高中数学新课标人教A版选修2-2《1.7.1定积分在几何中的应用》课件

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课堂讲练互第动二十六页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
解 法一 设椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 围成的面积为 S，椭圆在第一象限内 围成图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， 在第一象限内椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的方程可化为 y＝45 25－x2，椭圆在第一象限内围成的面积为
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课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
[规范解答] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以 Δ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x2＋2x＋1.
交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得
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课堂讲练互第动九页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
法二 设椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 围成的面积为 S，椭圆在第一象限内围成 图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， 令 x＝5 cos t，则当 x＝0 时，t＝π2； 当 x＝5 时，t＝0 在第一象限内椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的方程可化为 y＝45 25－x2＝4 sin t
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题型二 分割型图形面积的求解
【例 2】 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积． [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区 间，然后分段利用公式求解． 解 法一 画出草图，如图所示．
解方程组yx＝＋y＝x，2，
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课堂讲练互第动二十七页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
S1＝
4 5
25－x2dx＝45
25－x2dx，
而
25－x2dx 表示以 5 为半径的14圆的面积，
从而
25－x2dx＝14π×52＝245π，
所以 S1＝45×245π＝5π，
从而，S＝20 π.
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【示例】 求椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 围成的面积． [思路分析] 本题首先要解决的是被积函数，就要求出 y 关于 x 的函数，但是由椭圆的方程求 y 关于 x 的函数的计算过程中， 会遇到开平方，就有正负平方根两种情况，为解决此问题， 我们注意到椭圆的对称性，其围成图形的面积是它在第一象 限与坐标轴围成的图形的面积的 4 倍，从而只需求出它在第 一象限与坐标轴围成图形的面积，这样在第一象限内只需算 术平方根即可．积分的下限就是 0，上限就是椭圆右顶点的横 坐标 5.
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方法点评 观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到
25－x2dx 表示以 5 为半径的14圆的面积，使定积分值很快地
求出；与方法一不同，法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代
题型一 不分割型图形面积的求解 【例1】 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
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解 由yy＝ ＝x－2－x＋4，2， 得
x＝－3， y＝5
或xy＝＝20，，
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的
所以，曲边梯形的面积等于 曲边梯 形上、下两个边界所表示的函数的的差定积分
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想一想：当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？ 提示 如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为 f(x)，所以S＝ (0－f(x))dx＝－ f(x)dx.
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由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不 同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组 求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然 后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积 函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积 分变量，同时更改积分的上下限．
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【变式 2】 计算由曲线 y2＝x，y＝x3 所围成图形的面积 S.
解 作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图，所求面积为图中阴影部分 的面积． 解方程组yy2＝＝xx3，，
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名师点睛 利用定积分求曲边图形面积的步骤
一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下： 第一步：画出图形； 第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积 分上、下限； 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； 第四步，写出平面图形面积的积分表达式； 第五步，运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面 积．
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∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
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方法技巧 化归与转化在求定积分中的应用 在应用定积分时，定积分的计算是其中的重点也是难点．为计 算定积分，要细心观察，有时某个定积分整体表示某些易求面积的 图形的面积，求定积分的值就可转化为求图形的面积．当有些被积 函数的原函数不易求得时，可考虑换元，转换为易求原函数的被积 函数，这时积分变量也要改变．
(1 分) (3 分)
(5 分) (6 分)
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(2)画函数y＝f(x)的图象如图． 由图象知所求面积为
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【题后反思】 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积 是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、 不等式等相关知识进行融合．
换求出了定积分
4 5
25－x2dx 的值．两种方法实际上都体现了
化归与转化的思想，在解题的过程中要注意数学知识之间的相互
联系，才能在适当的时候用化归转化的思想来解决问题和简化问
题．
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得交点横坐标为x＝0及x＝1. 因此，所求图形的面积为
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题型三 定积分的综合应用 【例3】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且
f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表达式； (2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
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自学导引 曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示函数的关系
(1)如图 1，阴影部分的面积为 S＝－ g(x)dx＋ f(x)dx
＝
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(2)如图2，阴影部分的面积为
y＝ x， y＝－13x，
x＋y＝2， 及y＝－13x，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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法二 若选积分变量为y，则三个函数分别为 x＝y2，x＝2－y，x＝－3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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课堂讲练互第动十页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
【变式 1】 求由曲线 y＝2x－x2，y＝2x2－4x 所围成的图形的面积．
解 由yy＝ ＝22xx－ 2－x42，x， 得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为
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课堂讲练互第动十一页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
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课堂讲练互第动二十二页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
【变式 3】 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线 以及 x 轴所围成图形的面积为112，试求切点 A 的坐标及过切 点 A 的切线方程． 解 设切点 A(x0，x20)， 切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 令 y＝0，得 x＝x20，
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用
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课堂讲练互第动一页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
【课标要求】 1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积． 2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分
的几何意义的理解． 【核心扫描】
由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点．
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课堂讲练互第动六页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0，还 可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当定积 分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正．
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