第二课时 集合的表示方法

2-������
(3)使 y= ������ 有意义的实数x组成的集合; (4)200以内的正奇数组成的集合; (5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合. 分析:用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再 给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.
探究一
探究二
探究三
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(3)∵x+y=3,且x∈N,y∈N,
∴当x=0时,y=3;当x=1时,y=2;当x=2时,y=1;当x=3时,y=0.
∴满足条件的集合为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.
(4)∵方程x2-4x+4=0的解为x=2,
∴满足条件的集合为{2}.
探究一
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用描述法表示集合 例2 用描述法表示以下集合: (1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合; (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合;
= =
7
5 2
5
, 所求集合可表示为 ,
7 5
,
2 5
.
探究一
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反思感悟列举法应用的解题策略 1.一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中 元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元 素间的规律呈现清楚,才能用省略号. 2.要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素, 从而用相应的形式写出元素表示集合.
解:a的值为1或
1 2
.
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探究三
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元素分析法
解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集
合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,
所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分
析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确
的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是
{y|y≥1}.
③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足
y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足
y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为
一
二
2.填写下表 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b}
{x|a≤x<b}
{x|a<x≤b} {x|x≥a}
三
名称 闭区间 开区间 半开半 闭区间 半开半 闭区间
符号 [a,b] (a,b) [a,b)
(a,b] [a,+∞)
数轴表示
一
二
三
定 义名 {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R
定性、互异性、无序性)
典例 下列四个集合:
①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.
(1)它们各自的含义是什么?
(2)它们是不是相同的集合?
分析:在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中
的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.
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1.集合{x∈N+|2x-1<9}的另一种表示方法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 答案:B 2.下列各组中的M,P表示同一集合的是( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
一
二
三
知识点二、描述法 1.思考 用列举法与描述法表示集合的区别是什么? 提示:
列举法
一般形式 {a1,a2,a3,…,an} 适用范围 有限集或规律性较强的无限集
特点
直观、明了
描述法
{x∈I|p(x)} 有限集、无限集均可 抽象、概括
一
二
三
2.填空
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于
(5){x|x2-5x-6=0}.
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反思感悟用描述法表示集合应注意的问题 1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其 他形式; 2.准确说明集合中元素所满足的特征; 3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明 的符号; 4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用 “且”“或”等表示描述语句之间的关系.
{1,2,3,4,6,12};
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4};
(3)方程 y=x-1 与 y=-23x+43可分别化为 x-y=1 与 2x+3y=4,则方程组
������-������ = 1, 的解是 2������ + 3������ = 4
������ ������
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变式训练1试用列举法表示下列集合:
(1)满足-3≤x≤0,且x∈Z;
(2)倒数等于其本身数的集合;
(3)满足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序数对;
(4)方程x2-4x+4=0的解.
解:(1)∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.
故满足条件的集合为{-3,-2,-1,0}. (2)∵x= 1������,∴x=±1. ∴满足条件的集合为{-1,1}.
B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} 解析:选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D 中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量构成的集合,而集合P是 二次函数y=x2-1,x∈R图像上所有点构成的集合. 答案:C
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3.用列举法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是
.
解析:∵x=-2,-1,0,1,2,
∴对应的函数值y=3,0,-1,0,3,
∴集合A用列举法可表示为{-1,0,3}.
答案:{-1,0,3}
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4.若A={2,3,4},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数
探究二
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反思感悟1.对于集合的表示方法中的含参数问题不仅要注意弄 清集合的含义,也要清楚参数在集合中的地位.
2.含参数问题常用分类讨论思想来解决,在讨论参数时要做到不 重不漏.
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延伸探究若将本例中的“各元素之和等于3”改为“各元素之和等
于1”,则a的值又如何?
为
.
解析:当n=2,m=3时,n-m=-1;
当n=2,m=4时,n-m=-2;
当n=3,m=4时,n-m=-1;
当n=3,m=2时,n-m=1;
1.思考
(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?
提示:A={x|-3<x≤2} (2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3<x≤2}? 提示:可以用区间表示为(-3,2]. (3)区间与数集有何关系? 提示:(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示, 是集合的另一种表达形式; (2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等; (3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来,表示两个集 合之间的运算.
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用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合: (1)36与60的公约数构成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合; (3)一次函数y=x-1与 y=-23x+43 的图像的交点构成的集合. 分析:(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式. 解:(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为
集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性
质.此时,集合A可以用它的性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方
法称为特征性质描述法,简称描述法.
3.做一做 不等式5x<2 018在实数范围内的解集可表示为
������∈R
������
<
2
018 5
。
一
二
三
知识点三、区间的概念
看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本特征.
探究一
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解:(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),
表示的是该函数自变量的取值范围.显然x∈R,该集合表示实数集R.
②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示
称符 号 (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞)
数轴表示 取遍数轴上的所有值
一
二
三
名师点拨 1.区间表示了一个数集,主要用来表示函数的定义域、 值域、不等式的解集等.
2.若[a,b]是一个确定的区间,则隐含条件为a<b. 3.在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示, 不属于这个区间端点的实数,用空心圆圈表示. 4.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开. 5.用+∞,-∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式.
集合与常用逻辑用语
第2课时 集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的表示方法
课标阐释
思维脉络
1.掌握集合的两种表示方法 ——列举法和描述法.
2.能够利用集合的两种表示
方法表示一些简单的集合. 3.理解集合的特征性质,会用 集合的特征性质描述一些集
合,如数集、解集和一些基本
图形构成的集合等.
一
二
三
知识点一、列举法 1.思考 用列举法可以表示无限集吗? 提示:可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时 要把元素间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为 {1,2,3,4,5,6,…}. 2.填空. 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写 在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法. 3.做一做 用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤ 5 }为{0,1,2}.
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含参数问题
例3已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实
数a的值,并用列举法表示集合M.
解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根
时,重根只能算作集合的一个元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.
解:(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.
(2)第二象限内的点(x,y)满足x<0,且y>0,
故集合可表示为{(x,y)|x<0,y>0}.
(3)要使该式有意义,需有
2-������ ≥ 0, ������ ≠ 0,
解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.
(4){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
元素的集合.
(2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不小于1的实数集,集合③是
抛物线上的点构成的点集,集合④是单元素集.故它们是互不相同的
集合.
探究一
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方法点睛 元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题
的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合①是后面要 学到的函数定义域,集合②是函数的值域.
当a=1时,M={1,0},不符合题意;
当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;
当 a≠1,且 a≠2 时,a+1+a-1=3,则 a=32,M=
1 2
,1,
3 2
,符合题意.
综上所述,实数 a 的值为 2 或32,
当 a=2 时,M={1,2};当
a=32时,M=
1 2
,1,
3 2
.
探究一
一
二
三
3.做一做 把下列集合用区间表示出来.
(1){x|2<x<3}; (2){x|x≤2}; (3){x|2<x<4}∪{x|5<x<9}; (4){x|x≠0}; (5){x|2≤x<3}. 答案:(1)(2,3);(2)(-∞,2];(3)(2,4)∪(5,9);(4)(-∞,0)∪(0,+∞);(5)[2,3).
探究一
探究二
探究三
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变式训练2给出下列说法: ①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为
{(x,y)|xy>0}; ②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1}; ③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 答案:A