用焦半径、焦点弦公式秒杀小题快攻大题

日作，４ Ｃ的平行线 交／４ Ｄ于点Ｅ
（１）证明ｌＥＡＩ＋ＩＥＢＩ为定值 ．
图 ２
（２）由题意得焦准距 枷 ： ：Ｊ，设 ，Ｆ￣ｔ的倾斜角
Ｃ
并 写出点Ｅ的轨迹方程 ；
分 别 为 理，卢，则 由焦 半 径 公 式 ，得 ｂ４Ｆ：ｔ＝＿ ：
（２）设点Ｅ的轨迹 为 曲线 ｃ．，直线Ｚ交Ｃ 于 ，Ⅳ两 点 ，
望 ： 望
１－ｅｃｏｓＯ
’１＋ｅｃｏｓ０— １ －
ｅ２ｃ０ｓ２０。
图 １
注 ：当焦点在Ｙ轴上时 ，将ｃｏｓ 换为ｓｉｎ 即可． 性质３：椭 圆焦点 弦中最短的弦为通径．
二 、焦 半 径 、焦 点 弦公 式 的 巧 妙 使 用
例 １ （２０１７年新 课标 Ｉ卷理 １０）已知Ｆ为抛 物 线Ｃ：
（２）求Ａｌ＋Ａ２的值 ；
例３ （２０１６年新 课标 Ｉ卷
（３）求 △ ＡＣ的 面积 ｓ
理 ２０）如 ２，设 圆 ＋３２＋２ｘ一１５＝０
的最 大值．
图 ３
的圆心为．４，直线 上 Ｂ（１，０）且 与
．
轴不重合 ，ｆ交圆Ａ于ｃ，Ｄ两点 ，过
箩 ： 解 析 ：（１）椭 圆，Ｊ的方程 ：１．（过程略 ）
性质 １：椭 圆焦半径 的长度为 ＿皇 ．
士 ｅ ＣＯ Ｓ
如 图１，过 ４作Ａ 。＿Ｅｌ于点Ａ ，贝Ｕ Ｆ Ｉ＝ｅｌＡＡ１Ｉ＝ｅ［ ＋ＨＥ Ｃ０ｓ（叮ｒ～０）］．
／￣ ＩＡＦＩ： 翌 ．
１＋ｅｃｏｓ０
同理 ：
ｅｐ ·
一
Ｊ
＼、
性质２：椭 圆焦 点弦的
长 度 为 ｔＡＢＩ＝Ｌ４ＦＩ＋ＩＢＦＩ＿
．
４－ｃｏｓ－＇Ｏ
设Ａ到直线尸ｐ的距 离为ｄ，则ｄ＝２１ｃｏｓ０１，
ｌＰ Ｉ＝２、／ ； 、／ ｊ ，
所以ｓ：＿ｌ ． ：— ４＿一
．
２
、
Ｌ
—
—
：２、／ 即ｃ。 ：—２Ｖ￣ －３ｃｏｓａ
—
，
．
＝
＋
＝
—
—
～
． Ｙ．Ｎ Ｙ￣４Ｆ，Ｉ＋Ｌ４ Ｉ：２、／ ，得 —— 一 ＋
、／２＋ｃｏｓ／３
ｘ／２－ＣＯＳ￣
１＞（３
一
（２）南焦半径公式 ，－ｎ］￣－Ｉ］ＩＢＭＩ：— ：— ～ ：
１－ｅｃｏｓ０ ｌ
一
ｃｏｓ０
２
３ 同 理 ：１日Ｎ Ｉ ３
一
所 以 ｆ删 Ｉ＿ＩＢＭＩ＋ＩＢＮＩ：
ｙ２＝４ｘ的焦点 ，过腓 两条互相垂 直 的直 线ｚ ，ｚ：，直线ｌ 与Ｃ
交于Ａ，Ｂ两点 ，直线ｚ 与Ｃ交于Ｄ，Ｅ两点 ，． ￣１ ］ＩＡＢＩ＋ＩＤＥＩ的最 小值为 （ ）．
Ａ．１６
Ｂ．１４
Ｃ．１２
Ｄ．１０
解 析 ：设 直线ｆ。的倾 斜 角为 ，则焦 点弦 ｌ＝ ．
同理：ＩＤＥ Ｉ： ．所以 Ｂ Ｉ＋ＩＤＥ Ｉ：＿ ＋—４＿ ：
一 、 焦半径焦点 弦相关公 式
２
＋
＝ ． （证 明 略 ）
性质５：正交焦弦，倒和定值．
由性质 ｌ，￣ ＩＣＤＩ＝ ２ｅｐ
·
所 以 ＩＡＢｆ ＋ ＩＣＤｆ ： ２ ．（证 明略 ）
ｅｐ
一
因篇 幅所 限 ，双 曲线 中类似 的结 论 留给读者 自证．
约定 ：本文 中提到 的０为直线 的倾斜角 ，ｐ为 焦准距 （焦点到准线 的距离 ）．
则ｆ的方程为 （ ）． Ａ．ｙ＝ｘ一１或ｙ＝ ＋１
Ｂ
（ 一１）或），：一Ｃ３－（
一
１）
。
ｃ．ｙ＝、／了 （ 一１）或ｙ— 了 （ 一１）
曰ｌ＝— ！ 一２０，当且仅 当ＣＯＳ２０＝０时 ，Ｌ４Ｂ｝最 小 ，此
１－ ｅ２ｃｏｓ
时 ，焦点弦垂直于 轴． 性质４：焦点半径 ，倒 和定值 ．
１
．
２
＝ 詈， ＝ ．
圆上 的一个动点 ，弦 Ｂ，Ａ Ｃ Ｊ
分别过焦点 ， ，且 ＝Ａ
南对称性 可知 ， ＝一＼／ 也符合要 求 ，故 选Ｃ．
：Ａ 赢
，
简评 ：本 题使用 焦半径 公式 的倾斜 角形式 ，简 洁明
（１）求 椭圆Ｌ的方程 ； 口
Ｃ
了，省时省 力 ，事半功倍．
ｌ— Ｃ ｏＳ“
过 曰且 与ｚ垂直 的 直线 与 圆Ａ交 于Ｐ，Ｑ两 点 ，求 四边 形 ＭＰＮＱｉ￣Ｉ积 的取：—
，ＩＡＦ￣Ｉ：一 一 ，ｔＦ，Ｂ Ｊ：
，
Ｘ／２ 一ｃｏｓ
Ｖ ２ ＋ＣＯＳ￣
ｘ／２ 一ｃｏ
解析 ：（１） ４ ＋ ３ ：１（ｙ≠０）．（过＿程。 略’ ）
教 学 参谋
解法探究
２０１８年 ３月
用焦半径 、焦点弦公式秒杀小题快攻大题
⑩山西省临汾市第 三中学校 张荣华
圆锥 曲线不但是 平 面解 析几 何教 学 中的重 点 和难 点 ，而且 也是 高考 压轴 题经 常涉及 和考 查 的对 象．有些 若 使用 常规 解 法 ，计 算 、化 简都 相 当烦 琐 ，若运 用 焦半 径 、焦点弦公式则 会大大减少 运算 ，非常巧 妙 ，在解题 中 起 到事半 功倍 的效果 ．本文 结合高 考 试题 、自主招 生试 题及竞赛试题 ，说 明焦半径 焦点弦公式 的巧妙 使用．
Ｄ Ｃ－Ｙ （ｘ－１）或ｙ＝一半 （ ） ，
解 析 ：设ＡＢ的倾斜 角 为 ０，则 ＩＡＦＩ＝＿三 ，ＩＦＢＩ＝
ｌ－ｃｏｓＯ
■—一 十‘？擞 ·７高中
解法 探 究
学
谋
，、
＿１ 兰一 ． 又 ＩＡＦｌ＝３ ｒＢＦＩ，则
＋ｃｏｓ０
。
２
＝
３￣２
，化简得ｃ。ｓ ＝ 别是椭圆 的左，右焦点，点（１，丁ｘ／Ｔ）在Ｌ上，设』４为椭
４ ＝ ≥ｌ６，当且仅当 ＝詈或 ＝ 时取等
号．故选 Ａ．
简评 ：本题 若使用通法 通解 ，运算 量大 ，会 给解 题 带 来不便．
例 ２ （２０１３年新 课 标 Ⅱ卷 文 １０）设 抛 物 线 Ｃ：ｙ ＝４ｘ 的焦点 为Ｆ，直线ｆ过 ＦＲ 与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点．若 ＩＡＮ＝３ＩＢＦＩ，
下面用 圆锥 曲线 的统一定 义来推导焦半 径 、焦点 弦
公式 ，以椭 圆 ＋ ：１（ｏ＞６＞０）为例 ，归纳 出焦半 径 、焦
旷 ｂ‘
点弦公式 的几 条性 质．
设ＡＢ是过 椭 圆 ＋ ：１（０＞６＞０）右焦 点Ｆ的一条
矿 Ｄ
弦 ，Ａ（Ｘｌ，ｙ ），Ｂ（ｘ：，ｙ２），直蝴 Ｂ的倾斜 角为