山东省济南第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

济南一中2017—2018学年度第一学期期末考试
高二数学试题（理科）
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．
第I 卷(选择题共75分)
一、选择题（本大题共 15小题，每小题5 分，共75分） 1.在C c b ABC sin ,16,1030B 则，中，===∠∆
等于（ ）
3.
5A 5.2B 4.5C ± 4
.
5D
2.已知数列{}n a 满足n n a a 21
1=+，若84=a ，则1a 等于（ ）
.1A .2B .64C .128D
3.已知椭圆)0(11
22
2
>=++b b y x 的离心率为1010，则b 等于（ ）
.3A
1.
3B 9
.
10C
310.10D 4.命题2
2
,:bc ac b a p <<则若，命题,01,:2
≤+-∈∃x x R x q 则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B.q p ∨ C.()q p ∧⌝ D.()q p ⌝∨
5.设()1,2,2-=u 是平面α的法向量，()2,4,3-=a 是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）
A.平行或直线在平面内
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
6.已知双曲线15
42
2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 是双曲线上一点，且0221=⋅PF F F ，则1PF 等于（ ）
13.
2A 9.2B 7.2C 3
.
2D
7.下列说法中正确的个数是（ ） ①0222
>->x x x 是的必要不充分条件；
②命题“若,2=x 则向量()()2,1,11,,0--==b x a 与向量垂直”的逆否命题是真命题； ③命题“若023,12
≠+-≠x x x 则”的否命题是“若023,12
=+-=x x x 则” A.0 B.1 C.2 D.3
1,,,42,,,,8y x
x y a b c b ---=8.若实数成等差数列，成等比数列，则（ ）
1.4A -
1.4B 1.2C 1
.2D -
9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若
ac a b A C 2
3
,2sin sin 22=-=，则B cos 等于（ ）
1.
2A 1.3B 1.4C 1
.
5D
10.已知数列{}n a 是等差数列，13,372==a a ，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
⋅+11n n a a 的前n 项和为（ ）
2.
21n A n + .21n B n + 22.21n C n -- 1
.
21n D n --
11.函数())10(13log ≠>+-=a a x y a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线 01=-+ny mx 上，其中0>⋅n m ，则
n
m 1
4+的最小值为（ ）. A.16 B.24 C.25 D.50
12.已知长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ,21=AA ,E 是侧棱1BB 的中点，则直线AE 与平面11ED A 所成角的大小为( )
A ．060
B ．090
C ．045
D ．以上都不正确
13.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线过点(3，且双曲线的一个焦点在抛物线
247y x =的准线上，则双曲线的方程为( )
A.
22
12128
x y -= B.
22
12821x y -= C.22134x y -=
D.22
143x y -=
14.已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．
5
5 B ．
5
55 C ．
5
11 D ．
5
5
3 15.已知数列{}n a 中，()*
+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211.若对于任意的[]*
∈∈N n t ,1,0，不等式
()3121
221
+-++--<++a a t a t n a n 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）. A.()()+∞⋃-∞-,31, B.(][)+∞⋃-∞-,12, C.(][)+∞⋃-∞-,31, D.[]3,1-
第II 卷（非选择题共75分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+124x y
x y x ，
261_______z x y =-+则的最大值是
17.设21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点，P 在椭圆上，且满足 6021=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是 .
18.关于x 的不等式()
()01112
2
<----x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .
19.在中，若
，此三角形的形状是 三角形．
20.已知抛物线x y 82
=上有一条长为9的动弦AB ，则AB 中点到y 轴的最短距离为 . 三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-C a b B c 2sin 2cos ππ. (1)求角C 的大小；
(2)若,3,13==b c 求ABC ∆的面积. 22.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足,122
-+=n a S n n 且1>n a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求n a n a a
n a a a T 2222
121⋅++⋅+⋅= 的值.
23.（本小题满分12分）
,1ABCD AE ABCD AB AE ⊥==已知是正方形，直线平面且 (1),AC DE 求异面直线所成的角 (2)A CE D --求二面角的大小
(3)P DE ABE H PH ACE H ∆⊥设为棱的中点，在的内部或边上是否存在一点，使平面？若存在求出点的位置，若不存在说明理由.
24.（本小题满分14分） 点(
)
1,2M
在椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 上，且点M 到椭圆两焦点的距离之和为
52.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知动直线()1+=x k y 与椭圆C 相交于A,B 两点，若⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,37P ，求证：⋅为定值.
济南一中2017—2018学年度第一学期期末考试
高二数学试题（理科）答案
一 选择题
1-5、DCBDA 6-10、ACACB 11-15、CBDDC 二 填空题
16、0 1733 18、]1,5
3
(- 19、直角 20、5
2
三解答题
21、解：（1）在ABC ∆中，)2
sin()2()cos(
C a b B c --=-π
π，
即C a b B c cos )2(cos -=-（1分）
由正弦定理得C A B B C cos )sin 2(sin cos sin -=-（2分）
C A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+
C A C B cos sin 2)sin(=+，（3分）
即C A A cos sin 2sin =（4分）
又因为在ABC ∆中，0sin ≠A ，所以1cos 2=C ，即21cos =
C ,所以3
π
=∠C （6分） （2）在ABC ∆中，C ab a b c cos 22
2
2
-+=,所以a a 39132
-+= 解得4=a 或1-=a （舍去），（9分） 所以33sin 2
1
==
∆C ab S ABC （12分） 22、解：（1）当1=n 时，11222
11-+==a a S n ，解得21=a 或0（舍）
（1分）.当2≥n 时，122-+=n a S n n ，1)1(22
11--+=--n a S n n
两式相减得：122
12
+-=-n n n a a a ，即0)1(2
12
=---n n a a ，0)1)(1(11=--+---n n n n a a a a ，又因为1>n a ，所以0)1(1>+--n n a a ，
011=---n n a a ，即11=--n n a a ，所以数列}{n a 是公差为1的等差数列1
1)1(1+=⋅-+=n n a a n （6分）.
（2）因为n a n a a
n a a a T 22
22
121⋅++⋅+⋅= ，
所以 13
22)1(2322+⋅+++⨯+⨯=n n n T
=n T 2 2132)1(222++⋅++⋅++⨯n n n n （7分）
两式相减得21
3
3
2)1()2
2(2++⋅+-+++=-n n n n T
221322)1(2
1)21(28++-⋅-=⋅+---⨯+=n n n n n
所以2
2
+⋅=n n n T （12分）
23（Ⅰ） 以A 为坐标原点、AD 为x 轴，AE 为y 轴、AB 为z 轴建立坐标系，则()0,0,0A ，
()()(),1,0,1,0,1,0,0,0,1C E D 从而()()0,1,1,1,0,1-==DE AC ，于是
21
,cos -=⋅⋅>=
<DE
AC DE
AC DE AC , 因此异面直线AC 与DE 所成角为 60.------------------4分
（Ⅱ）()()1,1,1,1,0,1--==CE AC ，设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，则⎩
⎨
⎧=-+-=+.0,
0z y x z x
令1=x ，得()1,0,11-=n ，同理可得平面CDE 的法向量为()0,1,12=n ，因此其法向量的夹角为
60，即二面角D CE A --的大小为
60. -----------------8分 （Ⅲ）由于⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21P ，设()z y H ,,0（其中1,0,0≤+≥≥z y z y ），则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=z y PH ,21,2
1. 由⊥PH
面ACE,得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0CE PH AC PH 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-,0212
1,021
z y z 解得,21==z y 故存在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21,0H ，即BE 的中点，使⊥PH 平面ACE. ----------------12分
24、解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==+5
221122
2a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==35522
b a 即椭圆的方程为13
5522=+y x （4分）
（2）设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+
+=1355)1(2
2y x x k y 得0536)31(2
222=-+++k x k x k ，
02048)53)(13(4362224>+=-+-=∆k k k k ，
1
35
3,136********+-=+-=+k k x x k k x x （8分）
所以21212211)3
7
)(37(),37(),37(y y x x y x y x ⋅+++=+⋅+
=⋅ )1)(1()3
7
)(37(21221+++++=x x k x x
22122129
49
))(37()1(k x x k x x k +++++⋅+=
2
2242222222
949135163949)136)(37(1353)1(k k k k k k k k k k k +++---=+++-+++-+=9
4=（14分）。