高一数学必修四知识点总结材料

高一数学必修四知识点总结
1.三角函数.................................................
(2)
2.平面向量.................................................
(7)
3.三角恒等变换.................................................
(10)
三角函数知识点
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为22,2
k k k παπαπ⎧
⎫<<+∈Z ⎨⎬
⎩
⎭
第二象限角的集合为
22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ⎧⎫+<<+
∈Z ⎨⎬⎩⎭
第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬
⎩⎭
轴线角：终边在x 轴上的角的集合为{},k k ααπ=∈Z 终边在y 轴上的角的集合为
,2k k πααπ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬
⎩⎭
终边在坐标轴上的角的集合为,2
k k παα⎧⎫=
∈Z ⎨⎬⎩
⎭
3、与角α终边相同的角的集合为{
}2,k k ββπα=+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应
P x
y
A
O
M T 的标号即为
n
α
终边所落在的区域． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=．尤其是长度l r =的弧所对的圆心角叫做1rad 。

7、弧度制与角度制的换算公式：180 3.14rad π=≈，1
180rad π=，180157.3rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
． 8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则
l r α=，2C r l =+，211
22
S lr r α==．
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是
()
220r r x y =+>，则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正．（取决于三角函数定义中的坐标正负）
α
6
π
4
π 3
π 2
π 23π 34π 56π π
32π
2π sin α
0 12
22
32
1
32
22
12
1- 0
cos α
1
32 22
12
12-
22- 32
- 1- 0 1
tan α
0 33
1
3
/
3- 1- 3
3
-
0 / 0
11、三角函数线（有方向的线段）：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：
()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；
()sin 2tan cos α
αα
=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
13、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．
()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名不变，符号看象限（把α当成是锐角，判断等号右边三角函数所在象限符号）．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 口诀：奇变偶不变，符号看象限（奇偶看与90的倍数）． 14、函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换 第一种变换：先周期后相位
sin y x =纵坐标不变横坐标伸长(01)ω<<或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍 sin y x ω=
所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移
ϕ
ω
个单位 sin()y x ωϕ=+ 横坐标不变纵坐标伸长（1A >）或缩短(01)A <<到原来的A 倍 sin()y A x ωϕ=+ 所有点向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位 sin()y A x b ωϕ=++ 第二种变换：先相位后周期
sin y x =所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位 sin()y x ϕ=+
纵坐标不变横坐标伸长(01)ω<<或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍 sin()y x ωϕ=+
横坐标不变纵坐标伸长（1A >）或缩短(01)A <<到原来的A 倍 sin()y A x ωϕ=+ 所有点向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位 sin()y A x b ωϕ=++
15、函数()()sin 0,0y x B ωϕω=A ++A >>及cos()y A x B ωφ=++的性质：
①振幅：A ；②周期：2π
ωT =
；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 1
2
y y
A =-，()max min 12y y
B =+，()21122
x x x x T
=-<．
函数tan()y x ωϕ=+，周期T π
ω
=
. 16、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin y x =
cos y x =
tan y x =
图象
作图法 五点法(0,0)(
,1)2
π
(,0)π3(
,1)2
π
-(2,0)π 五点法(0,1)(
,0)2
π
(,1)π3(
,0)2
π
(2,1)π 三点两线法2
x π
=±
(0,0)(,1)4π(,1)4
π
--
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1- []1,1-
R
最
值
当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期
性 2π 2π
π 奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单
调性
在2,22
2k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥
⎣
⎦
()k ∈Z 上是增；在
32,222k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦减
在
[]()
2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在
[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k ππππ⎛⎫-+ ⎪
⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
函
数 性质
对称中心 ()(),0k k π∈Z
(),02k k ππ⎛⎫
+∈Z ⎪⎝⎭
(),02k k π⎛⎫
∈Z
⎪⎝⎭
对称轴
()
2
x k k π
π=+
∈Z
()
x k k π=∈Z
无对称轴
注：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质则把x ωϕ+当作整体进行处理。

17、三角函数的奇偶性：()sin()f x A x B ωφ=++，则 ①()f x 为偶函数的充要条件是,2
k k Z π
φπ=
+∈
②()f x 为奇函数的充要条件是,k k Z φπ=∈，且B=0
平面向量知识点
一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC
（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b
的差，③作图法：b a -可以表示为从b
的终点指向a 的终点的向量（a 、b
有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如
下：
（Ⅰ）a a
⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a
的方向相同；当0<λ时，λ
a 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ
6、平面向量的基本定理：如果21,e e
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：
(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)
(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=
2向量的投影：︱b ︱cos θ=
||
a b
a ⋅∈R ，称为向量
b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：22
||a a a a ⋅==
5乘法公式成立：
()()2
2
2
2
a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2
2
2
2a b a a b b ±=±⋅+2
2
2a
a b b =±⋅+
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a b b a ⋅=⋅
②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b
R λλλλ⋅=⋅=⋅∈
③分配律成立：()
a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()
c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()
a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c
⋅=⋅不能得到b c =⋅
（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +
8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ
（0
01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角
cos θ=cos ,a b a b a b
∙<>=
∙=
2
2
2221212121y x y x y y x x +⋅++
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00
，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800
，同时0与
其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果a 与b 的夹角为900
则称a 与b 垂直，记作a ⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件：
a ⊥
b ⇔a ·b
＝O ⇔02121=+y y x x 平面向量数量积的性质
第三章公式总结
I.sin ：
sin （α+β）=sin αcos β+sin βcos α sin （α-β）=sin αcos β-sin βcos α
sin 2α-sin 2β=sin （α+β）sin （α-β） sin2α=2sin αcos α 1+sin2α=（sin α+cos α）2 1-sin2α=（sin α-cos α）2
2
cos 1sin 22
α
α-=
2
tan 12
tan
2sin 2
ααα+=
2
cos 12
sin
αα
-±
=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα+--=
2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-
2
cos 2sin 2sin sin β
αβαβα-+=+
II.cos ：
cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β cos （α-β）=cos αcos β+sin α
sin β
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=（cos α+sin α）（cos α-sin α）
实用文档
2
2cos 1cos 2αα+= 2sin 112cos 22
tan 12tan 1cos 222
2αααα
α-=-=+-= 2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+
)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 2cos 2cos 12α
α=+ 2sin 2cos 12α
α=-
III.sin&cos ：
sin 2α-cos 2α=-cos2α （sin2α-cos2α）2
=1-sin4α
ααα2sin 2
1cos sin = )]sin()[sin(2
1cos sin βαβαβα-++= 角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角：A+B+C=180°，sin （A+B ）=sinC ，
.2sin 2cos ,2cos 2sin ,cos )cos(C B A C B A C B A =+=+-=+ IV.tan ：
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- α
ααααααα2cos 12cos 1cos sin tan ,tan 1tan 22tan 2222+-==-= ααααααααααααα
αcos sin 1cos sin 1cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan ,2
tan 12tan 2tan 2
++-+=+=-=+-±=-=
辅助角公式： Asin α+Bcos α=（A 2+B 2）1/2sin （α+t ）。