沪科版八年级数学下册《第16章 小结与复习》课件
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沪科版数学八年级下册 第16章 小结与复习 课件
a a＞0，
a2
a
0a
0 ,
a a＜0 .
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数的因数是__整__数___，因式是__整__式___；
(2) 被开方式中不含能__开__得__尽__方__的因数或因式．
4. 二次根式的乘除法则：
乘法： a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b 的 符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0，
∴ | a | a， a2 a， b2 b.
∴ 原式 = -a - (-a) + b = b.
方法总结 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ① 被开方数大于或等于零； ② 分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1. 下列各式： 5； a2 ； 3；3 8； x 1(x≥1)； x2 2x 1
中，一定是二次根式的有
（B）
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
2. 求下列二次根式中字母的取值范围：
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a b 3 m n 3 ，2
用含 m、n 的式子分别表示 a，b，得 a =_m__2+_3_n_2_， b =__2_m_n__； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
7 4 3 _(_2____3_)_2 ；
第16章 二次根式
小结与复习
1. 二次根式的概念 一般地，形如__a__(a≥0) 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方式是非负式，即 a≥0. 【易错点】 二次根式中，被开方式一定是非负式， 否则就没有意义.
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
数学八下第十六章-小结与复习ppt课件
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
告诉 歌唱 检查
•阳光下的花园里，各色的花朵开得 灿烂。小蜜蜂嗡嗡地歌唱着，绕着 花朵飞来飞去，像个辛勤的小花农 在检查自己的庄园；花丛中不时传 出的笑声，像是在告诉人们——春 天到了。
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
[结果] 并联电路的电压 U1=_______U2=_______U=_______
实验表明: 并联电路两端的总电压等于各支路两 端的电压. 并联电路 U1=U2=U
用电压表测量并联电路的电压
[总结]
语文园地七
趣味识字
加一加 口+少=吵 山+夕=岁 减一减 飘-风=票 张-长=弓
月+半=胖 王+见=现
解：根据题意得v 16 20 1.2 32 6（千米/时）．
答：肇事汽车在出事前的速度是 32 6 千米/时．
沪科版八年级数学下册第16章二次根式PPT课件全套
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意 义
（来自《教材》）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数 ，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子 范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意 义
（来自《教材》）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数 ，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子 范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的概念
解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2，
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式第一课时》公开课课件
正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表 示 什 么 ？
表示7的算术平方根
平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是它本身； 负数没有平方根。
a 表示什么？a 需要满足什么条件？
代数式 a(a 0) 叫做二次根式，读作
“根号a”，其中a是被开方数。
下列哪些代数式是二次根式？
2, 2, a21, b24a(b c24a c0), 3
3, b(b0)
1(x2) x2
二次根式的被开方数为非负数 二次根式被开方数可为整式或分式
当堂训练
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意 义？
(1) 2x 1 2 2 x
(3) 1 x
(4) 1 x2
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
有意义，
字母 x的取值必须满足什么条件？
总结提升 本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
教学反思
同学们对二次根式被开方数中的等 号容易忽视，教学中要反复强调。
布置作业
1、家庭作业：练习册第二页1—9题； 2、课堂作业：习题16.1第三题；第七题； 3、预学二次根式性质3。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/52022/5/5May 5, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
沪科版八年级数学下册第十六章 《二次根式 复习》公开课课件
学
练
比1 较 99169 与 91599179 的 96 大小
7、分母有理化法
当比较两式的分母有 a b时可把分母有理
化后再进行比较
比较7 5与6 3的大 7 5 6 3
8、应用非负性质
倍
速
理论根 a据 a2是 （a≥0）
课
时 学
比6 较 5与 322 的大
练
6 5 6 5 2 1 2 1 3
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/232021/7/232021/7/23Jul-2123-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/232021/7/232021/7/23Friday, July 23, 2021
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/7/2 32021/ 7/23Fr iday, July 23, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021 7:42:32 PM
一、填空
1、当x 时 ( x1)2 1x成立
2、将2x2 3在实数范围内因式分解为
3、根 5a3, a,b b, a22a bb2式最简二次根式有
3aa 4、若a＞0， 将
a
4 b
a
化成最简二次根式为
倍
3 5、根式中 2, 75, 1, 15, 1 与
的有
27 3
是同类二次根式
速
课 时 学
6、 mmn有理化因式为
八年级数学下册 第十六章 二次根式章末小结与提升课件下册数学课件
12/12/2021
第二页，共八页。
混合运算
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
非负数在二次根式中的应用
典例 1
若 x,y 为实数,且 3-1 + 1-3+y=4,则 xy=
.
≥
3-1 ≥ 0,
【解析】根据二次根式的定义可知被开方数是非负数,于是
解得
1-3 ≥ 0,
≤
1
1
4
∴b=7,∴a=3,
12/12/2021
∴ ( - )2 = ( 3-7 )2 =4.
第四页，共八页。
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
二次根式的化简与计算
5
1
2
3
7
典例 2 已知 a= ,b=- ,求 2 +
÷
的值.
2
2
3
2
2
5
10
2
2
3
23 2
2 23 2
解:∵-a2≥0,a2≥0,∴a=0.
∴ + 4 − 9-2 + 1-3 + -2 = 0 + 4 − 9-0 + 1-0+0=2-3+1+0=0.
3.已知 a,b 为实数,且 a= 3-21 + 7-+3,求 ( - )2 的值.
解:由二次根式非负性的特征可得 3b-21≥0 且 7-b≥0,即 b≥7 且 b≤7,
3.已知 x=1- 3,y=1+ 3,求 x2+y2-xy-2x+2y 的值.
解:∵x=1- 3,y=1+ 3,
第二页，共八页。
混合运算
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
非负数在二次根式中的应用
典例 1
若 x,y 为实数,且 3-1 + 1-3+y=4,则 xy=
.
≥
3-1 ≥ 0,
【解析】根据二次根式的定义可知被开方数是非负数,于是
解得
1-3 ≥ 0,
≤
1
1
4
∴b=7,∴a=3,
12/12/2021
∴ ( - )2 = ( 3-7 )2 =4.
第四页，共八页。
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
二次根式的化简与计算
5
1
2
3
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典例 2 已知 a= ,b=- ,求 2 +
÷
的值.
2
2
3
2
2
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2
2
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2 23 2
解:∵-a2≥0,a2≥0,∴a=0.
∴ + 4 − 9-2 + 1-3 + -2 = 0 + 4 − 9-0 + 1-0+0=2-3+1+0=0.
3.已知 a,b 为实数,且 a= 3-21 + 7-+3,求 ( - )2 的值.
解:由二次根式非负性的特征可得 3b-21≥0 且 7-b≥0,即 b≥7 且 b≤7,
3.已知 x=1- 3,y=1+ 3,求 x2+y2-xy-2x+2y 的值.
解:∵x=1- 3,y=1+ 3,
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6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再
算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(3) ( a 3) 2 ；
1 (2) ; 1 2a
2
1 1 (1) 24 4 (1 2)0 ; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3|. 3 8 1 2 24 4 1 2 2 2 2. 解：(1)原式 3 4 (2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
第16章
二次根式
小结与复习
要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
要点梳理
1．二次根式的概念
a a≥0)的式子叫做二次根式. 一般地，形如____(
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否
则就没有意义.
2．二次根式的性质:
a
2 2
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
a2 3.若实数a,b满足 | a 2 | b 4 0,则 b
1 .
4.若1<a<3,化简 a 2 2a 1 果是
2
a 2 6a 9 的结
.
(1)7; (2) x 1;
2
5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
4．二次根式的乘除法则： 乘法： a g b ＝______( ab a≥0，b≥0)；
逆用也 适用.
除法：
a b
a b a≥0，b>0)． ＝____(
5．二次根式的加减： 类似合并同类项 可以先将二次根式化成_____________ 最简二次根式 ，再将
________________ 被开方数相同 的二次根式进行合并．
= （ 3 2 - 2 ） 2 4 =2 2 = 16． 24
针对训练
6.下列运算正确的是
A. 2 3 5 C. 12 3 2
D.3 2 2 3
（ C ）
B.2 2 3 2cm ，底边的高为 ( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm . 8. 计算：
a (4) . a 1 2 a . 解:(1)由题意得 3a 2 0， 1 3 (2)由题意得1 2a 0， a . 2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数. a≥0， (4)由题意得 a 1 0, ∴a≥0且a≠1.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
2
a a 0 ;
3．最简二次根式
a a＞0 ， 2 a a 0 a 0 , a a＜0 .
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式． (1)被开方数不含_______ 分母 ； (2)被开方数中不含能___________ 开得尽方 的因数或因式．
6 5 ;
2
(4)
5 6 2
5 6 2 .
(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3. 解：
3 3 1 1 3 1 1 (2) 5 15 5 15 5 15 5 15 5 15 15 5 15 5 5 .
a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个
非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
| a | a 2 b2 .
a 0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a a, b b.
2
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知
2 (3 x y 1) 和 均为0. x 1
2
解：∵ x 1 (3x y 1) 0,
∴x－1=0,3x+y－1=0,解得x=1,y=－2.
则 5x y 51 (2) 3.
2 2
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0，
解： (1)7
(2) x
2
7 . 1= x 1 .
2
2 2
1 (3) . 11
1 1 (3) = . 11 11
2
考点三 二次根式的运算及应用 例4 计算：
(1) 8 12 2;
(3)
3 (2) 5 15 15; 5
括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运
算律和乘法公式简化运算.
例5 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图
所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸
盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：S = （ 18 - 2 ） 2 4
1 (2) x 5 . 3 x
x 4≥0, 解：(1) 由题意得 4-x≥0,
∴x=4.
x 5 0, (2) 由题意得 3 x 0,
解得 －5≤x＜3.
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y 的值.
(3)
(4)
6 5
5
6 2 5
2
6
2
2 6 5 52 31 10 6.
6 2
5
2
6 2
2
5 84 3
4 3 3.
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算
顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5; a ; 3;
2
3
8; x 1( x 1); x 2 2 x 1
中，一定是二次根式的个数有 A.3个 B.4个 C.5个
（ B） D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x ;