高二数学竞赛讲义11平面几何中的几个重要定理0平面几何知识点总结

平面几何的几个重要定理
4.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：
1PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=⋅⋅∆∆RB
AR QA CQ ，则、、长线分别交于或它们的延
、、的三边并且与的顶点，
不经过梅涅劳斯定理：若直线三点共线；、、，则，这时若
或数为边上的点的个
三点中，位于、、并且三点，
上或它们的延长线上的、、三边的
分别是、、梅涅劳斯逆定理：设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=⋅⋅∆∆RB AR QA CQ 1:.3=⋅⋅∆RB
AR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点，则、、的分别是、、塞瓦定理：设M Q R A C
P B ；
内接于圆，则有：
设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；
内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD
AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅三点共线；
、、则，、、的垂线，垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ∆.5的外接圆上；
在则在同一直线上，
、、若其垂足作垂线，的延长线或它们
的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ∆∆)(.6
；
，则、
于分别交和，连接和弦任意引
的中点蝴蝶定理：一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ;2.8GH OG H G O H G O ABC =∆且三点共线，
、、，则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理：设 三线共点。

、、则，、、外面，做三个正三角形的
的小于费马点：在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ∆︒
三角形。

，此三角形称为拿破仑中心组成一个正三角形，则此三角形的边为边作三个正三角形三角形的外面，各以三拿破仑三角形：在任意.10
的莫莱恩线。

为三点共线。

这条直线称、、，则、、长线交于的延、、别和作其外接圆的切线，分、、三个顶点莫莱恩线：过ABC F E D F E D AB CA BC C B A ABC ∆∆.11 三点共线。

、、，则、、的中点分别是以及线段、，对角线延长线交于的
、，另一组对边的延长线交于、
的一组对边牛顿定理：设四边形Z Y X Z Y X EF BD AC F BC AD E CD BA ABCD .12
共线。

、、的交点和、和、和三边对边求是凸的不要边形巴斯卡定理：圆内接六N M L BC EF FA CD DE AB ABCDEF )(.13
共点。

、、的三条对角线六边形卜利安香定理：圆外切CF BE AD ABCDEF .14 15.到三角形三顶点距离之和最小的点――费马点
到三角形顶点距离的平方和最小的点――重心
三角形内到三边距离之和最大的点――重心
16.等周问题：在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大；
在周长一定的简单闭合曲线的集合中，圆的面积最大；
在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小；
在面积一定的简单闭合曲线的集合中，圆的周长最小；。