高考总复习北师大BSD版数学 换底公式 课后练习
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课时作业(二十)
一、选择题 1.log 49
log 43的值为( )
A.12 B ．2 C.32
D.92
解析：log 49
log 43＝log 39＝2.
答案：B
2．下列各式中值为零的是( ) A ．log a a B ．log a b －log b a C ．log a 1 D ．log a (log a a 2) 答案：C 3．log 331
9
的值等于( ) A.34 B ．－3
4 C.43
D ．－43
解析：log 3
319＝log 319
log 333＝log 33－2log 33
23
＝－232＝－4
3. 答案：D
4．若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1
log 5
x 的值为( )
A ．1 B.12
C ．2
D ．以上都不对
解析：原式＝log x 3＋log x 4＋log x 5＝log x 60＝log 6060＝1. 答案：A
5．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b
解析：log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b
b . 答案：B
6．2＋1log a
10比lg a
100大( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：由于2＋1log a 10＝2＋lg a ，lg a
100＝lg a －2，
所以(2＋lg a )－(lg a －2)＝4. 答案：B 二、填空题
7．log 43·log 134
32＝________.
解析：原式＝log 223·log 3－1254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－54log 32
＝－5
8()log 23·log 32 ＝－5
8.
答案：－5
8
8．设2a
＝5b
＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m ＝________.
解析：∵a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5
m
＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10. 答案：10
9．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：∵由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，
∴此次地震的震级为6级．
设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1
A 2
＝
lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4，
∴A 1
A 2
＝104＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
答案：6 10 000
三、解答题
10．计算：(1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 124
32. (2)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5)．
解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 32＋12log 32＋log 225
4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56log 23·
⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 32＋5
4
＝56×32×lg 3lg 2×lg 2lg 3＋54＝54＋54＝52. (2)原式＝⎝
⎛
⎭⎪⎫log 25＋12log 215⎝
⎛⎭
⎪⎫log 52＋12log 512
＝⎝
⎛⎭⎪⎫log 25＋12log 25－1⎝
⎛⎭
⎪⎫
log 52＋12log 52－1
＝⎝
⎛⎭⎪⎫log 25－12log 25⎝
⎛⎭
⎪⎫
log 52－12log 52
＝14·log 25·log 52＝14.
11．已知18a ＝9,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. 解：解法一：由已知可得log 189＝a ，log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182
＝a ＋b
1＋1－log 189＝a ＋b
2－a
. 解法二：∵log 189＝a ，log 185＝b ， ∴2log 231＋2log 23＝a ，log 251＋2log 23
＝b .
∴log 23＝a 2(1－a )，log 25＝b
1－a
.
∴log 3645＝log 25＋2log 232＋2log 23＝b 1－a ＋
a
1－a 2＋
a 1－a
＝a ＋b
2－a . 12．设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．
解：∵由换底公式得log a x ＋3log a x －log a y
log a x ＝3，
整理得(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， ∴log a y ＝(log a x )2
－3log a x ＋3＝⎝
⎛⎭⎪⎫log a
x －322＋34. ∴当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值3
4.