高等数学不定积分重点难点复习资料

高等数学不定积分重点难点复习资料
不定积分
一、基本要求
1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。

3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。

二、主要内容Ⅰ. 原函数与不定积分概念三、
1.原函数
设在区间Ⅰ上)(x F 可导，且)()('
x f x F =（或dx x f x dF )()(=）就称)(x F 为)(x f 在
Ⅰ的一个原函数。

2.不定积分
在区间Ⅰ上函数)(x f 的所有原函数的集合，成为)(x f 在区间Ⅰ上的不定积分，
记作
dx x f )(. ?+=C x F dx x f )()(
其中)(x F 为)(x f 在Ⅰ上的一个原函数，C 为任意常数. Ⅱ.不定积分的性质
1.dx x f dx x f d )()(=? (或)())(('x f dx x f =?
)
2.C x f x df +=?)()( (或
C x f dx x f +=?
)()(')
3.?
=dx x f k dx x kf )()( 其中k 为非零常数. 4.?
-
-
+=
+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.
Ⅲ.基本积分公式
1.C kx kdx +=? (k 为常数
2.C x u dx x u u
++=+?
111 3.C x dx x
+=?ln 1
4.
C x x dx
+=+?arctan 12
5.C x x dx +=-?arcsin 12
6.C x dx x +=?sin cos
7.C x xdx +-=?cos sin
8.C x xdx +=?
tan sec 2
9.?
+-=C x xdx cot csc 2
10.C x xdx x +=?sec tan sec 11.C x xdx x +-=?
csc cot csc 12.C e dx e x
x +=?
13.C a a
dx a x
x
+=
ln 1 14.C chx shxdx +=? 15.C shx chxdx +=? 16.C x xdx +-=? cos ln tan
17.C x xdx +=?sin ln cot 18.C x x xdx ++=?
tan sec ln sec 19.C x x xdx +-=?
cot csc ln csc 20.C a
x
a x a dx +=+?arctan 122 21.
C a x a
x a a x dx ++-=-?ln 2122 22.C a
x x a dx +=-?arcsin 22 23.
2222
ln()dx x x a C x a =++++?
24. 2222
ln()dx x x a C x a =+-+-?
Ⅳ.换元积分法
1. 第一类换元法.(凑微分法)
dx x x f )()](['φφ?()()[()]f u du F u C F x C φ==+=+?()(x u φ=)
2. 第二类换元法
dx x f )('
1
[()]()()[()]f t t dt F t C F x C
-==+=+?()(t x ?=)
(其中)(t x ?=单调可导，且0)(≠t ?，)(t F 为)()](['
t t f ??的一个原函数)
Ⅴ.分部积分法
-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u (其中)(x u )(x v 具有连续导数)
Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分
两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.
(1)
-dx a
x 1
(2) ?-dx a x n )(1 (3)
+++dx q px x c bx 2 (4) ?+++dx q px x c bx n )(2
而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.
三角函数有理式的积分，总可用万能代换2
tan
x
u =将原不定积分化为u 为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.
四、重点与难点
原函数与基本积分公式
换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分
五、例题解析
Ⅰ、选择题
例2设
)(x f 有原函数x x ln ，则=?xdx x ln （）
(A))ln 4121(2
C x x ++
(B) )ln 2
1
41(2C x x ++ (C))ln 2141(2C x x +- (D) )ln 4
121(2C x x +- 解 ?
==
2)()(2x d x f dx x xf ?-dx x f x x f x )(2
)(2'
22
而1ln )ln ()('
+==x x x x f ，x
x f 1
)('
=
，故 ?=dx x xf )(=-+?dx x x x 2)1(ln 22C x x x +-+4)1(ln 222=C x x x ++ln 242
2
所以应选(B).
例3 解下列各题，并比较其解法：
(1)dx x
x
+2
2 (2) dx x x ?+222 (3) dx x x ?+232 (4) dx x x ?+242 解 (1)
C x x d x dx x x ++=++=+??)2ln(2
1)2(212122
222. (2) dx x
dx x x dx x
x )22
1(22)2(22
222
2
+-=+-+=+ C x x +-=2arctan
2.
(3) 22
22
2223)222(212212dx x
x dx x x dx x x +-+=+=+ C x x dx x
++-=+-
=?
))2ln(2(21)221(222
2
(4) dx x x dx x x dx x x )242(24422
2
2424++-=++-=+ C x
x x ++-=2
arctan 22233
比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。

注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。

由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。

例5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 (设
C u F du u f +=?)()()
(1)
++=
+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f ?=
du u f a )(1
(b ax u +=) C u F a +=)(1
C b ax F a
++=)(1
(2) ??++=+-)()(1)(1
b ax d b ax f an
dx x b ax f n n n n ?=du u f an
)(1 (b ax u n
+=) C u F an +=)(1
C b ax F an
n ++=)(1
如求 ?dx x x 2
43
)
(cos 解原式
424)(cos 141dx x C x +=)tan(4
14
(3)??=x d x f dx x
x f ln )(ln 1
)(ln ?=du u f )(C u F +=)(C x f +=)(ln (x u ln =) 如求
+dx x
x
3
ln 2 解原式?
++=)ln 2(ln 23
x d x C x ++=34
)ln 2(4
3
(4)
=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin C x F +=)(sin =x d x f xdx coxx f cos )(cos sin )(
C x F +-=)(cos
=x d x f dx x
cox x f tan )(tan 1
)
(tan 2
C x F +=)(tan
如求
+dx x x
2cos 3cos
解原式?-+=x d x
sin sin 131
2
-=x d x sin sin 41
2
++-=x d x
x sin )sin 21
sin 21(41
C x
x +-+=
sin 2sin 2ln 41 其它一些类型，例如
dx x x f ?
+2
11
)
(arctan ，?-dx x x f 2
11)(arcsin ，?dx e e f x x )( 例6 求dx x
x
x ?+2
21arctan 分析此题先把被积函数写成
221arctan x x x +x x x arctan 11122+-+=x x x arctan 11 arctan 2
+-=
拆成两项再进行积分较方便.
解 dx x x x ?+2
21arctan ?+-=xdx x arctan )11
1(2 dx x x
xdx ??+-
=21arctan arctan
-+-=x xd dx x x x x arctan arctan 11
arctan 2
C x x x x +-+-=2
2)(arctan 2
1)1ln(21arctan
例7 求 ?-dx e xe x x
2
)
1( 解 ?-dx e xe x x 2
)1(?-=x
x de e x 2)1(?--=11x e xd
dx e e x x x ?-+--=1
1
1dx e e e e x x x x x
---+--=111 dx e e e x x x x ?--+--=)11(1C e x e x x x +-+---=1ln 1
例8 求
dx x x ?
-2
2
1 解令t x sin =，则tdt dx cos =
dx x x ?
-221??==tdt tdt t
t 2
2cot cos sin cos ?
-=dt t )1(csc 2C t t +--=cot
C x x
x +---=arcsin 12
例9 求
+dx e e x
x 2
1
解令t e x =2
，即t x ln 2=，dt t
dx 2=
+dx e e x
x 2
1?
+=dt t
t t 212?+=dt t t )1(22
+++=dt t t t t )
1()1(222
2?++-=dt t t t )111(22
C t t t
+++--=)1ln ln 1(2 C x e e x x +--+=-2 2
2)1ln(2
例10 求
+dx x x x 2
32)
1(arctan
解令t x tan =，tdt dx 2
sec =
+dx x x x 2
32)
1(arctan dt t t
t
t ?
=23
sec sec tan ?=tdt t sin ?-=t td cos ]cos cos [?--=tdt t t C t t t +-=cos sin C x x
x
x ++-
+=
arctan 1112
2
例11求 ?
+-dx e x
x x
22
)11(
解 ?+-dx e x x x 22)11(?++-=dx e x x x x
2
22)1(21
+-+=dx x xe dx x e x x 2
22)
1(21 ??+++=22111x
d e dx x e x
x ??
+-+++=dx x e x e dx x e x x x 222111C x e x ++=2 1 注：最后一步等号成立是因为可设2
1x
e x
+的一个原函数为)(x F ，于是 ??+-+++dx x
e x e dx x e x
x x 2
22111 ))((1)(221C x F x e C x F x +-+++=C x e x ++=2
1
例12 求
++-dx x x x x )1()2(1
22
解
1
2)2()1()2(1222122++++-+-+=++-x x D
Cx x B x B x A x x x x
去分母后，再比较两边同次幂的系数得
41=
A ，1411=
B ，196172=B ，498-=
C ，493-=
D 于是
++-dx x x x x )1()2(1
22
=
dx x dx x ??-+2)2(14141??+++---dx x x x dx x )1(49)38()2(196172
而dx x x x dx x x x ??++-++=+++1
)
28
3()12(2813822
+
++-++++=4
3)21()
21(1
)1(4222
x x d x x x x d C x x x ++-
++=3
12arctan
3
2)1ln(42
从而
++-dx x x x x )1()2(1
22
2ln 19617
21141ln 41----=
x x x C x x x +++
++-3
12arctan 3492)1ln(4942
例13 求?-dx x x 5
27
)
1( 解令t x sin =，tdt dx cos = dx x x ?-527
)1( tdt t t cos cos sin 107?= tdt t 2
7sec tan ?
= t td tan tan 7
=
C t +=
8tan 8
1
C x x +-=4
28
)1(8.
例14 求
dx x x ?3cos sin 1
分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令2
tan
x
u =”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法.
解 dx x
x ?3
cos sin 1
= dx x x x x ?+322cos sin cos sin =
dx x x ?3cos sin + dx x x ?cos sin 1
= -x d x cos cos 13? + x d x tan tan 1
= x
2cos 21
+ x tan ln +C .
例15 求 dx x x
-2sin 2sin 解 dx x x ?
-2sin 2sin =dx x
x x x x ?-++-2sin 2)
cos (sin )cos (sin 21
=
21??
-+-++-+-??22)cos (sin 1)cos (sin )(sin 3)cos (sin x x x x d coxs x x x d =
=
-+-+--+++-??2)cos (sin 1)cos (sin )cos sin 3)(cos sin 3()cos (sin 21x x x x d x x x x x x d =
-+++-+)cos arctan(sin 3cos sin 3
cos sin ln 32121x x x x x x +C . 例16 求 ?+=
dx x x x I sin 3cos 2sin 1 , ?+=dx x x x
I sin 3cos 2cos 2 .
解 x dx I I ==+?
2123+1C 221sin 3cos 2ln sin 3cos 2cos 3sin 232C x x dx x x x x I I ++=++-=+-?
由此得
[]C x x x I ++-=
sin 3cos 2ln 23131
1 []C x x x I +++=sin 3cos 2ln 3213
1
2 .
例17 求
dx x
+3
11
解令t x =+31，23)1(-=t x ，则 dt t t dx )1(632-= .
+dx x
3
11
= ?-dt t t t )1(61
32 = ?-dt t t )1(63
=
C t t +-25
35
6 = 32
35
)1(3)1(5
6
x x +-++C .
例18 计算下列各题
(1) dx x f x f x f x f x f
'''-'3
2)]([)()()()(. (2) 设x x f 2
2
tan sin )2(cos +=+'，求)(x f . (3) 设x x x f )
1ln()(ln +=
，求?dx x f )(. (4) 已知1cos )(sin 2 -='x x f 且0)0(=f ，求dx x xf ?
)(sin cos .
解 (1) 原式 =?
'''-'dx x f x f x f x f x f 3
22)]([)
()()]()[( =?
'''-'?'dx x f x f x f x f x f x f 2
2)]([)()()]([)()( =?
''])()([)()(x f x f d x f x f =C x f x f +'2 ])
()([21. (2) 设 t x =+2cos ，则 x
x
x x x 2
22
2
2
cos cos 1cos 1tan sin -+-=+ =
x x 2
2cos )(cos 1-=22
)2()
2(1---t t 即 22
)2()
2(1)(---=
't t t f . dx x x dx x f x f ??---==
])2()
2(1
[
)()(22
'，即 C x x x f +----=3)2(3
1
21)(.
(3) x x e e x f ln ln )1ln()(ln +=, 即有 x x e e x f ) 1ln()(+=.
-+-=+=x
x x
x de e dx e e dx x f )1ln()1ln()( ?
+++-=-x
x x
e dx
e e
1)1ln( C e e
x x x
+++-=-)1ln()1(.
(4) x x x f 2
2
sin 1cos )(sin -=-='，即 2
)(u u f -='， C u u f +-=3
3
1)(.
由 00)0(=?=C f ，3
3
1)(u u f -=. ??
=
x d x f dx x xf sin )(sin )(sin cos ?-
=x xd sin sin 313C x +-=4
sin 12
1.
例19 设 ??
≥<=0
sin 0)(x x x x
x f ，求 dx x f ?)(.
解由于 0)0()(lim 0
==→f x f x ，可知)(x f 在(+∞∞-,)上连续.
因此)(x f 的原函数一定存在，设)(x F 为)(x f 的一个原函数. 因为)(x F 可导，则)(x F 必连续.
≥+-<=0
cos 02
1)(2x x x x x F α
0)(lim 0=-
→x F x ，α+-=+→1)(lim 0
x F x .
)(x F 在0=x 处连续，即有α+-=101=?α.
则)(x f 的一个原函数为≥+-<=01cos 02
1)(2
x x x x
x F .
故≥++-<+=+=?0
1cos 02
1)()(2
x C
x x C
x C x F dx x f .。