13-03-01高一数学《实数与向量的积》(课件)
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实数与向量积及几何意义 PPT课件 图文
M u u u B r1 2 u D u u B r1a 2 -b 1a 2 1b2
22
22
M uuuC ur1u A uC ur1a1b 2 22
M u u u D u r M u u u B r 1u B u D u r 1a 1b 2 22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
OA
B
C
N
M
QP
u u u r u u u r u u u r u u C a a a 记: aaa3a
即:
uuur r OC3a.
同理可得:
u u u r r r r r P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
任意实数，则有：
(1)(a) ()a (2)()aaa (3)(ab) ab
例题解析
例1：计算题
(1)(3)4a
r 12a
(2) 3(ab)2(ab)a
r 5b
(3) (2a3bc)(3ar2brcr)
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.u u 如u r 图,已知u 任u u r 意两个非零u u u 向r 量 a, b, 试作 O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
高一数学实数与向量的积PPT教学课件 (3)
义中的第(2)条知,a与b共线。
(2)若b与a共线,a≠0, 且向量b的长度是向量a的长度
的 倍,即|b|:|a|,那么当a与b同方向时，有b a ; 当a与b反向时,有 ba
例2 如图，已知AD = 3AB,DE = 3BC,试判断 AC与 AE是否共线。
解: 因为 AE=AD+DE
=3AB+3BC
=3（AB+BC）
=3AC
C
所以 AC 与AE 共线 A
B
E D
练习
（1）在四边形ABCD中，若 AB= -1/2 CD，则 此四边形是（C）
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
（2）若M是△ABC的重心，则下列各向量中与 AC 不共线的是（ D）
A. AB+BC +CA
B. AM+MB+BC
C. AM+BM +CM
所以 MC=3MN
所以M，N，C共线
1 k 0 4 0
4 k
1
4
4 、如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中
点，点N是BD上的一点，BN 1 BD ，求证M、N、C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
N
=MB+（BD+DC）
A
M
B
=MB+（BD+AB）
=MB+（3BN+2MB）
=3MB+3BN =3（MB+BN） 又因为 MN=MB+BN
所以 |(a )| |()a |
如果 , 同号，则（1）式两边向量的方向都与a同向； 如果 , 异号，则（1）式两边的向量的方向都与a的方
(2)若b与a共线,a≠0, 且向量b的长度是向量a的长度
的 倍,即|b|:|a|,那么当a与b同方向时，有b a ; 当a与b反向时,有 ba
例2 如图，已知AD = 3AB,DE = 3BC,试判断 AC与 AE是否共线。
解: 因为 AE=AD+DE
=3AB+3BC
=3（AB+BC）
=3AC
C
所以 AC 与AE 共线 A
B
E D
练习
（1）在四边形ABCD中，若 AB= -1/2 CD，则 此四边形是（C）
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
（2）若M是△ABC的重心，则下列各向量中与 AC 不共线的是（ D）
A. AB+BC +CA
B. AM+MB+BC
C. AM+BM +CM
所以 MC=3MN
所以M，N，C共线
1 k 0 4 0
4 k
1
4
4 、如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中
点，点N是BD上的一点，BN 1 BD ，求证M、N、C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
N
=MB+（BD+DC）
A
M
B
=MB+（BD+AB）
=MB+（3BN+2MB）
=3MB+3BN =3（MB+BN） 又因为 MN=MB+BN
所以 |(a )| |()a |
如果 , 同号，则（1）式两边向量的方向都与a同向； 如果 , 异号，则（1）式两边的向量的方向都与a的方
实数与矢量的积 说课 课件
设计意图 引导学生进 行课堂小结， 并对学法给 予指导
小结
教学环节
教学程序
设计意图 巩固所学知识，强 化基本技能的培训， 培养学生良好的学 习品质。
课本P110 2、3、4、5
布置作业 板书设计
五．单元课结评价：
本节课的设计最大的特色在于向量共线定理 的应用过程中例题的安排，按照一定的梯度，从 直接应用到间接应用，符合学生的认知规律，特 别是体现了向量知识在解决几何问题的便捷性， 也符合高考考纲中要求学生熟练掌握以向量为工 具解决问题的能力，其次本节课对教学疑点有作 进一步的阐明，不仅发现问题也解决了问题，达 到很好的教学效果。
一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量， 记作 a 它的长度与方向规定如下： 1、| a |=| || a | a 方向与a 的方向相同， 2、当 ＞0时， a方向与 a 的方向相反， 当 ＜0时， a = 0 当 =0时 ，
教学环节
教学程序
设计意图
运算律
实数与向量的积也可称 为数乘向量，它与向量 运算律的给出采用开 的加法、减法以及它们 门见山的方式，但可 的混合运算称为向量的 说明证明这些运算律 线性运算。 成立的关键，是证明 根据实数与向量的定义， 等式两边的向量的模 可以得出下面的运算律： 相等，且方向相同。 1、 ( a) ( )a
教学环节
教学程序
设计意图 由数与数的积的概 念推广到实数与向 量的积，这不仅符 合从已知到未知的 探索规律，也对后 面启发学生发现向 量的线性运算与代 数运算中实数乘法 的运算律的相似性 作了一个铺垫。
在代数运算中， a+a+a=3a，故实数乘法 可以看成是相同实数加法 引入课题 的简便计算方法，所以相 同向量的求和运算也有类 似的简便计算，由此引入 本节的课题“实数与向量 的积”
高一数学最新课件-实数和向量的积人教版 精品
=(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和 方向规定如下： （1） a = a
a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， （2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 = 0 或 a = 0 时， a = 0 运算律： 结合律 a = a
5.3 实数与向量：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、
质量都是数量． 已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a) a -a -a -a a a a
O A B C OC = OA+ AB + BC =a+a+a 记作3a 3a与a方向相同 |3a|=3|a| N M Q P PN = PQ + QM + MN
第一分配律 第二分配律
+ a = a + a a + b = a + b
例1．计算：
（1） 3 4a （2） 3a + b 2a b a （3）2a + 3b c 3a 2b + c -12a 5b -a+5b-2c
= 3 AC
∴ AC与 AE 共线．
练习：
e2 是两个不共线向量，已 AB = 2e1 + Re 2 ， (1)设 e1 、
CB = e1 + 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值． R=6
(2)若O为
BC = 6e2 ， ABCD的对角线交点，AB = 4e1 ，
实数与向量的积PPT优选课件
2020/10/18
1
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复 习 向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解 定理讲解 课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 例题讲解 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解 课堂练习 小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
6
复 习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
1
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复 习 向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解 定理讲解 课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 例题讲解 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解 课堂练习 小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
6
复 习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
2021学年度上学期高一数学《实数与向量的积》ppt课件(77张))
a
3(2a) 6a
2a
3( 2a )
6a
a
3(2a) 6a
2a
3( 2a )
6a
a
2a
3( 2a )
6a
3(2a) 6a
a
2a
3( 2a )
6a
3(2a) 6a
(a) ()a
2a 3a
2a 3a 5a
a
2a 3a 5a
a
2a 3a 5a
D
b
M
A a
C B
变式. 如图, ABCD的两条对角线相交于点M , 且 AB a, AD b, 若P是AM中点，你能用a, b表示DP吗?
D
b
M
P A
a
C B
例A.4.已0,知a ,0时，R，a则与在 a的下方列向各一命定题相中反，正确的是：
B.
0,
a
0时，a与a的方向一定相同
C.
0,
a
b
从a的起点指向b的终点的向量。
a
2、向量减法: a b
2 0 2 1 学年度 上学期 高一数 学《实 数与向 量的积 》ppt课 件（7 7张）） （公开 课课件 ）
b
a
2 0 2 1 学年度 上学期 高一数 学《实 数与向 量的积 》ppt课 件（7 7张）） （公开 课课件 ）
一、温故知新
( )a a a
2(a b)
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
a
b
2(a b) 2a 2b
ab
高中数学优质课件精选人教版实数与向量的积
新课讲解
b=λa
向量a与b共线
例题讲解
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线
定理讲解 2. 3.
证明 证明
三点共线: AB=λBC 两直线平行:
A,B,C三点共线
课堂练习 AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上 小结回顾
直线AB∥直线CD
定理讲解
课堂练习
小结回顾
a
3(2a)
2a
6a
3(2a)
=
6a
一般地: (a) ()a
a
5a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
一般地：( )a a a
ab
2(a b ) 2a 2b
2(a b)
ab
2b
2a
一般地: (a b ) a b
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
定理讲解
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
课堂练习 MC= … = 1 a+ b
N
2
小结回顾
A
M
B
例4
且 如图AB所示a ，，平AD行四b，边用形aA、Bb表CD示的CM两A、条M对B、角 MC线、M相D交? 于点MB，
D
C
AM
e1
·O
A
B
复习
小结回顾
引入练习一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
向量数乘运算及其几 何意义
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
高一数学最新课件-实数与向量的积人教版[整理] 精品
![高一数学最新课件-实数与向量的积人教版[整理] 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/bad759ca844769eae009edce.png)
例题讲解 试判断AC与AE是否共线。 E
定理讲解
C
A
课堂练习 课本P107- 4
B
D
小结回顾
复习
引入练习
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
新课讲解 三点共线。
提示：设AB = a BC = b
例题讲解
定理讲解
则MN=
1
…=
a
+
1
b
新课讲解
作法:在平面中任取一点o,
例题讲解 定理讲解
b ao
过O作OA= a
b B 过O作OB= b
以OA,OB为边作
课堂练习 a
a+b
平行四边形
小结回顾 A
则对角线
C
OC= a+b
复习 引入练习 新课讲解 例题讲解 定理讲解
向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
作法:
一般地：( )a a a
ab
2(a b ) 2a 2b
2(a b)
ab
2b
2a
一般地: (a b ) a b
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
新课讲解
③λ(a+b)=λa+λb
例题讲解 例1 计算：
课堂练习 AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上 小结回顾
直线AB∥直线CD
复习
引入练习 新课讲解 例题讲解 定理讲解
高一数学实数与向量的积
说明：对比发现向量的运算法则同实数的运算法则相当类似,实 际上,对于实数运算中的去括号、合并同类项、移项等， 在向量的运算中同样适用。
例2：
如图，已知 AD 3 AB ， DE 3BC 。 试判断 AC 与 AE 是否共线？
E
C A B
说明：向量共线的充要条件实际上是由实数与向 量的积的定义得到的，利用它常可以解决有关三 点共线和两直线平行问题。
练习1
设 e1、 e2 是两个不共线的非零向量，
CD 2e1 4e2 BC 2e1 4e2 ， 若向量 AB 3e1 2e2 ，
试证： A、 C、 D
向量不共线，问
c 2a b 与
d 3a 2b 是否共线？
；东森注册 东森注册 ；
用 OA， OB 表示 OP
P
t R
B A
O
例6：
如图，已知 M、N 分别是 ABC 两边的中点，
1 求证：MN // BC , MN BC 2
A
M
N
B
C
小结
对于向量的加法、减法以及数乘的向量运算，统 称为向量的线性运算，又称为向量的初等运算。 他们的运算法则在形式上很象实数加减法与乘法 满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算 在具体含义上是不同的，但是，由于他们形式上 相类似，因此，实数运算中的去括号，移项，合 并同类项等变形手段在向量的线形运算中都可以 使用。 对于向量共线的充要条件 对于平面向量基本定理的理解
D
例3：
如图：G 为 ABC 的重心
求证： 1AB BC CA 0
A
2GA GB GC 0 3GD GE GF 0 4PA PB PC 3PG
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湖南长郡卫星远程学校
制作:06
2013年上学期
作业布置
考一本《配套练习》
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制作:06
2013年上学期
制作:06
2013年上学期
思考： 反过来，如果 a 与 b 是共线向量， 那么b a？
结论
如果a，b 是共线向量， 那么b a .
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2013年上学期
当且仅当有唯一一个实 数，使得b a .
非零向量a与b 共线,
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2013年上学期
a
2a
5a
3a ( 2 3)a 2a 3a
( )a a a
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a
b
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2013年上学期
a
b
b a
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2013年上学期
练习：
已知向量e1 , e2不共线, 若 AB e1 e2 , BC 2e1 8e2 , CD 3e1 3e2 , 求证 : A, B , D三 点共线；
湖南长郡卫星远程学校 制作:06 2013年上学期
综合应用：
e2是两个不共线的向量 ,且 例4： e1、 AB 2e1 k e2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 , 若A, B , D三点共线,求k的值.
湖南长郡卫星远程学校 制作:06 2013年上学期
-a
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2013年上学期
-a
D
-a
P
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2013年上学期
-a
E
-a -a
D P
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2013年上学期
-a
F
-a -a -a
E D P
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2013年上学期
-a
F
-a -a -a
E D P
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2013年上学期
-a
F
-a -a -a
E D P
如 图： PF PD DE EF (a ) (a ) (a ) 记作( 3a ), PF与a的方 向相反， 且 3a 3 a .
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定 义：
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2013年上学期
定 义：
实数与向量a的积是一个向量， 记作a，它的长度和方向规定如下：
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2013年上学期
定 义：
实数与向量a的积是一个向量， 记作a，它的长度和方向规定如下： (1) a a
二、定理的应用： 1. 证明向量共线；
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2013年上学期
二、定理的应用： 1. 证明向量共线；
2. 证明三点共线： AB λ BC (a 0) 又 B为公共点 A、B、C三点共线 .
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3. 证明两直线平行： AB // CD AB与CD不在同一直线上 直线AB // 直线CD . AB λ CD
实数与向量的积
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2013年上学期
物理学公式：
F=ma
S=vt V=at
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2013年上学期
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
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2013年上学期
a
b 2(a b ) 2a 2b
ab
2(a b )
2b
(a b ) a b
湖南长郡卫星远程学校 制作:06 2013年上学期
2a
实数与向量乘积的基本运算律：
设a , b 为任意向量， 、 为任意实数，则有： (1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) ( a b ) a b
其中e1 , e2不共线， 试确定实数k的值.
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2013年上学期
例4. 已知AD 3 AB ，DE 3 BC ， 试判断AC与AE是否共线？
E
C
A
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B
D
制作:06 2013年上学期
变式：如图,已知任意两个非零向量
a、b, 试作OA a b, OB a 2b, OC a 3b.证明A、B、C三点共线.
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2013年上学期
思考：a与a有何关系？(a 0)
如果b a , 结论 那么a，b 是共线向量 .
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2013年上学期
思考： 反过来，如果 a 与 b 是共线向量， 那么b a？
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a
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2013年上学期
a
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2013年上学期
a
2a
湖南长郡卫星远程学校
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2013年上学期
a
2a
3( 2a )
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2013年上学期
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2013年上学期
a
b
湖南长郡卫星远程学校
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2013年上学期
a
b
ab
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2013年上学期
a
b
ab
2a
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2013年上学期
a
b
ab
2a
2b
2a
3( 2a )
6a 3( 2a ) 6a
( a ) ()a
湖南长郡卫星远程学校 制作:06 2013年上学期
a13年上学期
a
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制作:06
2013年上学期
a
5a
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a
2a
3( 2a )
6a
湖南长郡卫星远程学校
制作:06
2013年上学期
a
2a
3( 2a )
6a
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2013年上学期
a
2a
3( 2a )
6a 3( 2a ) 6a
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2013年上学期
a
制作:06
2013年上学期
定 义：
实数与向量a的积是一个向量， 记作a，它的长度和方向规定如下： (1) a a (2) 当 0时， a的方向与a的方向相同； 当 0时， a的方向与a的方向相反； 特别地， 当 0或a 0时， a 0 .
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2013年上学期
例2. 如图,
ABCD的两条对角线
相交于点M, 且 AB a , AD b, 你能用 a、b表示MA、 MB、 MC 和MD吗？
D b A
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C
M
B
制作:06 2013年上学期
a
思考：a与a有何关系？(a 0)
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a
a a
O A
a
B
C
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2013年上学期
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
a
a a
O A
a
B
C
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制作:06
制作:06
2013年上学期
a
2a
5a
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制作:06
2013年上学期
a
2a
5a
3a
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a
2a
5a
3a
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a
2a
5a
3a ( 2 3)a 2a 3a
a
a
O A
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2013年上学期
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
a
a a
O A
B
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2013年上学期
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
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2013年上学期