高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程学案新人教B版必修2

2.3.2 圆一般方程
1．掌握圆一般方程及其特点；能将圆一般方程化为圆标准方程，从而求出圆心与半径；能用待定系数法由条件导出圆方程；能将圆标准方程转化为圆一般方程．
2．理解圆一般方程构造，掌握利用待定系数法求圆一般方程方法．
3．了解一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆条件．
1．圆一般方程
圆一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是
__________．
【做一做1－1】以下方程中表示圆是( )．
A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋y2＋4x－6y＋9＝0
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示图形
二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆必须具备以下两个条件：
①A ＝C ≠0，B ＝0； ②D 2＋E 2－4AF ＞0.
【做一做2－1】假设方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，那么实数m 满足条件是( )．
A ．m ＜12
B ．m ＜10
C ．m ＞12
D ．m ≤1
2
【做一做2－2】圆x 2－4x －4＋y 2＝0圆心是点P ，那么点P 到直线x －y －1＝0距离是__________．
【做一做2－3】方程x 3＋xy 2－2x 2＋2xy ＋2x ＝0表示图形是__________．
1．求圆关于一个点或一条直线对称圆方程问题
剖析：要求圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2关于点P (x 0，y 0)对称圆方程，首先找圆心C (a ，b )关于点P (x 0，y 0)对称点，得到对称圆圆心，半径不变．
如：求圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称圆方程．因为圆圆心是(－2,0)，它关于原点对称点是(2,0)，所以所求圆方程为(x －2)2＋y 2＝5.
同理求圆关于直线mx ＋ny ＋p ＝0对称圆方程，只需求圆心关
于直线对称点．
如：圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，求圆C方程，我们可以通过设圆心(1,0)关于y＝－x对称点为(a，b)，那么得所以所求圆方程为x2＋(y＋1)2＝1.
2．圆标准方程与一般方程比拟
剖析：(1)圆标准方程，需要确定圆心坐标与圆半径；而圆一般方程，那么需要确定一般方程中三个系数D，E，F.圆一般方程也含有三个参变量，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．
(2)圆标准方程明确指出了圆圆心与半径，而圆一般方程说明了方程形式上特点．
题型一求圆一般方程
【例1】求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得弦长等于6圆一般方程．
分析：此题考察圆方程同时，也考察了弦长公式，应注意根与系数关系所涉及x1x2，x1＋x2与x1－x2关系．
反思：用待定系数法求圆方程有两种不同选择：一般地，圆上三点时用一般方程；圆心或半径时，用标准方程．
题型二圆方程中参数范围问题
【例2】方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示图形是圆．
(1)求t取值范围；
(2)求其中面积最大圆方程；
(3)假设点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t取值范围．
分析：明确圆一般方程成立条件，圆面积仅与半径有关，而点在圆内那么给出了t满足不等关系．
反思：此题考察二元二次方程表示圆条件，同时考察点与圆位置关系判定方法及两种形式互化问题．
题型三求圆关于点(线)对称圆
【例3】试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称曲线C′方程．
分析：对称圆圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．
反思：圆关于点(线)对称圆大小不变，即半径不变，改变只是圆位置即圆心位置，所以只需求出圆圆心关于对称点(线)对称点即为所求圆圆心，就能确定对称圆方程．
题型四易错辨析
【例4】圆方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)直线交圆弦PQ中点M轨迹方程．
错解：设M(x，y)是所求轨迹上任意一点，圆方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，∴k CM k AM＝－1，
即y－3
x－3·
y＋5
x＋3＝－1，
整理得x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求动点M轨迹方程是x2＋(y＋1)2＝25.
错因分析：无视了动点一定在圆内这个大前提，因此求出轨迹方程后，要有检验意识．
1假设方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，那么a值是( )．
A．－1 B．2 C．－1或2 D．1
2过点P(－2,1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长直线l方程是( )．
A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝0
3圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称圆方程是( )．
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
4圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0圆心为__________，半径为
__________．
5假设直线l将圆x2＋y2－4x－2y＝0平分，并且l不经过第二象限，那么直线l斜率取值范围是__________．
答案：
根底知识·梳理
1．D2＋E2－4F＞0
【做一做1－1】D
2．D 2
＋E 2
－4F ＜0 D 2
＋E 2
－4F ＝0
⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－D 2，－E 2 1
2D 2＋E 2－4F
【做一做2－1】A 方程x 2
＋y
2
－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫x －122
＋⎝
⎛⎭⎪⎪⎫y ＋122＝12－m .
∵方程表示圆，
∴12－m ＞0，即m ＜1
2
. 【做一做2－2】2
2 由x 2－4x －4＋y 2＝0得(x －2)2＋y 2＝8，
即圆心为P (2,0)，
故点P 到直线x －y －1＝0距离为|2－1|2
＝2
2.
【做一做2－3】直线(y 轴)或点(1，－1) 由题意，得x [(x －1)2
＋(y ＋1)2]＝0，
∴x ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－1，
∴方程表示图形为直线(y 轴)或点(1，－1)． 典型例题·领悟
【例1】解：设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点
坐标分别代入得⎩⎪⎨
⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，
3D －E ＋F ＝－10.
①②
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③两根，
由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36.④
由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.
所以所求圆一般方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
【例2】解：(1)方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2
＋(1－4t 2)2－16t 4－9，
∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，
即7t 2
－6t －1＜0，解得－1
7
＜t ＜1.
故t 取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－17，1. (2)r ＝－7t 2
＋6t ＋1＝
－7⎝
⎛⎭⎪⎪⎫t －372＋167.
当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆面积最大．
对应圆方程是⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋13492＝167.
(3)当且仅当t 2＋1＜－7t 2＋6t ＋1时，点P 恒在圆内， ∴8t 2
－6t ＜0，解得0＜t ＜3
4
.
故t 取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，34. 【例3】解法一：设P ′(x ，y )为所求曲线C ′上任意一点，P ′关于l 对称点为P (x 0，y 0)，
那么P (x 0，y 0)在圆C 上．
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 0
2－y ＋y
2＋1＝0，
y －y
0x －x 0
·1＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝y －1，
y 0＝x ＋1.
(*)
因为P (x 0，y 0)在圆C 上，
所以x 20＋y 2
0－x 0＋2y 0＝0，将(*)代入，
得(y －1)2＋(x ＋1)2－(y －1)＋2(x ＋1)＝0. 化简，得x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0，
即曲线C ′方程是x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0. 解法二：(特殊对称)
圆C 关于直线l 对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心
C ′，
圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称点为C ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，32，因此所求圆C ′方程为(x ＋2)2
＋⎝
⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝54.
【例4】正解：方法一：设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心C (3,3)．
∵CM ⊥AM ，∴k CM k AM ＝－1，
即y －3x －3·y ＋5x ＋3
＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25. ∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(圆内局部)．
方法二：设过A 点弦PQ 中点坐标为M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，
y 2)，因为P ，Q 两点都在圆上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21－6x 1－6y 1＋14＝0，x 2
2＋y 2
2－6x 2－6y 2＋14＝0.
①②
由②－①得(x 22－x 21)＋(y 22－y 2
1)－6(x 2－x 1)－6(y 2－y 1)＝0，
即(x 1＋x 2－6)(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2－6)(y 2－y 1)＝0. 当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝－3，显然不符合题意．
当x 1≠x 2时，y 1＋y 2－6x 1＋x 2－6·y 2－y 1x 2－x 1
＝－1.
而x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 2－y 1x 2－x 1＝k PQ ＝y ＋5
x ＋3，所以
y －3x －3·y ＋5x ＋3
x 2
＋(y ＋1)2＝25. ∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(圆内局部)． 随堂练习·稳固
1．A
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝a ＋2，⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2a a 22
－4×a a 2>0，可得a ＝－1或a ＝2(舍)．
2．B 3．C 4．(2,1) 2
5．⎣⎢⎢
⎡⎭
⎪⎪⎫12，＋∞ 由直线l 过圆圆心C (2,1)，又l 不过第二象限，结合图示可知直线l 斜率k ≥k OC ＝12
.。