2020年高三数学冲刺试卷之十一(理科)

2020年高三数学综合测试试卷（理科11）
（满分150分）
一、选择题（每小题 5 分，12 小题共计60分）
1.“|x |＜2”是“”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.
充要条件 D. .既不充分也不必要条件
2.等差数列中，，，则的值为( ) A ．15
B ．23
C ．25
D ．37
3．设:1p x <-或1x >，:2q x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．要得到sin 2cos 2y x x =+的图象，只需将2y x =的图象( )
A ．向左平移
4π个单位 B ．向左平移8π
个单位 C ．向右平移
4π个单位 D ．向右平移8
π
个单位 5.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是
( ) A ． B ． C ． D ． 6．设离心率为的双曲线的右焦点为F ，直线过焦点F,且
高三数学试卷 共6页 第1页
2
60x x --<{}n a 51130a a +=47a =12a 1
()f
x -1
()2()3
x x f x x =-+1()1f x ->x 38>
x 3
8
<x 3
8
0<
<x 0<x e )0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C l ____ 班级 座号________ 姓名____________________
…………………………………………………………………….密…………………….封………………线…………………………………………
斜率为，则直线与双曲线的左右两支都相交的充要条件是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 如图，在中，，，则过点，以为
两焦点的双曲线的离心率为( ) A
B ．2 C
D ．3
8．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为( )
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 9.已知直线及与函数的图象的交点分别为，与函数
的图象的交点分别为，则直线与( )
A ．平行
B ．相交且交点在第二象限
C ．相交且交点在第三象限
D ．相交且交点是原点
≥
10．设二元一次不等式组所 ≥ 表示的平面区域为，使函数
≤
的图象过区域的的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，12F F 、分别是它们的左右焦点，
设椭圆心离率1e ，双曲线离心率为2e ，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则22
1
2
11
e e +=( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22
||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点
O ( )
A ．在A
B 边的高所在的直线上 B ．在
C ∠平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上
D ．是ABC ∆的外心
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k l C 122>-e k 122<-e k 122>-k e 12
2<-k e ABC ∆1
tan 22
C =0AH BC ⋅=u u u r u u u r
C ,A H 2=x 4=x x y 3log =B A 、x y 5log =
D C 、AB CD 192-+y x 08+-y x 0M a a y x
(=142-+y x 0)1,0≠>a M a ]3,1[]10,2[]9,2[9,10
二、填空题（每小题 5 分，4小题共计20分）
13．命题：0,2
≥∈∀x R x 的否定是 ．
14．函数1cos 2)(2
-=x x f 的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 15．设，其中
为实常数，则 ．
16．已知命题 ①函数在上是减函数； ②函数的定义域为R ，是为极值点的既不充分也不必要条件；
③函数的最小正周期为；
④在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
⑤已知则在方向上的投影为。

其中，正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（(共6题，70分)
17．（本小题满分10分）在△ABC 中，tanA=,tanB=． (1)求角C 的大小；
(2)若AB 边的长为，求BC 边的长．
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(
)
()()()6
212
2
121222
222x x a a x a x a x +-=+++++++L ()
0,1,2,,12i a i =L 0123122312a a a a a +++++=L x
x f lg 1
)(=
),0(+∞)(x f 0)(0='x f 0x x =x x x f cos sin 2)(=π)1,2(01043=-+y x (3,4),(0,1),a b ==-r r
a r
b r 4415
3
17
18. (本小题满分12分)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 与底面ABC 所成的角为，AB=BC=，∠ABC=
， 设E 、F 分别是AB 、A 1C 的中点。

(1)求证：BC ⊥A 1E ； (2)求证：EF ∥平面BCC 1B 1；
(3)求以EC 为棱，B 1EC 与BEC 为面的二面角正切值。

19. (本小题满分10分)设函数。

（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切，，求的最大值。

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4
π22
π221
()2
x f x x +=
+()f x x R ∈3()3af x b -≤+≤a b - A A 1
C
B F E
B 1
C 1
20. (本小题满分13分) 设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，； （2）求数列的通项公式； （3）若，，求的前项和．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆与抛物线
的交点分别为，如图所示，
椭圆和抛物线在点处的切线分别为和，且斜 率为和
(1)当为定值时，求证：为定值(与无关)； (2)设且与轴的交点为，求的最小值和此时椭圆的方程。

高三数学试卷 共6页 第5页
p q ，αβ，2
0x px q -+={}n x 1x p =2
2x p q =-12n n n x px qx --=-34n =，，p αβ+=q αβ={}n x 1p =1
4
q ={}n x n n S )1(1:22
221>>=+b a b
x a y C :2C )0(22
>=p py x B A ，A 1l 2l 1k 2k b a :21k k ⋅p 4
1=p 2l y )2,0(-D 2
2b a +
22．(本小题满分13分) 设函数 (1)判断在区间上的增减性并证明之； (2)若不等式≤≤对一切恒成立。

①求实数的取值范围；
②设≤≤，求证：≥
高三数学试卷 共6页 第6页
x
x
x x f sin )(+=
)(x f ),0(π0a x x -+-43]4,3[∈x a 0x πx a a x a )1sin()1(sin )12(--+-0
2020年高三数学综合测试试卷（理科11）
参考答案
一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题
13. R x ∈∃,02<x 14. π；)](2
,[Z k k k ∈+π
ππ
15. 64 16. ②③ 三、解答题
17.解：（Ⅰ），
．又，．（6分） （Ⅱ）由且， π()C A B =-+Q 1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-
=--g 0πC <<Q 3π4C ∴=22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨
⎪+=⎩
，，
π02A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
得．，．（6分）
18．证法一：向量法
证法二：(I)由已知有BC ⊥AB ，BC ⊥B 1B ，∴BC ⊥平面ABB 1A 1 又A 1E 在平面ABB 1A 1内 ∴有BC ⊥A 1E (II)取B 1C 的中点D ，连接FD 、BD ∵F 、D 分别是AC 1、B 1C 之中点，∴FD ∥
A 1
B 1∥BE ∴四边形EFBD 为平行四边形 ∴EF ∥BD 又BD 平面BC
C 1B 1 ∴EF ∥面BCC 1B 1
(Ⅲ)过B 1作B 1H ⊥CEFH ，连BH ，又B 1B ⊥面BAC ，B1H ⊥CE ∴BH ⊥EC ∴∠B 1HB 为二面角B 1-EC-B 平面角
在Rt △BCE 中有BE=
，BC=，CE=，BH=
又∠A 1CA=
∴BB 1=AA 1=AC=2 ∴tan ∠B 1HB=
19.【解析】 （Ⅰ）， 当时，；当时，； 故在单调增加，在单调减少。

17sin 17A =
sin sin AB BC C A =Q sin 2sin A
BC AB C
∴==g
2
1
⊂2222
10510
=⋅CE BC BE 4
π
101=BH
B
B '
2
22
212(2)(1)
()2(2)x x x f x x x +-+-=
=++(2,1)x ∈-'
()0f x >(,2)(1,)x ∈-∞-+∞U '
()0f x >()f x (2,1)-(,2)(1,)-∞-+∞U = = =
的极小值，极大值
（Ⅱ）由知
即
由此及（Ⅰ）知的最小值为，最大值为 因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件
， 由线性规划得，的最大值为5．
20.
【解析】（1）由求根公式，不妨设，得 ，
（2）设，则， 由得，
消去，得，是方程的根，
()f x 1
(2)2
f -=-(1)1f =22
221(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=+1(())((1)1)02f x f +-≤1
()12
f x -≤≤()f x 1
2
-
1x R ∈3()3af x b -≤+≤133
233
a b a b ⎧
-≤-+≤⎪⎨
⎪-≤+≤⎩a b 3
31321
32
a b a b a b a b +≥-⎧⎪+≤⎪
⎪⎨-+≥-⎪⎪-+≤⎪⎩a b -<α
β==
α
β∴+==p α
β==q αβ112()----=-n n n n x sx t x sx 12()--=+-n n n x s t x stx 12n n n x px qx --=-+=⎧⎨
=⎩s t p
st q
t 2
0-+=s ps q ∴s 2
0x px q -+=
由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,, 两式相减，得 ，，
， ，
即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设， 由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得
，即
数列是以1为公差的等差数列，
,
综上所述，
（3）把，代入，得，解得 12,==s s αβ≠αβ+=⎧⎨=⎩
s t p
st q 1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ{}11--n n x t x {}21--n n x t x 1=s α2=s β2121()---=-n n n x x x x ααβ2
121()---=-n n n x x x x ββα2
212121()()()----=---n n n x x x x x βααβ
βα221,=-=Q x p q x p 222∴=++x αβαβ1=+x αβ22221()--∴-==g n n n x x αββββ22221()---==g n n n x x βαααα1()-∴-=-n n n x βαβα1--∴=-n n n x βαβα11
++-∴=-n n n x βαβα
=αβ20x px q -+=2
40∴-=p q 2()40+-=s t st 2
()0,-=∴=s t s t ==s t α2121()---=-n n n x x x x ααβ=Q αβ2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα1-∴=+n n n x x ααn
α1
1
1--=
+n
n n
n x x α
α
1
1
1---
=n
n n
n x x α
α
∴{
}n n
x α1
2(1)111∴
=
+-⨯=
+-=+n
n
x x n n n α
αα
α
∴=+n n n x n αα11
,(),()++⎧-≠⎪
=-⎨⎪+=⎩
n n n n n x n βααββααααβ1p =14q =
2
0x px q -+=2104-+=x x 12
==αβ
21．解：(1)设，由取得 则……………………2分 ∴…………………………3分
又∵为定值， 则 ..................5分 ∵为定值，∴为定值。

(2)∵，∴抛物线方程为：设点则 由(1)知 则 (8)
分
又∵过点 ∴ ∴ ∴………………………………9分
代入椭圆方程得： 11()()22
∴=+g n n n x n 232311111111()()()...()()2()3()...()2
2222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g 23111111()()2()3()...()22
222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭g g g 11111()2()()222
n n n n -=-+--13(3)()2
n n =-+),(00y x A 122
22=+b
x a y 0>y 22x b b a y -=22x
b b ax y --='20
2010|x b b ax y k x x --='==2022
21x b pb ax k k --=0202py x =1220220
=+b x a y b pa x b x 22022
0=-b a 22221)(22b
a b a k k ⋅-=-=4
1=p y x 212=)2,(200x x A ),0(0b x ∈024x k =200022)(4:x x x x y l +-=2l ），（20-D 120=x 10=x )2,1(A 1C 1142
2=+b a
∴≥ …………11分 当且仅当 即 上式取等号
∴此时椭圆的方程为： ………………………………12分 22．解：(1)∵ ∴…1分 设 则 ……2分 ∴在上为减函数 又
时，，∴ ∴在上是减函数………4分(2)①∵ ∴或时 ∴…………………………………6分 又≤≤对一切恒成立 ∴≤≤ ……………8分
②显然当或时，不等式成立 …………………………9分 当，原不等式等价于≥ ………10分 下面证明一个更强的不等式：≥…① 即≥……②亦即≥ …………………………11分 由(1) 知
在上是减函数 又 ∴……12分 ∴不等式②成立，从而①成立 又
∴＞
综合上面∴≤≤且≤≤时，原不等式成立 ………………………13分 144)14)((22
22222
222+++=++=+a b b a b a b a b a 9225=⨯+11422=+b
a 62=a 22
224a
b b a =32=b 13
62
2=+x y x x x x x x f sin 1sin )(+=+=),0(sin cos )(2π∈-='x x
x x x x f x x x x g sin cos )(-=),0(π∈x )),0((0sin )(π∈<-='x x x x g Θ)(x g ),0(π0)0(=g Θ),0(π∈x )(x g 0<0)()(2
<=
'x x g x f )(x f ),0(π)4)(3(21)43(2x x x x --+=-+-3=x 41)43(min 2=-+-x x 1)43(min =-+-x x 0a x x -+-43]4,3[∈x 0a 11,0=a π,0=x πx a <<<<0且10x a a )1sin()1(--x a sin )21(-x a a )1sin()1(--x a x a a sin )1(sin )21(22-=+-x a )1sin(-x a sin )1(-x
a x a )1()1sin(--x x sin x x sin ),0(πx x a <-)1(Θx
x x a x a sin )1()1sin(>-->+-x a a sin )21(2Θx a sin )21(-x a a )1sin()1(--x a sin )21(-0x π0a 1。