广东省东莞市2011-2012学年高一上学期期末数学测试题有解答

广东省东莞市 2013－ 2014 学年度第一学期高一数学测试题
一 、选择题（本大题共 10 小题，每题
5 分，共 50 分.每题各有四个选择支，仅有一个
选择支正确 .）
1．已知全集 U {1，2，3，4，，5，6 7 } ， A {2 ，4 ，5} ，则 C U A （ ）
A ．
B ． {2 ，4，6}
C ． {1，3，6，7}
D ． {1，3，5，7} 2．以下命题中，正确的选项是（ ）
A ．经过不一样的三点有仅有一个平面
B ．分别在两个平面内的两条直线必定是异面直线
C ．垂直于同一条直线的两条直线平行
D ．垂直于同一个平面的两条直线平行
3．已知 Rt ABC 的极点坐标分别为 A(5 ， 1) ， B(1，1) ， C (2 ，m) ，若 C 90 ，则实
数 m 的值为（
）
A ．2或 2
B ． 2
C ． 2
D ． 3
4．一个圆柱的侧面睁开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（
）
1
2
1 2
1 2
1 4
A ．
B ．
2
C ．
D ．
2
4
5．三个数 a
log 0.3 6， b 0.36 ， c 60.3 ，则的大小关系是（
）
A ． b c a
B ． a c b
C ． b a c
D ． a b c
6．函数 f ( x) ln x
2
）
的零点所在的大概区间是（
x
1 ，
B ． (1，2)
C ． (2 ，3)
D ． (e ， )
A ． (
1)
e
7．已知直线 l 1 : ax
y a 0 ， l 2 : (2 a 3)x ay a 0 相互平行，则 a 的值是（
）
A ． 1
B ． 3
C ．1或 3
D ． 0
8．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图获得的图形仍是一个三角形，那么直观图 三角形的面积与本来三角形面积的比是（
）
A ．
2 3 2 3
B ．
4
C ．
D
4
2
2
9．已知点 A(1，0) ， B( 1，0) ，过点 C(0 ， 1) 的直线 l 与线段 AB 订交，则直线
l 的倾斜
角范围是（
）
A ．[45
，135 ] B ．[45 ，90 ) (90 ，135 ] C ．[0 ，45 ] [135 ，180 ] D ．[0 ，135 ]
x 2 x
， 0
2
10．已知函数 f ( x)
1
x
2x 1
，
．若 f (m)
f (2 m ) ，则实数 m 的取值范围是
x
（
）
A ． (
， 1) (2， )
B ． ( 1，2)
C ． ( 2，1)
D ．(， 2) (1， )
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分）
11．幂函数f ( x)的图象过点(3，3)，则 f (x).
12．已知函数 f ( x)是定义在R上的奇函数，当x0 时，
f ( x) lo
g 2 x 1 ，则 f ( 4).
13．一个几何体的三视图以下图，俯视图是边长为2的
正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此
几何体的侧棱长等于.
14．规定符号“”表示两个正实数 a 、b之间的运算，第 13题图
即 a b ab a b ，已知1 k 1 ，则函数 f ( x)k x ( x0)
的值域是.
三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15． (本小题满分12分)
已知会合 A{ x |1x 7 } ，B{ x | log2 (x2)3} ，C{ x | x a} ，全集为实数
集 R ．
（ 1）求 A B ；
，务实数 a 的取值范围．
（ 2）假如A C，且 B C
16． (本小题满分13分)
设直线l1 : y2x 与直线l2 : x y 3 交于P点．
（ 1）当直线m
过
P点，且与直线l0 : x 2 y0 时，求直线m 的方程；
（ 2）当直线m
过P点，且坐标原点O 到直线m 的距离为1时，求直
线
m 的方程．
17． (本小题满分13分)
某四星级酒店有客房 300 间，每日每间房费为五星级，并提升房费．假如每日每间客的房费每增添200 元，每日客满．该酒店欲提升品位升
20 元，那么入住的客房间数就减少10
间，若不考虑其余要素，酒店将房费提升到多少元时，每日客房的总收入最高？
18． (本小题满分 14 分 )
以下图，四棱锥
P ABCD 的底面是直角梯形，
PA 底面 ABCD ， AB
AD ，
CD AD ，CD 2AB ， E 为PC 的中点， PA
AD
AB 1．
（ ）证明：
BE // 平面 PAD ；
1
平面 PDC ；
P
（ 2）证明： BE
（ 3）求三棱锥 E
PBD 的体积．
E
D
C
A
B
第18题图
19． (本小题满分 14 分 )
2
已知函数
f ( x)
a
2x
1
(a R)
（ 1）判断并证明函数的单一性；
（ 2）若函数为 f ( x) 奇函数，务实 a 数的值；
（ 3）在（ 2）的条件下，若对随意的
t R ，不等式 f (t 2 2) f (t 2 tk)
0 恒建立，
务实数 k 的取值范围．
20． (本小题满分 14 分 )
已知函数 f (x)
| x a |，g( x) x 2
2ax 1（ a 为正实数） ，且函数 f (x) 与 g (x)
的图象在 y 轴上的截距相等． （ 1） 求 a 的值；
（ 2） 关于函数 F ( x) 及其定义域 D ，若存在 x 0 D ，使 F ( x 0 ) x 0 建立，则称 x 0
为 F (x) 的不动点．若 f ( x) g(x)
b 在其定义域内存在不动点，务实数b
的取值范围；
（ 3） 若 n 为正整数，证明：
10 f ( n) ( 4)g (n)
4
5
( 参照数据： lg3
0.3010 ， (4
)
9
0.1342 ， ( 4)
16
0.0281 ， (4
)25 0.0038 )
5
5
5
2011—2012 学年度第一学期期末教课质量检查
高一数学（ A 卷）参照答案及评分标准
一、
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C
D
A
B
D
C
B
A
A
C
二、填空
11． f x x
12．
3
13．
3
14．
1,
三、解答
15. （本小 分 12 分）
解：（ 1）由 log 2 ( x 2) 3 ，得 0 x
2 8 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 2 x 10，即 B
{ x | 2
x 10} .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 ∴ A
B { x |1 x 10} .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（2） A
C ，
∴ a 1 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
又∵ B C ，
∴ a
2 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
∴ 1 a
2 ，
即 数 a 的取 范 是 1,2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
16．（本小 分
13 分）
解：由
y 2x ，解得点 P 1，2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
x y
3
（ 1）因 m
⊥ l 0 ，所以直 m 的斜率
k m
1
1 4 分
k
l 0
2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
2
又直 m 点 P 1，2 ，故直 m 的方程 ： y 2 2 x 1 ，即
2x y 4 0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（ 2）因 直 m 点 P 1，2 ，当直 m 的斜率存在 ，可 直 m 的方程
y 2 k x 1 ，即
kx y k 2 0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
所以坐 原点 O 到直 m 的距离 d
k
2
3 ⋯⋯⋯⋯ 9 分
k
1 ，解得 k ，
2
1
4
所以直 m 的方程 ：
3
x y
3 2 0 ，即 3x
4 y 5
0 . ⋯⋯⋯⋯ 10 分
4
4
当直 m 的斜率不存在 ，直 m 的方程 x 1， 可知切合 意．⋯⋯ 12 分
上所述，所求直 m 的方程 x
1 或 3x 4y 5 0 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
17．（本小 分
13 分）
解： 酒店将房 提升到
x 元，每日的客房的 收入
y 元 . ⋯⋯⋯⋯ 1 分
每日入住的客房 数
(300
x 200 10) ,
⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
20
由 300
x 200 10
0 及 x 0 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
20
得： 0
x 800 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
依 意知： y x(300
x 200 10) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
1
20
= x 2 400 x
2
=
1
(x 400) 2 80000 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2
因 0 x 800 ，所以当 x 400 , y 有最大 80000
元. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
答 : 酒店将房 提升到 400 元 ，每日客房的 收入最高 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
18． （本小 分 14 分）
P
（ 1） 明：取
PD 中点 Q , AQ 、 EQ . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
Q
E
D
C
E PC的中点，EQ//CD 且 EQ 1
CD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2
又AB//CD且AB 1
CD ，2
EQ// AB且EQ AB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
四形 ABED 是平行四形，
BE//AQ.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又BE平面 PAD， AQ平面 PAD ，
BE // 平面PAD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）明：PA底面 ABCD ，
PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又CD AD ，且PA AD A ,
CD平面 PAD ，
CD AQ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
PA AD ，Q PD 的中点，
AQ PD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
CD PD D,
AQ平面 PDC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
BE//AQ，
BE平面 PDC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（3）解法一
∵E PC的中点，
∴V
E PBD V
B PDE
＝V
B ECD
＝V
E BCD
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
PA底面 ABCD ，∴点 E 到面 BCD的距离d 1
PA1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22
S BCD 1
CD AD1 2 11.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22
V
E BCD
1
S BCD d
1 1 1 1 ，
3
3 2 6
E PC 的中点，
∴
V
E PBD
1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
.
6
解法二
由前方 明可知：
BE 是三棱 B PDE 的高， CD PD .
在 Rt PAD 中，
PD
PA 2
AD 2
2， BE
AQ 1 PD
2
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
2 2
S
PDE
1
S PDC
1 1 PD DC
2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
2
2 2
2
V
E PBD
V
B PDE
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
1
S PDE
BE 1 2
2 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14 分
3
3
2
2
6
19．（本小 分
14 分）
（ 1）函数 f ( x) R 上的增函数． 明以下：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
明：函数
f (x) 的定 域 R ， 随意 x 1 ， x 2
R ， x 1
x 2
，
f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = 2
) - (a-
2
)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
(a -
2x 1 + 1
2x 2 + 1
=
2
2
=
2(2x 1 - 2x 2 )
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
2x 2
-
2x 1 + 1
+ 1
(2 x 2 + 1)(2x 1 + 1)
因 y =
2x 是 R 上的增函数，且
x 1 < x 2 ，所以
2x 1
- 2x 2
＜０，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
所以 f (x 1 ) - f ( x 2 ) ＜０即 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，函数 f ( x) R 上的增函数 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 （ 2）解：∵函数
f (x) 奇函数，
∴ f (0) a 1 0 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 ∴ a 1 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
当 a
1 ， f (x) = 1-
2
＝
2x - 1
.
2x
+ 1
2 x + 1
f (- x) =
2- x - 1
1- 2x
2x - 1
2 - x
+ 1 ＝
1+ 2 x
＝－
2 x
＝－ f ( x) ，⋯⋯⋯⋯ 8 分
+ 1
此， f ( x) 奇函数，足意．
所以， a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
（ 3）解：因 f ( x)是奇函数，进而不等式 f (t 22) f (t 2tk ) 0 随意的t R 恒建立等价于不等式 f (t 22) f (tk t 2 ) 随意的t R 恒成
立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
又因在 (,) 上增函数，
所以等价于不等式t 22tk t 2随意的 t R 恒建立，
即不等式 2t2kt20 随意的 t R 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
所以必有k2160 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
即 4 k 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分
所以数 k 的取范k4k 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分
20．（本小分14 分）
解：⑴∵函数 f x 与 g x的象在y上的截距相等，
∴ f0g 0 ，即a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
又 a 0 ，
∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
⑵由（ 1）知，f x g x
x23x b x1 b=
x 2 b x1
．x2
当 x1，若 f x g x b 存在不点，有x23x b=x ，即
b=x22x x
2
1 3 分1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∵ x1，∴x12
1 3 ，此 b 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
当 x1，若f x g x b 存在不点，
有 x2x2b=x ，即 b=x22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵ x1，∴x222，此 b 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
故要使得
f x
g x b 在其定 域内存在不 点， 数
b 的取 范
， 2 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
⑶ G n 10
f n
4
5
g n
．
因 n 正整数，
∴ G n 10n 1 4
n 2
2 n
1
0 ．
5
10n 4
n +1 2 2 n +1 1
G n+1
5
4 ∴
4
=10 G n
n 1
n 2
2n 1
5
10
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2 n+3
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
G n+1 1 ，10 4
2 n +3
1 ，即 2n+3 gl
4 1 ，亦即 2n 3 1
当
，
G n
5
5
3lg 2 1
∴ n
1 3
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
6lg 2
3.7
2 2
因为 n 正整数， 所以当
1 n
3 ， G n 增； 当 n
4 ， G n 减．
∴ G n 的最大 是
max G 3 , G 4
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
4 16
又G 3 =102
=100 0.0281=2.81
，
5
25
G 4 =103
4 =1000 0.0038=3.8，
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
∴ G n G 4 4 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14 分。