第2讲 模糊数学方法解析

模糊聚类分析法的一般步骤：
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2020年9月23日
三、模糊聚类分析方法
1. 数据标准化 (1)获取数据
设论域U {x1, x2 ,, xn}为所需分类的对象，每个对象又
由 m 个指标表示其性态，即 xi {xi1, xi2 ,, xim }(i 1,2,, n) ，
则 A
xij
．
nm
(2) 数据的标准化处理
定义 2 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , (1) 若 x U ，有 B (x) A (x) ，则称 A 包含 B ，记 B A；
(2) 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 Ac 为 A 的补集
的过渡点，即是模糊性最大的点．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记 U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F(U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且U F(U ) ．
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二、模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij )mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
(1)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2,, m j 1,2,, n
则称 R rij () mn 为 R 的 －截矩阵．
如何对与这些概念有关问题给出定量分析呢？ 模糊数学是继经典数学、统计数学之后发展起来的一 个新的数学学科。研究属于不确定性，而又具有模糊 性的量变化规律的一种数学方法．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
(1) 模糊集与隶属函数的定义
通常将所讨论的对象限制在一定的范围内，称所讨
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
论域U 上的模糊集 A 是指：对任意 x U 总以某个程度 A ([0,1]) 属于 A ，而非 x A或 x A．
定义 1
设U 是一个论域，如果给定了一个映射
A :U [0,1] x A (x) [0,1]
则就确定了一个模糊集 A ，其映射 A 称为模糊集 A 的隶属函 数， A (x) 称为 x 对 A 的隶属度．使 A (x) 0.5 的点 x0 称为 A
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一、模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---指派方法
如果模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属 函数称为模糊分布．
指派方法:根据问题的性质主观地选用某些形式的 模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的 参数．
常用的模糊分布：矩形分布、梯形分布、正态 分布、k次抛物线型分布、Γ型分布、柯西型分布等.
偏向大的程度的模糊现象．
中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适
中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不
太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊
现象．
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二、模糊关系与模糊矩阵
1.模糊关系与模糊矩阵的概念
定义 4 设论域U,V ，则称乘积空间U V 上的一个模糊子集
向量表示法： A A (x1 ), A (x2 ),, A (xn )
对论域U 为无限集的，则U 上的模糊集 A 可以表示为
A A (x) ，这里“ ”不是积分号，“ A (x) ”也不是
Ux
x
分数．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 （３）模糊集的运算
表示 (~x, y) 的相关程度．
~
当论域为U {x1, x2 ,, xn}时，U 上的模糊等价关系可表 示为 n n 阶模糊等价矩阵 R (rij )nn ．
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2.模糊等价与模糊相似
定义 7 设论域为U {x1, x2 ,, xn}， I 为单位矩阵，如果模糊
矩阵 R (rij )nn 满足：
R F (U V ) 为从U 到V 的模糊关系．如果 R 的隶属函数为
~
~
R :U V [0,1]
~
(x, y) R (x, y)
~
则称隶属度 R (x, y) 为 (x, y) 关于模糊关系 R 的相关程度．
~
~
由于模糊关系是U V 上的一个模糊子集，因此，同样具有模
糊集的运算及性质．
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1.模糊关系与模糊矩阵的概念
设U {x1, x2 ,, xm},V {y1, y2 ,, yn} ，R 是由U 到V 的 ~
模糊关系，其隶属函数为 R (x, y) ，对任意的 (xi , y j ) U V 有
~
R (xi , y j ) rij [0,1](i 1,2,, m; j 1,2,, n) ，记 R (rij )mn ，
（详见《数学建模方法及其应用》韩中庚（第二版
）教材）（第325页）
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一、模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法
偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少
”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等
偏向小的程度的模糊现象．
偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多
”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等
一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
一般地，对于论域U 的每一个元素 x U 和某一
个子集（普通集） A U ，有 x A ，或 x A ，二
者有且仅有一个成立．
对于子集 A 定义映射
A :U 0,1，
即
A
(x)
1, 0,
xA xA
则称之为 A 的特征函数，集合 A 可由特征函数唯一确定．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 （2）模糊集的表示法
对论域U {x1, x2 ,, xn }，A 是U 上的任一个模糊集，
其隶属度为 A (xi ) (i 1,2,, n) ，则有
Zadeh 表示法： A n A(xi ) A(x1) A(x2) A(xn )
(1
((x
0 50)/5)
2
)
1
0 x 50 50 x 100
B(x)
(1
((x
1 25)/5)
2
)1
0 x 25 25 x 100
A(70) ≈ 0.94 ，即“70 岁”属于“年老”的
程度为0.94。A(60) ≈ 0.8 ，B(60) ≈ 0.02，
可认为“60 岁”是“较老的”
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二、模糊关系与模糊矩阵
2.模糊等价与模糊相似
定义 6 若模糊关系 R F (U V ) ，且满足：
~
(1) 自反性： R (x, x) 1；
~
(2) 对称性： R (x, y) R ( y, x) ；
~
~
(3) 传递性： R R R
~~ ~
则称 R 是U 上的一个模糊等价关系，其隶属度函数 R (x, y)
~
则 R 称为模糊矩阵．
特别地，如果 rij {0,1}(i 1,2,, m; j 1,2,, n) ，则称 R 为
布尔(Bool)矩阵．
当 m 1 ， 或 n 1 时 ， 则 相 应 的 R (r1, r2 ,, rn ) 和 R (r1 , r2 ,, rm )T ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量．
模糊数学方法
模糊数学的基本概念； 模糊关系与模糊矩阵； 模糊聚类分析法； 模糊模式识别法； 模糊综合评判法； 案例分析：中介服务机构信誉评估。
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一、模糊数学的基本概念
1.问题的引入
在社会实践中，模糊概念或现象无处不在.如好与 坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与重、高 与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美与丑、黑与白、 早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与密等等．
即 t(R) 为模糊等价矩阵．
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三、模糊聚类分析方法
在许多工程技术和经济管理中，常常需要对某 些指标按一定的标准（相似的程度、亲疏关系等） 进行分类处理。
这种对客观事物按一定标准进行分类的数学方法 主要就是聚类分析法。
模糊聚类分析法：根据事物的某些模糊性质进行 分类的一种数学方法．
(1) 自反性： I R( rii 1,i 1,2,, n) ；
(2) 对称性： RT R( rij rji ; i, j 1,2,, n) ； (3)传递性： R R R ． 则称 R 为模糊等价矩阵．
对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵 R ， ~
则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵．
其中“ ”和“ ”分别表示取大算子和取小算子．并和交
运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的 交换律、结合律、分配律等运算。
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隶属函数举例
对于年龄区间 X (0,100)中的
“ 年老 ”和“ 年轻 ”这两个模糊集合
A ，B ,它们们的隶属函数分别 表示
为：
A(x)
属关系是不确定的．
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一、模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
假设做 n 次模糊统计试验，则：
x0
对
A
的隶属频率＝
x0
A*的次数 n
事实上，当 n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频
率的稳定值称为 x0 对 A 的隶属度，即
A (x0 )
lim
n
x0
A*的次数 n
在实际问题中为使原始数据能够适合模糊聚类的要
求，需要将原始数据矩阵 A 做标准化的处理，即通过适当
的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵．
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1. 数据标准化 1）平移－标准差变换
或余集。
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
它们的隶属函数分别为
AB (x) A (x) B (x) max( A (x), B (x)) AB (x) A (x) B (x) min( A (x), B (x)) Ac (x) 1 A (x)
(2)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2 R 的 －强截矩阵．
对任意的 [0,1] ， －截矩阵是布尔矩阵．
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3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 9 设 R 是 n n 阶的模糊矩阵，如果满足 R R R2 R
x i1 i
x1
x2
xn
这里“ A (xi ) ”不是分数，“＋”也不表示求和，只是
xi
符号，它表示点 xi 对模糊集 A 的隶属度是 A (xi ) ．
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2020年9月23日
一、模糊数学的基本概念
2.基本概念---模糊集与隶属函数 （2）模糊集的表示法
序偶表示法：
A (x1, A (x1 )), (x2 , A (x2 )),, (xn , A (xn ))
一、模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
模糊统计方法：一种客观方法.在模糊统计试验的基础上根据隶属 度的客观存在性来确定的．模糊统计试验必须包含下面的四个要素：
(1) 论域U ； (2) U 中的一个固定元素 x0 ； (3) U 中的一个随机变动的集合 A* （普通集）；
(4) U 中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊集 A ，对 A* 的 变动起着制约作用．其中 x0 A* ，或 x0A* ，致使 x0 对 A 的隶
则称 R 为模糊传递矩阵．
将包含 R 的最小的模糊传递矩阵称为 R 的传递包，记为t(R) ．
n
对任意 R (rij ) nn ，则 t(R) R k
k 1
n
k 1
r (k ij
)
nn
。
特别地，当 R 为模糊相似矩阵时，则存在一个最小的自然数
k(k n) ，使得 t(R) Rk ，对任意自然数 l k 都有 Rl Rk ，
论的对象全体构成的集合为问题的论域，记为U 。并总
假设问题的论域是非空的．
设U 是论域，则U 的所有子集组成的集合称为论域U 的 幂集，记作 F(U ) ．
例如：U {a,b,c} ，则
F(U ) ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}．
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