第一单元实数知识点

第一单元实数
一：基本考点
考点1：相反数，数轴，绝对值
1.相反数：
（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，也称其中一个数是另一个数的相反数。

特别的，0的相反数是0。

从数轴上看，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

（2）表示法：一般地⇋，在一个数前面加上“—”号就表示这个数的相反数，即a的相反数是-a，a可以是正数、负数、0，也可以是一个式子。

（3）特点：○1互为相反数的两个数的和为0；○2互为相反数（非零数）的两个数的商为-1.
2.数轴：
（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是说数轴有三要素—原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是说原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的. （2）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，有理数或无理数与数轴上的点表不是一一对应的数轴上的点A与点B所对应的实数分别为m、n，则A与B之间的距离为|m－n|.
⑶利用数轴比较大小：在数轴上两个点表示的数，右边的总比左
边的大.
3.绝对值：
（1）定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，其值为非负数，即|a|≥0。

（2）正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

（3）利用绝对值比较大小：正数大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

【例1】若a与2互为相反数，则|a+2|=＿＿。

解：0
【例2】比较-100与-0.01的打消。

正确解法：因为|-100|=100，|-0.01|=0.01，且100＞0.01，所以-100＜-0
⑴定义：乘积为1的两个数为倒数，即若ab=1，则a与b互为倒数：反之也可，若a与b互为倒数，则ab=1.
⑵注意：①0没有倒数；②倒数是它本身的数是±1.
【例3】-1/2的倒数是（）
A.2
B.-2
C.1/2
D.-1/2
考点3：乘方及其性质
（1）定义：求n个相同数a的积的运算叫做乘方，即a×a×…×a （n 个）= a n，其中乘方的结果叫做幂（类似于和、差、积、商），a为底数，n叫指数，a n读作a的n次幂（或a的n次方）。

因为乘方是利用乘法来定义的，所以我们可根据乘方的意义将其转化成乘法运算，利用乘法运算的方法来进行乘方运算。

（2）乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.这既是乘方的重要性质，又是乘方运算的法则。

【例4】计算-（-3a2b3）4的结果是（）
A.81a8b12
B.12a6b7
C.-12a6b7
D.-81a8b12
解：D
考点4：平方根及立方根
1.平方根：一个正数a的平方根为±a，0的平方根为0，负数没有平方根，数a（a﹥0）的正的平方根叫做a的算术平方根，规定：0的算术平方根是0.
2.立方根：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
3.开方：求一个数a（a≥0）的平方根的运算叫做开平方；求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

4.平方根与算术平方根的区别和联系：
（1）区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，而只有一个算术平方根：③表示方法不同：数a（a≥0）的平方根表示为±a；④取值范围不同：正数a的算术平方根一定是正数，而正数a的平方根却有一正一负两个。

（2）联系：①平方根包含算术平方根；②平方根和算术平方根都是非负数才有，它们的存在条件相同；③0的平方根和算术平方根相同，都是0.
5.平方根和立方根的区别：
（1）正数有两个平方根，但只有一个正的立方根；
（2）负数没有平方根，却有一个负的立方根。

【例5】9的平方根是（）
A.3
B.-3
C.±3
D.±3
解：C
【例6】求下列各数的立方根：（1）64；（2）-27.
正确解法：（1）因为43=64，所以64的立方根是4；
（3）因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3.
考点5：科学计数法和近似数的精确度
1.当原数的绝对值大于10时，利用科学计数法将原数写成a×10n的形式，要注意1≤|a|＜10，n为正整数，且比原数的整数位少1，如165000=1.65×105；当原数的绝对值小于1时，原数用科学计数法写成a×10-n的形式，要注意1≦|a|＜10，n等于原数从左边起第一个非零数字前的所有零的个数﹙包括小数点前的零﹚，例如0.000045＝4.5×10﹣5.。

2·近似数的精确度的表示方法∶
（1）精确到××位或精确到小数点后××位；
（2）保留几个有效数字（四舍五入后的近似数，从左边的第一个非零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都是这个数的有效数字）3.注意：
（1）在一些含有数字0的近似数中，有些0是有效数字，有些0不是，如近似数0.0010020中，它的有效数字有5个，分别是1,0,0,2,0.要注意第一个不为0的数字前面的0都不是有效数字，第一个不为0的数字后面的0都是有效数字；
（2）近似数的精确度是针对原数而言，与科学计数法中a×10n中a 的精确度是不同的，如31426取近似数后用科学计数法记作3.14×104，是精确到百位，而不是精确到百分位。

【例7】四川地震后，某省慈善总会在一星期内接受了15510000元的捐款，将15510000用科学计数法表示为（）
A.0.1551×108
B.1.551×104
C.1.511×107
D.1551×104
解：C
【例8】据统计，西方某些国家某年住房建设完成投资11379.94亿元，用科学计数法表示为多少元？
正确解法：11379.94亿元=1.137994×104亿元=1.137994×1012元. 考点6：实数的分类及无理数
1.实数分类：
（1）按定义分类：
整数
有理数有限小数或无限循环小数
分数
实数
无理数→无限不循环小数
（2）按性质分类：
实数可分为正实数，零，负实数。

2.无限不循环小数叫做无理数。

一个数为无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数。

一般有以下几种类型：（1）一般的无限不循环小数；（2）所有开方开不净的数都是无理数；（3）
圆周率π及一些含有π的数；（4）貌似循环小数，实不循环的无限小数。

【例9】在实数-2/3,0，9
，π中，无理数有（）
2，
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解：B
【例10】在tan45°，sin60°，3.14，π，0.101001中，无理数的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
解：A
考点7：实数的运算
1.实数的基本运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方共六种，对于它们要注意掌握好相应的运算法则。

2.实数混合运算的顺序：先计算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

同级运算按从左到右的顺序进行，如果有括号先算括号里面的。

3.运算中要注意灵活应用下面的运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

【例11】计算：0
3-
（π
︒
•
+.
3
3-）
-
tan
8
2008
30
-
解：原式=1
+
=
+
•
3
3=
3
1-2-1
1-2-3/3
二、综合应用考点
考点8：非负数
（1）定义：正数和零统称为非负数。

（2）常见的非负数：①|a|；②n2a（n是正整数，a≥0）；③a2n（n 是正整数）。

（3）性质：①若干个非负数的和仍是非负数；②一个非负数的算术平方根仍是非负数；③若干个非负数的和为零，则每个非负数都为0.
【例12】若0
+y
x
y
x，则x-y的值为＿＿＿。

-
+
3=
2
-
解：-1.因为3-y
x+≥0，y-x2≥0，所以x+y-3=0,2x-y=0.联立上面两方程，解得x=1,y=2.故x-y=1-2=-1.
考点9：比较实数的大小
实数的大小比较方法：（1）一般方法：①性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.②数轴比较法：将实数用数轴上的点来表示，右边的总比左边的大.③差值比较法：设两数分别为a和b，若a-b＞0,则a＞b；若a-b ＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b.④商值比较法：设a与b都是正数，若a/b＞1，则a＞b；若a/b＜1，则a＜b.
（3）特殊方法：①平方法：由a＞b＞0,可得b
a＞；②倒数比较法：两个正数，倒数大的反而小。

除了上面的方法，还有其他方法，如指
数比较法、估算法、中间值法等.
【例13】估计68的立方根的大小在（）
A.2与3之间
B. 3与4之间
C. 4与5之间
D. 5与6之间
解：C
三、实际应用考点
考点10：正、负数的实际应用
【例14】某市一所中学对九年级男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名男生的成绩如下：+2，-1,0，+3，-2，-3，+1,0.
（2）这8名男生有几人达标？
（3）达标的百分率是多少？
（4）这8名男生共做了多少个引体向上？平均每人做多少个引体向上？
解：（1）这8名男生有5人达标。

（2）达标的百分率为5/8×100%=62.5%。

（3）这8名男生共做引体向上：（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56个，平均每人做引体向上为：56/8=7（个）
考点11：利用实数的计算解决经济生活中的增长率、降低率问题【例15】某食品厂五月份生产方便面450万箱，为支援四川人民万箱。

那么该厂六、七月份产量平均月增长率是多少
解：设该厂六、七月份产量平均月增长率是x，根据题意，得450（1+x）2=648.所以（1+x）2=36/25.所以1+x=25
=±6/5.所以
/
36
x1=20%,x2=-11/5,（不合题意，舍去）。