中考数学总复习 第三单元 函数及其图像 第11课时 一次函数的应用课件
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最大利润是多少?
(1)设今年 A 型车每辆的售价为 x 元,则去年 A 型车每辆的售价为(x+400)元.
根据题意,得
60000
+400
60000 ×(1-20%)
=
,解得 x=1600.
经检验,x=1600 是原方程的解且符合题意.所以今年 A 型车每辆的售价为 1600 元.
第十六页，共二十二页。
例 1 [2018·临沂] 甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达 B 地
后,乙继续前行.设出发 x h 后,两人相距 y km,图 11-1 中折线表示从两人出发至乙到达 A 地的过程中 y 与 x
之间的函数关系.
根据图中信息,求:
(2)甲、乙两人的速度.
UNIT THREE
第三(dì sān)单元
第 11 课时(kèshí)
一次函数的应用
第一页，共二十二页。
函数及其图象
考点知识聚焦
考点(kǎo diǎn)
一次函数的应用
建
一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的应用题时,
模
应从给定的信息中抽象出一次函数关系,分清哪个是自变量,哪个是关于
5
(2)由点 M 的横坐标可知甲经过 h 到达 B 地,
3
5
故甲的速度为 10÷ =6(km/h).
3
设乙的速度为 a km/h,由两人经过 1 h 相遇,得
图 11-1
1×(a+6)=10,解得 a=4,故乙的速度为 4 km/h.
第五页，共二十二页。
高频考向探究
【方法模型】
解决分段函数问题,一般从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解(qiú jiě)相应的函
的优惠条件:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,乙商
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
场收费为y2元.
(3)当所买商品为5件时,选择哪个商场更优惠?请说明理由.
(3)选择(xuǎnzé)乙商场更优惠.理由如下:
当x=5时,2100×5+900=11400(元),
答:她家这个月的用水量为 30 立方米.
第八页，共二十二页。
图 11-3
高频考向探究
探究二 利用(lìyòng)一次函数解决方案最优问题
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(1)根据题意,填写下表:
游泳次数
10
15
方式一的总费用(元)
150
175
200
…
方式二的总费用(元)
90
135
180
…
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?
(xiǎo mínɡ)选择哪种付费方式更合算?并说明理由.
1 15
代入点(0,10)和( , )的坐标,得
4 2
1
4
+=
= 10,
15
2
,
= -10,
解得
= 10,
故直线 PQ 的函数解析式为 y=-10x+10.
当 y=0 时,x=1,故点 Q 的坐标为(1,0),
该点表示甲、乙两人出发 1 h 后相遇.
第四页，共二十二页。
高频考向探究
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(3)当 x>20 时,小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由.
(3)设方式一与方式二的总费用的差为y元.
则y=(5x+100)-9x,即y=-4x+100.
当y=0,即-4x+100=0时,得x=25,
比去年减少20%.
(1)求今年A型车每辆的售价;
(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆(两种型号的车都有),已知A,B型车的进货价格分别是1100元、1400元,今年B型车
每辆的售价是2000元,要求B型车的进货(jì
n huò)数量不超过A型车进货数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利润,
∴当x=25时,小明选择这两种方式总费用一样.
∵-4<0,∴y随x的增大而减小,
∴当20<x<25时,有y>0,即5x+100>9x,此时(cǐ
shí)小明选择方式二更合算;
当x>25时,有y<0,即5x+100<9x,此时小明选择方式一更合算.
第十一页，共二十二页。
高频考向探究
【方法模型】
一次函数的方案决策题,一般(yībān)都是利用自变量的不同取值,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确
第十三页，共二十二页。
高频考向探究
针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场出售(chūshòu)相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优
惠条件:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,
乙商场收费为y2元.
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?
(2)令y1=y2,即2100x+900=2250x,
2250x-2100x=900,
150x=900,
x=6.
∴当甲、乙两个商场的收费相同(xiānɡ tónɡ)时,所买商品为6件.
第十四页，共二十二页。
高频考向探究
针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场(shāngchǎng)出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?
(2)方式(fāngshì)一:5x+100=270,解得x=34.
方式二:9x=270,解得x=30.
∵34>30,
∴小明选择方式一游泳的次数比较多.
第十页，共二十二页。
高频考向探究
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
后,乙继续前行.设出发 x h 后,两人相距 y km,图 11-1 中折线表示从两人出发至乙到达 A 地的过程中 y 与 x
之间的函数关系.
根据图中信息,求:
(1)点 Q 的坐标,并说明它的实际意义;
(2)甲、乙两人的速度.
图 11-1
第三页，共二十二页。
高频考向探究
解:(1)设直线 PQ 的函数解析式为 y=kx+b,
定出最佳方案.
第十二页，共二十二页。
高频考向探究
针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优惠条件:第一件按原
售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(2)当 x>18 时,设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b,
∵直线 y=kx+b 过点(18,45),(28,75),∴
= 3,
18 + = 45,
解得
28 + = 75,
= -9,
∴y=3x-9(x>18).由 81 元>45 元,得用水量超过 18 立方米,∴当 y=81 时,3x-9=81,解得 x=30.
准.该市的用户每月应交水费 y(元)是用水量 x(米 3)的函数,其图象如图 11-3 所示.
(1)若某月用水量为 18 立方米,则应交水费多少元?
(2)求当 x>18 时,y 关于 x 的函数解析式;若小敏家某月交水费 81 元,则她家这个月的用水量为多少立方米?
(1)由图象(tú
xiànɡ)知,若某月用水量为18立方米,则应交水费45元.
(3)当x>20时,小明
第九页，共二十二页。
20
…
x
5x+100
9x
高频考向探究
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式(不要求写自变量的取值范围);
y1=3000×(1-30%)(x-1)+3000=2100x+900;
(2)
,所买商品为多少件?
y =当甲、乙两个商场的收费相同时
3000×(1-25%)x=2250x.
2
(3)当所买商品为5件时,选择哪个商场更优惠?请说明(shuōmíng)理由.
型车每辆的售价是2000元,要求B型车的进货数量不超过A型车进货数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利
润,最大利润是多少?
(2)设购进 A 型车 m 辆,获得的利润为 y 元,则购进 B 型车(45-m)辆.
根据题意,知 45-m≤2m,解得 m≥15.又∵45-m>0,∴m<45,∴15≤m<45.
思
自变量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时
想
要注意自变量的取值范围
常
见
(1)求一次函数的解析式;
类
(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题,如最值等
型
第二页，共二十二页。
高频考向探究
探究(tànjiū)一 利用一次函数解决分段函数问题
例 1 [2018·临沂] 甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达 B 地
由题意,得 y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000.
∵-100<0,∴y 随 m 的增大而减小,即当 m=15 时,y 最大=25500.
故应购进 A 型车 15 辆,B 型车 30 辆,才能获得最大利润,最大利润是 25500 元.
第十七页，共二十二页。
2250×5=11250(元).
∵11250<11400,
∴当所买商品为5件时,选择乙商场更优惠.
第十五页，共二十二页。
高频考向探究
探究三 利用一次函数解决其他(qítā)生活实际问题
例3 [2018·广安] 某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年每辆车的售价比去年减少400元,若卖出的数量相同,销售总额将
解:(1)设每台 A 型挖掘机一小时挖土 a 立方米,每台 B 型挖掘机一小时挖土 b 立方米.根据题意,得
3 + 5 = 165,
= 30,
解得
4 + 7 = 225,
= 15.
∴每台 A 型挖掘机一小时挖土 30 立方米,每台 B 型挖掘机一小时挖土 15 立方米.
第十九页，共二十二页。
A.小明中途休息用了 20 分钟
B.小明休息前爬山的速度为每分钟 70 米
C.小明在上述过程中所走的路程为 6600 米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
第七页，共二十二页。
C
)
高频考向探究
2.[2017·义乌] 某市规定了每月用水 18 立方米以内(含 18 立方米)和用水 18 立方米以上两种不同的收费标
数解析式;(3)利用条件求未知问题.
第六页，共二十二页。
高频考向探究
针 对 训 练
1.今年五一,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间,设他从山脚出发后所用的时
间为 t(分),所走的路程为 s(米),s 与 t 之间的函数关系如图 11-2 所示,则下列说法错误的是 (
图 11-2
高频考向探究
[2018·潍坊] 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库
高频考向探究
例3 [2018·广安] 某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年(jīnnián)每辆车的售价比去年减少400元,若卖出的数量相同,销
售总额将比去年减少20%.
(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆(两种型号的车都有),已知A,B型车的进货价格分别是1100元、1400元,今年B
高频考向探究
针对训练
[2018·潍坊] 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施
工任务.该工程队有A,B两种型号的挖掘机,已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台A型和7台B
型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为
180元.
(1)求每台A型、B型挖掘机一小时各挖土多少立方米;
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元,则施工
时有哪几种调配方案(fāng àn)?并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元.
第十八页，共二十二页。
高频考向探究
(1)设今年 A 型车每辆的售价为 x 元,则去年 A 型车每辆的售价为(x+400)元.
根据题意,得
60000
+400
60000 ×(1-20%)
=
,解得 x=1600.
经检验,x=1600 是原方程的解且符合题意.所以今年 A 型车每辆的售价为 1600 元.
第十六页，共二十二页。
例 1 [2018·临沂] 甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达 B 地
后,乙继续前行.设出发 x h 后,两人相距 y km,图 11-1 中折线表示从两人出发至乙到达 A 地的过程中 y 与 x
之间的函数关系.
根据图中信息,求:
(2)甲、乙两人的速度.
UNIT THREE
第三(dì sān)单元
第 11 课时(kèshí)
一次函数的应用
第一页，共二十二页。
函数及其图象
考点知识聚焦
考点(kǎo diǎn)
一次函数的应用
建
一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的应用题时,
模
应从给定的信息中抽象出一次函数关系,分清哪个是自变量,哪个是关于
5
(2)由点 M 的横坐标可知甲经过 h 到达 B 地,
3
5
故甲的速度为 10÷ =6(km/h).
3
设乙的速度为 a km/h,由两人经过 1 h 相遇,得
图 11-1
1×(a+6)=10,解得 a=4,故乙的速度为 4 km/h.
第五页，共二十二页。
高频考向探究
【方法模型】
解决分段函数问题,一般从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解(qiú jiě)相应的函
的优惠条件:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,乙商
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
场收费为y2元.
(3)当所买商品为5件时,选择哪个商场更优惠?请说明理由.
(3)选择(xuǎnzé)乙商场更优惠.理由如下:
当x=5时,2100×5+900=11400(元),
答:她家这个月的用水量为 30 立方米.
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图 11-3
高频考向探究
探究二 利用(lìyòng)一次函数解决方案最优问题
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(1)根据题意,填写下表:
游泳次数
10
15
方式一的总费用(元)
150
175
200
…
方式二的总费用(元)
90
135
180
…
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?
(xiǎo mínɡ)选择哪种付费方式更合算?并说明理由.
1 15
代入点(0,10)和( , )的坐标,得
4 2
1
4
+=
= 10,
15
2
,
= -10,
解得
= 10,
故直线 PQ 的函数解析式为 y=-10x+10.
当 y=0 时,x=1,故点 Q 的坐标为(1,0),
该点表示甲、乙两人出发 1 h 后相遇.
第四页，共二十二页。
高频考向探究
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(3)当 x>20 时,小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由.
(3)设方式一与方式二的总费用的差为y元.
则y=(5x+100)-9x,即y=-4x+100.
当y=0,即-4x+100=0时,得x=25,
比去年减少20%.
(1)求今年A型车每辆的售价;
(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆(两种型号的车都有),已知A,B型车的进货价格分别是1100元、1400元,今年B型车
每辆的售价是2000元,要求B型车的进货(jì
n huò)数量不超过A型车进货数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利润,
∴当x=25时,小明选择这两种方式总费用一样.
∵-4<0,∴y随x的增大而减小,
∴当20<x<25时,有y>0,即5x+100>9x,此时(cǐ
shí)小明选择方式二更合算;
当x>25时,有y<0,即5x+100<9x,此时小明选择方式一更合算.
第十一页，共二十二页。
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【方法模型】
一次函数的方案决策题,一般(yībān)都是利用自变量的不同取值,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确
第十三页，共二十二页。
高频考向探究
针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场出售(chūshòu)相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优
惠条件:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,
乙商场收费为y2元.
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?
(2)令y1=y2,即2100x+900=2250x,
2250x-2100x=900,
150x=900,
x=6.
∴当甲、乙两个商场的收费相同(xiānɡ tónɡ)时,所买商品为6件.
第十四页，共二十二页。
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针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场(shāngchǎng)出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?
(2)方式(fāngshì)一:5x+100=270,解得x=34.
方式二:9x=270,解得x=30.
∵34>30,
∴小明选择方式一游泳的次数比较多.
第十页，共二十二页。
高频考向探究
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
后,乙继续前行.设出发 x h 后,两人相距 y km,图 11-1 中折线表示从两人出发至乙到达 A 地的过程中 y 与 x
之间的函数关系.
根据图中信息,求:
(1)点 Q 的坐标,并说明它的实际意义;
(2)甲、乙两人的速度.
图 11-1
第三页，共二十二页。
高频考向探究
解:(1)设直线 PQ 的函数解析式为 y=kx+b,
定出最佳方案.
第十二页，共二十二页。
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针对训练
[2014·包头] 甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠,甲商场的优惠条件:第一件按原
售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件:每件优惠25%.设所买商品为x件,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(2)当 x>18 时,设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b,
∵直线 y=kx+b 过点(18,45),(28,75),∴
= 3,
18 + = 45,
解得
28 + = 75,
= -9,
∴y=3x-9(x>18).由 81 元>45 元,得用水量超过 18 立方米,∴当 y=81 时,3x-9=81,解得 x=30.
准.该市的用户每月应交水费 y(元)是用水量 x(米 3)的函数,其图象如图 11-3 所示.
(1)若某月用水量为 18 立方米,则应交水费多少元?
(2)求当 x>18 时,y 关于 x 的函数解析式;若小敏家某月交水费 81 元,则她家这个月的用水量为多少立方米?
(1)由图象(tú
xiànɡ)知,若某月用水量为18立方米,则应交水费45元.
(3)当x>20时,小明
第九页，共二十二页。
20
…
x
5x+100
9x
高频考向探究
例 2 [2018·天津] 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证 100 元,只
限本人当年使用,凭证游泳每次再付费 5 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数).
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式(不要求写自变量的取值范围);
y1=3000×(1-30%)(x-1)+3000=2100x+900;
(2)
,所买商品为多少件?
y =当甲、乙两个商场的收费相同时
3000×(1-25%)x=2250x.
2
(3)当所买商品为5件时,选择哪个商场更优惠?请说明(shuōmíng)理由.
型车每辆的售价是2000元,要求B型车的进货数量不超过A型车进货数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利
润,最大利润是多少?
(2)设购进 A 型车 m 辆,获得的利润为 y 元,则购进 B 型车(45-m)辆.
根据题意,知 45-m≤2m,解得 m≥15.又∵45-m>0,∴m<45,∴15≤m<45.
思
自变量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时
想
要注意自变量的取值范围
常
见
(1)求一次函数的解析式;
类
(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题,如最值等
型
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高频考向探究
探究(tànjiū)一 利用一次函数解决分段函数问题
例 1 [2018·临沂] 甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达 B 地
由题意,得 y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000.
∵-100<0,∴y 随 m 的增大而减小,即当 m=15 时,y 最大=25500.
故应购进 A 型车 15 辆,B 型车 30 辆,才能获得最大利润,最大利润是 25500 元.
第十七页，共二十二页。
2250×5=11250(元).
∵11250<11400,
∴当所买商品为5件时,选择乙商场更优惠.
第十五页，共二十二页。
高频考向探究
探究三 利用一次函数解决其他(qítā)生活实际问题
例3 [2018·广安] 某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年每辆车的售价比去年减少400元,若卖出的数量相同,销售总额将
解:(1)设每台 A 型挖掘机一小时挖土 a 立方米,每台 B 型挖掘机一小时挖土 b 立方米.根据题意,得
3 + 5 = 165,
= 30,
解得
4 + 7 = 225,
= 15.
∴每台 A 型挖掘机一小时挖土 30 立方米,每台 B 型挖掘机一小时挖土 15 立方米.
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A.小明中途休息用了 20 分钟
B.小明休息前爬山的速度为每分钟 70 米
C.小明在上述过程中所走的路程为 6600 米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
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C
)
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2.[2017·义乌] 某市规定了每月用水 18 立方米以内(含 18 立方米)和用水 18 立方米以上两种不同的收费标
数解析式;(3)利用条件求未知问题.
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针 对 训 练
1.今年五一,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间,设他从山脚出发后所用的时
间为 t(分),所走的路程为 s(米),s 与 t 之间的函数关系如图 11-2 所示,则下列说法错误的是 (
图 11-2
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[2018·潍坊] 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库
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例3 [2018·广安] 某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年(jīnnián)每辆车的售价比去年减少400元,若卖出的数量相同,销
售总额将比去年减少20%.
(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆(两种型号的车都有),已知A,B型车的进货价格分别是1100元、1400元,今年B
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针对训练
[2018·潍坊] 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施
工任务.该工程队有A,B两种型号的挖掘机,已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台A型和7台B
型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为
180元.
(1)求每台A型、B型挖掘机一小时各挖土多少立方米;
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元,则施工
时有哪几种调配方案(fāng àn)?并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元.
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