数学选修1-1人教版导学案3.1.3导数的几何意义(可编辑修改word版)

0 导数的几何意义
预习目标：导数的几何意义是什么？
（预习教材 P 78~ P 80，找出疑惑之处） 课前预习学案
复习 1：曲线上向上 P (x , y ), P (x + ∆x , y + ∆y ) 的连线称为曲线的割线，斜率 k =
∆y =
1 1 1 1 1 ∆x
复习 2：设函数 y = f (x ) 在 x 0 附近有定义当自变量在 x = x 0 附近改变 ∆x 时，函数值也相应地改变 ∆y = ，如果当 ∆x 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数 f (x ) 在点 x 0 的瞬时变化率.
记作：当 ∆x 时， → l
上 课 学 案
学习目标：
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点： 导数的几何意义
学习过程：
学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时， 割线的变化趋是什么？
新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极
限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线
割线的斜率是： k n =
当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率
k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )
新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.
即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )
0 典型例题
∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲 线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.
例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位: m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)
( , 2) 0
有效训练 练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2
练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.
反思总结
函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )
0 ∆x →0 ∆x 其切线方程为
当堂检测 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（
） A . 4 B . 16 C . 8 D . 2
2. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（
） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7
D ． y = 4x + 7
3. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （ ）
0 h →0 h
A ．与 x 0 、 h 都有关
B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关
C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关
D ．与 x 0 、 h 都无关
4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为
5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则
lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x
课后练习与提高
1. 如图,试描述函数 f (x ) 在 x = -5, -4, -2, 0,1 附近的变化情况.
2. 已知函数 f (x ) 的图象,试画出其导函数 f '(x ) 图象的大致形状.
学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林
3.
教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学过程：
情景导入：如图,曲线 C 是函数 y =f (x )的图象,P ( x 0,y 0)是曲线 C 上的任意一点,Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )为 P 邻近一点,P Q 为 C 的割线,P M //x 轴,Q M //y 轴,β为 P Q 的倾斜角.
0 则 : MP x , M Q y , y tan . x ∆y 请问： 是割线P Q 的什么? ∆x
展示目标：见学案
检查预习：见学案
合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？ 新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线
割线的斜率是： k n =
当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率
k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )
新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.
即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )
0 精讲精练：
∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲
( , 2) 0
线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当 t = t 0 时, 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴.故在 t = t 0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当 t = t 1 时, 曲线 h (t ) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h ’(t 1) <0 .故在 t = t 1 附近曲线下降,即函数 h (t )在 t = t 1 附近单调递减. (3)当 t = t 2 时, 曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ’(t 2) <0 .故在 t = t 2附近曲线下降,即函数 h (t ) 在 t = t 2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明 h (t ) 曲线在 l 1 附近比在 l 2 附近下降得缓慢。

例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位:m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)
有效训练 练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1
处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2
练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.
反思总结
函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )
0 当堂检测 ∆x →0 ∆x 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（
） A . 4 B . 16 C . 8 D . 2
2. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（
） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7
D ． y = 4x + 7
3. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （ ）
0 h →0 h
A ．与 x 0 、 h 都有关
B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关
C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关
D ．与 x 0 、 h 都无关
4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为
5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则
lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x 其切线方程为
板书设计;略
作业布置：略。