x1
x
j
0,
j
1,2,3
X(6,2,0)T 求对偶问题的最优解。
【解】对偶问题是
min w 10 y 1 16 y 2
因为x1≠0，x2≠0，所以对偶问题的第 一、二个约束取严格等式，即
2y1y122y2y234
y1 2 y2 3
2 y
y
1
1
y
2
2
y2 1
4
y 1 , y 2 0
y1
7
y2 5 y2
2 3
y 1 0 , y 2 0
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
【补充例】写出下列线性规划问题的对偶问题
min s 2 x1 x 2 x 3 3 x 4
x1 2 x2
4x4 1
s.t .
2x2 3x3 4x4 2
x1
3x3
3
x1 ,
原始问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题，
已知一个问题就可以写出另一个问题。
6
第2章 对偶理论
2.1.1 引 例
对偶表
yi
xj
x1
x2
x3
y1
9
8
6
y2
5
4
7
y3
8
3
2
y4
7
6
4
对偶约束 ≥
≥
≥
max
100 80
70
原始 约束 min
≤
500
≤
450
≤
300
≤
550
7
第2章 对偶理论
2.1.2 线性规划的规范形式
总增值最低可表示为
min w=500y1+450y2+300y3+550y4
企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9，5， 8和7个单位，利润是100，企业出售这些数量的资源所得 的利润（增值）不能少于100，即
9y15y28y37y4100
同理，对产品B和C有
另有
4
8y14y23y36y480 6y17y22y34y470
DP(min)的可行解，则 CX0 Y0b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最 大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的 线性规划的任一目标值。
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第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
由性质2可得到下面几个推论：
推论1: (LP)的任一可行解的目标值是(DP)的最优值下界； (DP)任一可行解的目标是(LP)的最优值的上界；
5
第2章 对偶理论
2.1.1 引 例
观察以上两个线性规划模型的对应关系
原始问题
对偶问题
max Z 100 x 1 80 x 2 70 x 3
9 x 1 8 x 2 6 x 3 500
5 8
x1 x1
4 3
x2 x2
7 2
x3 x3
450 300
7
x1
6 x2
4
x3
550
x 1 , x 2 , x 3 0
yi≥0,i=1, …,4
第2章 对偶理论
2.1.1 引 例
minw500y1 450y2 300y3 550y4
9y1 5y2 8y3 7y4 100
（DP）
68yy11
4y2 7y2
3y3 2y3
6y4 4y4
80 70
yi 0,i 1,,4
（Ⅱ）
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划问题
是前面生产计划模型(Ⅰ)的对偶线性规划问题或对偶问 题（Dual Poblem, DP）。生产计划的线性规划问题称为 原始线性规划问题或原始问题。
设原始问题是求最小值的非规范形式，则有下列关系
1. 第i个约束是“ ≤”约束时，第i个对偶变量yi≤0
2．第i个约束是“ = ”约束时，第i个对偶变量yi无约束； 3．当xj无约束时 ，第j个对偶约束为“ = ”约束。当xj≤0时，
第j个对偶约束为“ ≥”约束。
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
解（此时具有无界解）也可能无可行解。
22
第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
例：
min z x 1 2 x 2
x1
x1
1 2 x2 x2 2
2
x
1
,
x
2
0
无可行解
其对偶问题有可行解
max w 2 y 1 2 y 2
y1 y2 1
y
1
1
2 ,
y1 y2
y2 0
2
由推论3知对偶问题必有无界解。
2.1 线性规划的对偶模型
2.1.1 引例
【例2－1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、 资源限量及价值系数如下表：
资源
产品
Ⅰ Ⅱ
A
B C 资源限量
9
86
500
5
47
450
Ⅲ
8
32
300
Ⅳ
7
64
550
单件产品利润 100 80 70
建立总利润最大的数学模型。
2.1.1 引 例
【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则
表2-4
原始问题（或对偶问题） 对偶问题（或原始问题）
目标函数max 目标函数系数 约束条件系数矩阵A
目标函数min 约束右端常数项 约束条件系数矩阵AT
n个变量，m个约束
n个约束, m个变量
变 量
第j个变量≥0 第j 个变量≤0 第j个变量无约束
约 束
第j个约束为≥ 第j个约束为≤ 第j个约束为=
约 束
16
第i个约束≤ 第i个约束≥ 第i个约束为=
变 量
第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量无约束
第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
【例2-3】写出下列线性规划的对偶问题
min Z x1 5 x2 4 x3 9 x4
7 x1 2 x2 8 x3 x4 18 y1
6 x2 2 x1 8 x2 x3
.t
.
x1
y1 2 x 2
2
y
12x
2
2
y 2
3y
y 3 24 x 4
1
3
2
x
33
y
3
4x14
2
1
4 y
xy x2
1
1
1,
,y
4
x
3
2
y
,
2 0x, 3y
3 x 3 无约0束,
1
3
x4无限制
3
x1
x1
4
,y
y
x
2
1
2
,
4
0x,3
3
y2
x
3
y
3
0
,0
x,
4y
无无
1
3
限约 束制
3
规范形式（Canonical Form）的定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
maxZ CX
minZ CX
AX b
(2.1) AX b
(2.2)
X 0
X 0
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
每个线性规划问题都有一个与之相伴的对偶问题。 已知一个问题就可写出另一个问题。
己不生产产品，要将现有的资源转让或出租给其它企业，那
么资源的转让价格应是多少才合理？
合理的价格应是对方用最少的资金购买本企业的全部资
源，而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得
的利润。
3
第2章 对偶理论
2.1.1 引 例
设y1，y2，y3，y4分别表示四种资源的单位增值价格 售价＝成本＋增值
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
【例2－2】写出下列线性规划的对偶问题
min Z 5 x1 2 x2 3 x3
4x1x17
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1 , x2 , x3 0
【解】这是一个规范形式的线性规划
max W 4 y1 y 2
4 y1 y2 5
y1
max Z 100 x1 80 x 2 70 x 3
9 x1 8 x 2 6 x 3 500
（LP）5 8x1 源自14 3x2 x2
7 2
x3 x3
450 300
()
7
x1
6
x2
4
x3
550
x 1 , x 2 , x 3 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自
x2,
x3
0,
x4无限制
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
minmax s
z
2 xy11
x2
y
2
2
x3 3 y 3
3 x4
min
s
max
2
xz
1
yx1
2
2
xy 23 33yx3 4
y
x1
1
2 y 1
s.t .
3
222y y2xx222
y3 2
1
3
y
3
3
x
3
1
4x4 1
4
x
4y'2=2-ys2
5 x4 10 y2 14 y3
x1无约束, x2 0, x3 , x4 0
m ax w 18 y1 10 y2 14 y3
7 y1
2 y3 = 1
2 8
y1 y1
6
y2
8 y3 y3
≥ ≤
5 4
y1
5 y2
≤9
y1≤0，y2≥0， y3无约束
【解】目标函数求最小值，应将表2-4的右边看作原始问题， 左边是对偶问题，原始问题有3个约束4个变量，则对偶问 题有3个变量4个约束，对照表2-4的对应关系，写出对偶问 题。
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第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
【性质3】（最优性）设X0与Y0分别是（LP）与（DP） 的可行解，则X0、Y0是（LP）与（DP）的最优解 当且仅当 C X 0 = Y 0b
【性质4】（对偶性）若互为对偶的两个问题其中一个 有优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。
由性质4还可推出另一结论：
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
本节学习要点
1. 本节以实例引出对偶问题; 2. 介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
下一节：对偶性质
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第2章 对偶理论
2.2 对偶问题的性质
2.2.1 对偶性质
原始问题
max Z CX
AX b
LP
X
0
max Z CX 0X S
AX X, XS
若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解；
若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
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第2章 对偶理论
2.2.1 对偶性质
【性质5】（互补松弛定理）X 0、Y 0分别为（LP）与
（DP）的可行解，XS 和YS是它的松弛变量的可行 解，则X 0和Y 0是最优解当且仅当
性质5表明：
YS X 0 = 0 和 Y 0 XS = 0
YA C Y 0
(2.3)
其中 Y = (y1, y2，… , ym)
（2.3）是原始线性规划问题（2.1）的对偶问题，反之， （2.3）的对偶问题是（2.1）。原始问题和对偶问题是互 为对偶的两个线性规划问题。
规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式。
已知一个规范形式问题就可写出另一个对偶问题．
第2章 对偶理论
Dual Theory
2.1 线性规划的对偶模型 2.2 对偶性质 2.3 对偶单纯形法 2.4 灵敏度与参数分析
Dual Model of LP
Dual property
Dual Simplex Method
Sensitivity and Parametric
Analysis
LOGO
当原始问题是规范形式，其对偶问题很容易写出； 如果给出的问题不是规范形式，可以先化成规范形 式再写对偶问题。也可直接按表2-4中的对应关系写出 非规范形式的对偶问题。
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第2章 对偶理论
2.1.3 对偶模型
原始问题 对偶问题
maxZ CX
AX b
(2.1)
X 0
对偶问题 原始问题
minw Yb