一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性

一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性
李伟年
【摘要】通过建立分数阶微分不等式,研究了一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性,并举例说明了主要结果的应用.
【期刊名称】《滨州学院学报》
【年(卷),期】2016(032)004
【总页数】7页(P32-38)
【关键词】分数阶偏微分方程;阻尼项;振动性
【作者】李伟年
【作者单位】滨州学院数学系,山东滨州256603
【正文语种】中文
【中图分类】O175
众所周知，分数阶微分方程在工程、金融、应用数学以及非线性控制等领域都有着非常重要的应用。

近年来，分数阶微分方程理论研究取得了很大的进展，详细情况可参见专著[1-5]。

最近，关于分数阶偏微分方程的研究非常活跃，有关这方面的结果，可参见文献[6-10]及其相应的参考文献。

但是，涉及分数阶偏微分方程解的振动性的研究结果却不多，目前仅有文献[11-17]。

本文考虑以下具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性。

其中，Ω是Rn中具有逐片光滑区域∂Ω的有界区域，R+=(0,+∞),α∈(0,1)是一常数，(x,t)是u(x,t)关于t的α阶Liouville分数阶右导数，Δ是Rn上的Laplace变
换。

边值条件为
或者
其中N是∂Ω的单位外法向量，g(x,t)是∂Ω×R+上的非负连续函数。

对于方程(1)，约定下列条件总是成立：
(A1) a∈C([0,∞);[0,∞)),p∈C([0,∞);[0,∞));
(A2) q(x,t)。

问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解是指函数u(x,t)在上满足方程(1)和边界条件(2)(或者(3))。

问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解u(x,t)称为在上是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负。

否则，就称为是非振动的。

定义1[2] 称
为函数y(t):R+→R的α阶Liouville分数阶右积分，如果(4)式的右端在R+上是逐点定义的。

这里，α>0为一常数，Γ是通常的Γ函数。

定义2[2] 称
为函数y(t):R+→R的α阶Liouville分数阶右导数，如果(5)式的右端在R+上是逐点定义的。

这里，α>0为一常数，α是大于α的最小整数。

定义3[2] 称
为函数u(x,t)关于t的α阶Liouville分数阶右偏导数，如果(6)式的右端关于t在R+上是逐点定义的。

这里,α>0为一常数。

在区域Ω上考虑Dirichlet问题
这里β是一常数。

由文献[19]知，上述Dirichlet问题的最小特征值β0>0,其对应的特征函数φ(x)>0,x∈Ω。

引理1[2] 假定。

如果分数阶右导数和存在，则
引理2[18] 假设
则。

本节给出问题(1)～(2)和(1)～(3)解的振动的判定条件。

定理1 如果对某一t0>0,
则问题(1)～(2)的每一个解u(x,t)在G上振动，这里。

证明假设u(x,t)(t≥t0)是问题(1)～(2)的一个非振动解。

不妨设u(x,t)>0,t≥t0。

对方程(1)两端在Ω上关于x积分得
由Green公式和边界条件(2)可以得到
这里dS是∂Ω上的面元素。

注意到(A2)，可以得到
令
联合(13)～(15)，可以得到
这里
由引理2，从(12)，(16)和(17)得到
因此，在[t0,∞)上是严格递增的，从而，可以得出。

事实上，如果，则存在T≥t0使得
由引理2，从(19)可以得到
对于(20)从T到t积分，可以得到
此即
在(21)式中令t→∞,有
这与(10)是矛盾的。

取
，
则w(t)>0且
对(23)从t0到t积分，得到
在(24)式中，令t→∞并且注意到条件(11)，可以得到与w(t)>0矛盾的结论。

定理1证毕。

定理2 假设(10)成立，并且
则问题(1)～(2)的每一个解u(x,t)在G上振动。

证明假设u(x,t)(t≥t0)是问题(1)～(2)的一个非振动解。

不妨设u(x,t)>0,t≥t0。

由定理1的证明，可以得到(16)以及。

定义
则,并且
对于(27)从t0到t积分，有
在(28)中取t→∞，同时注意到(25)，可以得到与(t)>0矛盾的结论。

定理2证毕。

定理3 如果定理1的条件全部成立，那么问题(1)～(3)的每一个解u(x,t)在G上是振动的。

证明假设u(x,t)(t≥t0)是问题(1)～(3)的一个非振动解。

不妨设u(x,t)>0,t≥t0。

方程(1)两边同时乘以φ(x)并且关于x在Ω上积分，可以得到
利用Green公式和边值条件(3)得到
注意到(A2)，有
令
联合(29)～(31)，得到
这里
由引理2，(32)和(33)表明
因此，在[t0,∞)上是严格递增的且。

剩余部分的证明与定理1的证明过程类似，不再赘述。

定理3证毕。

类似于定理2的证明，可以得到以下的结果。

定理4 如果定理2的条件全部成立，那么问题(1)～(3)的每一个解u(x,t)在G上
振动。

本节给出两个例子说明主要结果的应用。

例1 考虑以下分数阶偏微分方程
边值条件为
这里。

因此，显然
并且
所以，定理1的条件全部满足，从而问题(35)～(36)的解在(0,π)×(0,∞)上振动。

例2 考虑以下分数阶偏数微分方程
边值条件为
这里
所以
不难看出
并且
因此，定理4的条件全部满足，从而可以得到问题(37)～(38)的每一个解在(0,π)×(0,∞)上振动。

【相关文献】
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