福建省漳州一中第一学期高三期末考试数学试卷(文科)参考答案

2012-2013学年度福建省漳州一中第一学期高三期末考试
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
D
D
C
D
B
C
B
A
A
B
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．-95 14．10000 15．862+ 16．2
2n
n -
解析：经计算21212⨯=
=S ，22333⨯==S ，23464⨯==S ，2
4
5105⨯==S ， 于是猜想2
2)1(2n
n n n S n -=
-= 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）∵⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，……………………………… 1分
∵1024cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ……………………… 3分 ∴4
sin
)4
cos(4
cos
)4
sin(]4
)4
sin[(sin π
π
π
π
π
π
-
+-
=+
-
=x x x x
5
4
22102221027=⨯+⨯=
…………………………………………………6分 （Ⅱ）因为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈43,2ππx ，故
53541sin 1cos 2
2
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=--=x x …………………7分
25
7
1cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-
==x x x x x …………………………9分 所以50
37243
sin 2cos 3
cos 2sin 32sin +-
=+=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πππx x x ……………………………12分 18．（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连结EG AG ,，
E G , 分别为1,CB CB 的中点，
∴EG //
2
1
BB 1，…………………………………2 分 三棱柱111C B A ABC -，AA 1
BB 1，D 为AA 1中点 ∴AD
2
1
BB 1∴EG AD ∴四边形
ADEG 为平行四边形 ∴AG //DE ……………………… 4分
又ABC DE ABC AG 平面平面⊄⊂,
∴DE //平面ABC ；………………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）解：∵BB 1⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴AG ⊥BB 1， ∵AB =BC ，G 为BC 中点，∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面B 1BE 又DE
AG ，∴DE ⊥平面B 1BE 且DE =AG =
2
3 ∵E 为B 1C 中点 ∴4
1)1121(21)21(2121111=⨯⨯⨯=⨯⨯==
∆∆BB BC S S BC B E BB ∴三棱锥B 1-BDE 的体积24
3
23413131111=⨯⨯=⋅=
=∆--DE S V V BE B BE B D BDE B … 12分 19．（Ⅰ）解：依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧==22227
570a a a S ，即⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+)21)(()6(70
105112
11d a d a d a d a … 2分 解得：a 1=6，d =4。

…………………………………………………………………… 4分
∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*
n ∈N ）．…………………………… 5分 （Ⅱ）证明：由（1）可得2
24n S n n =+．……………………………………… 6分
∴
()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
．……………………………… 7分 ∴n
n n S S S S S T 1
11111321+++++=- 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………… 8分
111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
…………………………… 9分 ∵311108412n T n n ⎛⎫-
=-+< ⎪++⎝⎭，∴38
n T <．……………………………… 10分 ∵11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n
T 是递增数列．∴11
6
n T T ≥=． ∴
13
68
n T ≤<．………………………………………………………… 12分 20．解：（Ⅰ）基本事件共36个：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．……………………… 3分 其中括号内第1个数表示a 的取值，第2个数表示b 的取值．
记“直线y =a -b 与函数x y sin =图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等”为事件A ，则A ={（a ，b ）| a -b =1或a -b =0或a -b =-1，1≤a ≤6，1≤b ≤6，a ，b ∈N } ∴事件A 包含16个基本事件：
（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）．…………………… 5分 ∴所求事件的概率为9
4
3616)(==
A P ．…………………………………………… 6分 （Ⅱ）记“直线y =a -b 在函数x y sin =图象上方”为事件
B ，试验全部结果构成的区域为}60,60|),{(≤≤≤≤=Ωb a b a ………………… 7分
事件B 的区域为}1,60,60|),{(>-≤≤≤≤b a b a b a ，如图阴影部分所示： ………… 10分
∴所求事件的概率为72
25665
521
)(=⨯⨯⨯=B P ．… 12分
21．解：（Ⅰ）圆O 的圆心为O （0，0），半径为r =2
∵OM ⊥AB ，|AB |=
5
54 ∴5
54)2
||(||22=-=AB r OM ………………… 2分
∴
5
5
41
22=
+k ，∴412=k
又0>=FB k k ∴2
1
=
k ………………… 4分 （Ⅱ）∵F （k
2
-，0），B （0，2），T 为BF 中点
∴T （k 1
-，1）。

设抛物线E 的方程为y =tx 2（t >0），∵抛物线E 过T ∴211k
t ⋅=∴2k t =
∴抛物线E 的方程为22x k y =， ……………………………………………………… 6分 ∴x k y 22'=，设S （x 0，y 0），则022'0
x k y k x x m ===，…………………………… 7分
假设O 、M 、N 三点共线，则∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l //m ，………………………… 8分 又0>=k k l ∴m l k k = ∴022x k k = ∴k x 210=
，4141222
020=⋅==k
k x k y …… 9分
∵S 在椭圆C 上，∴
12
20
2
20
=+
b y a x 结合 2=b ，k
c 2
=
，222244k
c b a +=+=， 得14161
4441
2
2
=++k
k ，∴6359
2-=k ∴k 无实数解，矛盾，∴假设不成立
故不存在实数k ，使得O 、M 、N 三点共线．………………………………………… 12分 22．解：（Ⅰ）b x
x a x f +-=
2
)
ln 1()(' ∵函数)(x f 的图象在点P （1，f （1）
）处的切线方程是y =-1 ∴⎩⎨⎧=-=0)1('1)1(f f ，即⎩
⎨⎧=+-=01
b a b ∴⎩⎨⎧-==11b a ……………………………………… 3分
（Ⅱ）)(x g 定义域为（0，+∞），x c
x x x c x g +-=--=222)('………………………… 4分
①若c ≥0，则)0(02)('2><+-=x x
c
x x g ∴)(x g 在（0，+∞）上是减函数
又0)1(=g ∴x =1是函数)(x g 的唯一零点，符合条件．………………………………… 5分 ②若c<0，则由)0(02)('2>=+-=x x
c
x x g 得2c x -=
列表
x （0，2
c -
） 2
c -
（2
c
-
，+∞） )('x g +
0 - )(x g
↗
↘
………………… 6分 （i ）若12<-
c ，即-2<c<0，则0)1()2(=>-g c
g ，又-∞=+
→)(lim 0x g x ∴)(x g 在（0，2
c
-）内有1个零点，从而)(x g 有两个零点，不合条件．………… 7分 （ii ）若12=-
c ，即c =-2，则0)1()2
()(==-≤g c
g x g （当且仅当x =1时取“=”
）， ∴x =1是函数)(x g 的唯一零点，符合条件．………………………………………… 8分 （iii ）若12>-
c ，即c <-2，则0)1()2(=>-g c
g ，又-∞=+∞→)(lim x g x
∴)(x g 在（2
c
-
，+∞）内有1个零点，从而)(x g 有两个零点，不合条件． 综上，c 的取值范围是c ≥0或c =-2．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）x x
x
x f -=
ln )(，取c=1，则2ln 1)(x x x g --= 由（Ⅱ）可知，)(x g 有唯一零点x =1，且当x >1时g （x ）<0，当0<x <1时g （x ）>0 ∴由0)(ln 1)('2
2
2
<=
--=
x
x g x
x x x f ，得x >1，∴)(x f 的减区间为（1，+∞）……… 10分
∴对任意的正实数x ，以及任意大于m 的实数t ， 都有
t t x t x t x ln )ln(<-++，即t t
t
t x t x t x -<+-++ln )()ln(，)()(t f t x f <+恒成立
⇔)(x f 在（m ，+∞）上是减函数⇔（m ，+∞）⊆（1，+∞）⇔m ≥1 ……… 13分
∴实数m 的最小值是1．……………………………………………………………… 14分。