5.示范教案(2.2.1 直线与平面平行的判定)

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
整体设计
教学分析
空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.
三维目标
1.探究直线与平面平行的判定定理.
2.直线与平面平行的判定定理的应用.
重点难点
如何判定直线与平面平行.
课时安排
1课时
教学过程
复习
复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
导入新课
思路1.(情境导入)
将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间直线与平面的位置关系.
②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.
④试证明直线与平面平行的判定定理.
活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用反证法证明.
讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，
因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.
③直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为：.
图形语言为：如图2.
图2
④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.
∴a⊂β，b⊂β.
∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.
∵b⊂α且b⊂β，
∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,
则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.
∴假设错误.故a∥α.
应用示例
思路1
例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD.
活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
证明：如图3,连接BD,
图3
EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.
变式训练
如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
图4
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB 于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
证明：如图5,
图5
.
所以,BC∥平面MNEF.
点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.
例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
图6
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
又EF⊂面EFG，AC⊄面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
变式训练
已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α
内，求证：MN ∥α.
证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.
图7
∵M 、N 分别是△ADB 、△ADC 的重心， ∴
NQ
AN
MP AM ==2.∴MN ∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN ∥α.
点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
思路2
例题 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8, （1）证明PQ ∥平面AA 1B 1B ； （2）求线段PQ 的长.
图8
(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP ∥AD,MP=
AD 21,NQ ∥A 1D 1,NQ=112
1
D A , ∴MP ∥ND 且MP=ND.
∴四边形PQNM 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.
∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B, ∴PQ ∥面AA 1B 1B.
证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,
∴PQ ∥AB 1,且PQ=12
1
AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,
∴PQ ∥面AA 1B 1B. (2)解:方法一:PQ=MN=
a N A M A 2
22121=
+.
方法二：PQ=
a AB 2
2211=. 变式训练
如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.
图9
求证：EF ∥平面BB 1C 1C.
证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M. ∵AD ∥BC,∴△AFD ∽△MFB. ∴
BF DF
FM AF =
. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴
BF
DF
FM AF =
. ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF ∥平面BB 1C 1C. 知能训练
已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA ∥平面MBD. 证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,
图10
∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点, ∴MO 为△PAC 的中位线. ∴PA ∥MO.
∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD, ∴PA ∥平面MBD. 拓展提升
如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.
图11
求证:AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.
课堂小结
知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.
方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
作业
课本习题2.2 A组3、4.
设计感想
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定.本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目.学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心.。