2020届高考数学大二轮复习专题高难拉分攻坚特训三文

高难拉分攻坚特训(三)
1．若函数f (x )＝ax －x 2
－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )
A ．[2，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ．[23，＋∞)
D ．[4，＋∞)
答案 C
解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2
－ax ＋1
x
，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，
＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2
－8≥0，显然当Δ＝0时，
f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0
的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a
2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )
的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 2
1－ln x 1)＋(ax 2－x 2
2－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 2
1＋x 2
2)－(ln x 1
＋ln x 2)＝a 22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
4－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，
选C.
2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为
3
2
，C 是劣弧AB ︵
(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．
答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，233
解析 如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为
32，∴点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ
2，3μ2，
∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
μ－λ
2，
3λ＋μ2
，又∵C 是劣弧AB ︵
(包含端点)上一动点，设点
C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
－12≤x ≤12
，32≤y ≤1，
∵OC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
μ－λ
2
，
3λ＋μ2
＝(x ，y )，∴3
2≤y
＝
3λ＋μ
2
≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
1，233.
3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2
. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <
f x
x －1
对任意的x >1恒成立，求k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1
，令f ′(x )<0⇒0<x <e
－a －1
，故f (x )
的极小值为f (e
－a －1
)＝－e
－a －1
＝－e －2
，得a ＝1.
(2)当x >1时，令g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln x
x －1
， 则g ′(x )＝
x －2－ln x x －12
，
令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x
＝x －1
x
>0， 故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．
由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．
∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝
x 0＋x 0ln x 0
x 0－1
＝x 0，
∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.
4．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；
(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－m
k
2为定值？若存在，
求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．
解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2
＋y 2
＝1， 则圆心C (1,0)，半径r ＝1.
设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，
由题意可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
R ＝x ，
R ＋1＝|PC |，
所以|PC |＝x ＋1，即x －1
2
＋y 2
＝x ＋1，
整理得y 2
＝4x .
所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2
＝4x (x >0)．
(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1
k
，
则直线l 的方程为y ＝1
t
(x －2)，即x ＝ty ＋2.
联立，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
x ＝ty ＋2，
消去x ，得y 2
－4ty －8＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 1＋y 2＝4t ，
y 1y 2＝－8.
因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)， 故k 1＝
y 1
x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4
y 1
， 同理，得1k 2＝t ＋4
y 2
，
所以1k 21＋1k 22－m k
2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋4y 22－m k
2
＝2t 2＋8t ×⎝
⎛⎭⎪⎫1y 1
＋1y 2
＋16×⎝
⎛⎭
⎪⎫1y 21
＋1y
22
－mt 2
＝2t 2
＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2
2
－mt 2
＝2t 2＋8t ×4t －8
＋16×
4t
2
－2×－8－8
2
－mt 2
＝2t 2
＋4－mt 2
＝(2－m )t 2
＋4，
要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－m
k
2为定值，且定值为4.。