(精品)数学讲义九年级寒假班第3讲和第4讲：函数与分析-教师版

一、 平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限． 二、 点的坐标
1、点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．
2、平面内点的坐标是有序实数对，当a b ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标．
3、不同位置的点的坐标的特征： ①各象限内点的坐标的特征：
点P （x ，y ）在第一象限⇔x > 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第二象限⇔x < 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第三象限⇔x < 0，y < 0；
函数与分析
知识结构
模块一：平面直角坐标系
知识精讲
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例题解析
点P （x ，y ）在第四象限⇔x > 0，y < 0． ②坐标轴上的点的特征：
点P （x ，y ）在x 轴上⇔y = 0，x 为任意实数； 点P （x ，y ）在y 轴上⇔x = 0，y 为任意实数；
点P （x ，y ）既在x 轴上，又在y 轴上⇔x = y = 0，即点P 坐标为（0，0）． ③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： 点P （x ，y ）在第一、三象限夹角平分线上⇔x = y ； 点P （x ，y ）在第二、四象限夹角平分线上⇔x + y = 0． ④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同． 三、 点的运动
1、点到坐标轴及原点的距离： 点P （x ，y ）到x 轴的距离等于y ； 点P （x ，y ）到y 轴的距离等于x ．
2、在直角坐标平面内：
平行于x 轴的直线上的两点A （1x ，y ）、B （2x ，y ）的距离12AB x x =-； 平行于y 轴的直线上的两点C （x ，1y ）、D （x ，2y ）的距离12CD y y =-． 点P 22x y +
两点间的距离公式：点A 坐标为（1x ，1y ），点B 坐标为（2x ，2y ），则AB 间的距离，即线段AB 的长()
()2
2
1212x x y y -+-．
3、点的对称：
若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为1P （a ，b -），P 关于y 轴对称的点为2P （a -，b ），关于原点对称的点为2P （a -，b -）．
4、坐标平移：
若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a h -，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a h +，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h +），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h -）．
【例1】 （2012学年·杨浦区二模·第9题）在平面直角坐标系中，若点P （2x -，x ）在第二象限，则x 的取值范
围为____________．
【难度】★ 【答案】02x <<
【解析】第二象限点坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；20,2x x ∴-<∴<且0x >
02x ∴<<．
【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．
【例2】 （2013学年·闵行区二模·第2题）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点
Q （a -，4b -）所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【难度】★ 【答案】C
【解析】点P （a ，b ）在第四象限，则0,0a b ><，0,40a b ∴-<-<，∴点Q （a -，4b -） 在第三象限，故选C ．
【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．
【例3】 （2013学年·普陀区二模·第16题）直角坐标系中，第四象限内一点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为
5，那么点P 的坐标是____________．
【难度】★
【答案】P ()52-，
． 【解析】点P 是第四象限内一点，∴横坐标为正，纵坐标为负； 点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，∴点P ()52-，
． 【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点及点到坐标的距离．
【例4】 （2012学年·闸北区二模·第11题）点M （3，1）和点N （3，1-）关于______轴对称． 【难度】★ 【答案】x ．
【解析】根据点对称特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于x 轴对称． 【总结】考察点对称的特征．
【例5】 （2011学年·闵行区二模·第3题）点P （1-，3）关于原点中心对称的点的坐标是( )
A ．（1-，3-）
B ．（1，3-）
C ．（1，3）
D ．（3，1-）
【难度】★ 【答案】B
【解析】关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数． 【总结】考察关于原点对称的点坐标的特征．
4 / 40
一、 函数
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 在允许取值范围内的每一个确定值，变量y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数． 二、 函数的定义域
函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域． 三、 函数值
如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x = a 时的函数值，可记为()f a ．
【例6】 （2015学年·杨浦区二模·第10题）函数1
2y x x
=+-的定义域是__________． 【难度】★
【答案】2x ≠．
【解析】12y x x =+-，定义域分别看
1
2x -和x 的取值范围，分式分母不为零， 202x x ∴-≠∴≠，．
【总结】考查函数的定义域求法，注意含有分母时，分母要不为零．
【例7】 （2015学年·闸北区二模·第10题）函数1y x =-的定义域是____________． 【难度】★ 【答案】1x ≤．
【解析】要使1x -有意义，101x x ∴-≥∴≤，． 【总结】考察无理式有意义的条件是被开方数非负． 【例8】 （2015学年·崇明县二模·第10题）函数23
x y x =-的定义域为__________．
【难度】★ 【答案】3x >．
【解析】3x -有意义，303x x ∴-≥≥，
即，又3x -为分母，3x ∴≠，3x ∴>．
【总结】考察无理式、分式有意义的条件．
模块二：函数的有关概念
例题解析
知识精讲
【例9】 （2013学年·杨浦区二模·第9题）函数1
32
y x x =-+-的定义域是________． 【难度】★
【答案】3x ≤且2x ≠．
【解析】303202x x x x -≥∴≤-≠∴≠，；，，∴3x ≤且2x ≠． 【总结】考察无理式、分式有意义的条件．
【例10】 （2014学年·松江区二模·第9题）已知()1
x
f x x =-，那么()3f =______． 【难度】★ 【答案】()332
f =． 【解析】
()()33
31312
x f x f x =
∴==--，． 【总结】考察利用代入法求函数值．
【例11】 （2015学年·浦东新区二模·第12题）已知函数2
()2
f x x =+，那么(2)f =______．
【难度】★ 【答案】()23f =．
【解析】
()26
()232
22
2
f x f
x =
∴=
=
=++，．
【总结】考察利用代入法求函数的值．
【例12】 （2013学年·奉贤区二模·第10题）已知函数()2f x x =-，若()3f x =，
那么x =______．
【难度】★ 【答案】11x =． 【解析】
()2f x x =-，()3f x =，232911x x x ∴-=∴-==，，解得：，经检验11x =
是无理方程的根，所以11x =．
【总结】考察利用代入法求函数的值，注意本题中解完方程后要检验．
模块三：正比例函数与反比例函数
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一、 正比例函数
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例． 解析式形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做正比例函数．其中常数k 叫做比例系数． 二、 反比例函数
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．
解析式形如k
y x =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数．其中常数k 叫做比例系数．
三、 正比例函数、反比例函数的图像及性质
函数 正比例函数
反比例函数
解析式 y kx =（k 是常数，0k ≠）
k
y x
=
（k 是常数，0k ≠） 定义域 一切实数
0x ≠的一切实数
k 的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0 经过象限
一、三 二、四 一、三 二、四 图像
性质
y 随x 的增大 而增大 y 随x 的增大 而减小
在每个象限内， y 随x 的增大 而减小 在每个象限内， y 随x 的增大 而增大
x y
O
x y
O
x y O
x y
O
例题解析
知识精讲
【例13】 （2015学年·崇明县二模·第12题）如果一个正比例函数的图像过点（2，4-），那么这个正比例函数的
解析式为______．
【难度】★ 【答案】2y x =-
【解析】设()0y kx k =≠，把点（2，4-）代入()0y kx k =≠，得：24k =-， 22k y x =-∴=-解得：，．
【总结】考察利用待定系数法求解正比例函数的解析式．
【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第11题）如果反比例函数的图像经过点（3，4-），那么这个反比例函数的
比例系数是______．
【难度】★ 【答案】12k =-．
【解析】设反比例函数解析式为：()0k
y k x
=≠， 把点（3，4-）代入得：4123
k k -=
∴=-，． 【总结】考察待定系数法求解反比例函数的比例系数．
【例15】 （2015学年·闵行区二模·第3题）下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是( )
A ．3y x =
B ．3y x =-
C ．3y x =
D ．3
y x =-
【难度】★ 【答案】B
【解析】A ：0k >，y 随着x 的增大而增大；B ：0k <，y 随着x 的增大而减小；
C ：0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；
D ：0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．
故选B ．
【总结】考察正、反比例函数的性质，注意反比例图像是在每一象限内的增减性．
【例16】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第10题）如果在组成反比例函数1k
y x
-=
图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是____________．
【答案】1k >．
【解析】当0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，101k k ∴-<∴>，． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．
【例17】 （2014学年·奉贤区二模·第3题）关于反比例函数2
y x
=的图像，下列叙述错误的是( ) A ．y 随x 的增大而减小 B ．图像位于一、三象限
C ．图像是轴对称图形
D ．点（1-，2-）在这个图像上
【难度】★ 【答案】A
【解析】0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．
【例18】 （2014学年·杨浦区二模·第2题）在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2
k y x
=
的图像没有公共点，则( )
A ．120k k <
B ．120k k >
C ．120k k +<
D ．120k k +>
【难度】★ 【答案】A
【解析】k 同号时，正、反比例函数在同象限，有两个交点；k 异号时，正、反比例函 数在不同象限，没有交点．
【总结】考察正、反比例函数图像的性质．
【例19】 （2015学年·松江区二模·第13题）反比例函数k
y x
=的图象经过点（1-，2），
A （1x ，1y ），
B （2x ，2y ）是图像上另两点，其中120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是___________．
【难度】★ 【答案】12y y <．
【解析】把点（1-，2）代入k
y x
=，得20k =-<，0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大 而增大，
120x x <<，12y y ∴<．
【总结】考察反比例函数的图像的性质的运用．
【例20】 （2013学年·奉贤区二模·第12题）若点A （1，1y ）和点B （2，2y ）都在正比例函数y kx =（0k >）图
像上，则1y ______2y （选择“>”、“<”、
y （米）
【答案】．
【解析】0k >，正比例函数图像y 随着x 的增大而增大，12<，即1212x x y y <∴<，． 【总结】考察正比例函数的图像的性质的运用．
【例21】 （2014学年·徐汇区二模·第3题）某反比例函数的图像经过点（2-，3），则此函数图像也经过点( )
A ．（2，3）
B ．（3-，3-）
C ．（2，3-）
D ．（4-，6）
【难度】★ 【答案】C
【解析】反比例函数图像上的点的横、纵坐标之积等于k ，因此点的横、纵坐标之积相 等，即在同一个反比例函数图像上． 【总结】考察反比例函数的性质的应用．
【例22】 （2015学年·杨浦区二模·第16题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2，写出一个
函数k
y x
=
（0k ≠），使它的图像与正方形OABC 的边有公共点，这个函数的解析式可以是____________． 【难度】★★
【答案】2
y k
=（答案不唯一）
【解析】将正方形边AB 、BC 上的任一点坐标代入 反比例函数解析式，即可求出反比例函数解析式． 【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．
【例23】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第20题）已知双曲线k
y x
=
经过点A （a ，4a +）和点B （2a ，21a -），求k 和a 的值．
【难度】★★ 【答案】212a k =⎧⎨=⎩
【解析】解：把A （a ，4a +）、B （2a ，21a -）分别代入k y x =，得：4212k
a a
k a a
⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：212a k =⎧⎨=⎩
【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．
【例24】 （2015学年·杨浦区二模·第22题）某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此
路从M 走到N ，停留后再原路返回，其间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．
（1）求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点
12y y <
C 的纵坐标．
【难度】★★
【答案】（1）30y x =； （2）点C 的纵坐标为240． 【解析】（1）设()0y kx k =≠ 把()20600A ，
代入()0y kx k =≠得： 2060030k k ==，，30y x ∴=；
（2）设下山的两个速度分别是2m 和3m
根据题意得：21838600m m ⋅+⋅=，60600,10m m ==，220330m m ∴==，830240∴⨯=，∴点C 的纵坐标为240． 【总结】本题考察的是函数在行程实际问题的运用．
【例25】 （2013学年·松江区二模·第22题）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售
票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．
（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；
（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票
数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？
【难度】★★
【答案】（1）180w t =；（2）8． 【解析】（1）设()10w kt k =≠
把()3240A ，
代入，得：324080k k ==，解得：， 180w t ∴=；
（2）设普通售票窗口为x 个，无人售票窗口为2x 个 则24018022400x x +⋅= 解得：4x =，28x ∴=
答：当天开放无人售票窗口的个数为8个． 【总结】本题考察的是函数在实际问题中的运用．
【例26】 （2015学年·崇明县二模·第21题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像
经过A （0，2-），B （1，0）两点，与反比例函数m
y x
=（0m ≠）的图像在第一象限内交于点M ，若OBM ∆的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P 是x 轴正半轴上一点且90AMP ∠=︒，求点P 的坐标． 【难度】★★
【答案】（1）22y x =-和12
y x =；（2）()110P ∴，．
【解析】（1）把A （0，2-），B （1，0）两点代入y kx b =+得：2
0b x b =-⎧⎨+=⎩
，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，22y x ∴=-；
过M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，
()10B ，，2OBM S ∆=，4MH ∴=，即M 纵坐标为4，把4y =代入22y x =- 解得：3x =，()34M ∴，
，所以反比例函数的解析式为：12
y x
=． （2）设()0P m ，
， 当90AMP ∠=︒时，BMH MPH ，24
84BH MH HP MH HP HP
∴
==∴=，即，． ∴3811m OP OH HP ==+=+=，()110P ∴，
【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用，注意用相似求出线段的长，从而得 出点的坐标．
【例27】 （2013学年·浦东新区二模·第17题）如图，已知点A 在反比例函数k
y x
=
的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且OAB ∆是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是_________________．
【难度】★★★ 【答案】3y x
=-
． 【解析】过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，
设OAB ∆的边长为2x ，1
32
OAB S OB AH ∴=⋅=
1
23312
x x x ∴⋅⋅==，解得：，()
13A ∴-，，3y x ∴=-．【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用．
一、 一次函数
模块四：一次函数
知识精讲
y
x
O A
M
B
H P
A
B
O
x
y H
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一般的，解析式形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．
正比例函数与一次函数的关系：当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 、b 为常数，且0k ≠），这时，y 是x 的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例． 二、 函数 一次函数
解析式 y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）
定义域 一切实数
k 、b 的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0 经过象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
图像
性质
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
【例28】 （2013学年·普陀区二模·第2题）在平面直角坐标系中，将正比例函数y kx =（0k >）的图像向上平移一
个单位，那么平移后的图像不经过（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【难度】★ 【答案】D
【解析】0k >，正比例函数经过一、三象限，图像向上平移一个单位，图像经过一、 二、四象限，∴图像不经过第四象限，故选D ． 【总结】考察正比例函数图像性质．
【例29】 （2015学年·松江区二模·第3题）在平面直角坐标系中，直线1y x =-经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
【难度】★ 【答案】C
【解析】00k b ><，，图像经过第一、三、四象限． 【总结】考察正比例函数图像的性质．
x y O
x y O
x y O
x y
O
例题解析
【例30】 （2015学年·金山区二模·第2题）如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那
么（）
A ．k > 0，b > 0
B ．k > 0，b < 0
C ．k < 0，b > 0
D ．k < 0，b < 0
【难度】★ 【答案】B
【解析】一次函数图象经过第一象，0k >；与y 轴负半轴相交，0b <． 【总结】考察正比例函数图像性质．
【例31】 （2015学年·闵行区二模·第12题）将直线213
y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的
截距为______．
【难度】★ 【答案】2-．
【解析】上加下减，左加右减． 【总结】考察函数平移及截距的概念．
【例32】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第11题）把直线2y x =-+向上平移3个单位，得到的直线表达式是
__________________．
【难度】★
【答案】5y x =-+． 【解析】上加下减，左加右减 【总结】考察函数平移特性．
【例33】 （2015学年·徐汇区二模·第16题）如果直线y kx b =+（0k >）是由正比例函数y kx =的图像向左平移1
个单位得到，那么不等式0kx b +>的解集是______．
【难度】★★ 【答案】1x >-．
【解析】y kx =与x 轴交点为()00，，向左平移1个单位得到()01-，，
∴y kx b =+当0y >时，1x >-，∴不等式0kx b +>的解集是1x >-．
【总结】考察函数与不等式结合的综合应用．
【例34】 （2013学年·虹口区二模·第11题）已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减
小，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式 为__________________．
【难度】★★
【答案】1y x =-+（答案不唯一）
【解析】一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，则0b >，y 随x 的增大而减小，则0k <． 【总结】考察一次函数图像的性质．
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【例35】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第16题）当x = 2，不论k 取任何实数，函数()23y k x =-+的值为3，
所以直线()23y k x =-+一定经过定点（2，3）；同样，直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为____________．
【难度】★★ 【答案】()35，．
【解析】由题意可知：当3x =时，()(3)233325y k x x k =-++=-++=， 所以直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为()35，．
【总结】考察一次函数的性质及代值求函数值，同时考察学生针对新定义的应用．
【例36】 （2015学年·黄浦区二模·第21题）已知一次函数的图像经过点P （3，5），且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q （x ，y ）在该直线上，且在x 轴的下方，求x 的取值范围. 【难度】★★
【答案】（1）21y x =-；（2）1
2
x <
． 【解析】（1）设一次函数解析式为2y x b =+ ∵该一次函数的图像经过点()3,5P ，∴235b ⨯+= ∴1b =-，
∴21y x =-
（2）∵点(),Q x y 在该直线上，且在x 轴的下方，
∴210x -<，解得：12
x <. 所以x 的取值范围是12
x <
． 【总结】考察一次函数的平行性质即求解析式的方法以及一次函数的图像性质．
【例37】 （2015学年·松江区二模·第21题）已知气温的华氏度数y 是摄氏度数x 的一次函数．如图所示是一个家
用温度表的表盘．其左边为摄氏温度的刻度和读数（单位℃），右边为华氏温度的刻度和读数（单位℉）．观察发现表示40-℃与40-℉的刻度线恰好对齐（在一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．
（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？ 【难度】★★
【答案】（1）9
325
y x =
+；（2）40C ︒． 【解析】（1）设()0y kx k =≠
由已知得：404032k b b -=-+⎧⎨=⎩，解得：9532
k ⎧
=
⎪⎨⎪⎩，9325y x ∴=+；
（2）令104y =，9
321045
x ∴+=，解得：40x =，
∴当华氏温度为104F ︒时，温度表上摄氏温度为40C ︒．
【总结】考察一次函数求解析式的方法以及一次函数的性质的运用．
【例38】 （2014学年·虹口区二模·第22题）某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现，每天销售件数y （件）
是每件销售价格x （元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．
（1）试求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；
（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑
其他因素）
【难度】★★
【答案】（1）280y x =-+；（2）该种文具每件的销售价格应该定为25元． 【解析】解：（1）由题意，知：当15x =时，50y =；当20x =时，40y =
设所求一次函数解析式为y kx b =+，
由题意得：50154020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2
80k b =-⎧⎨
=⎩
∴所求的y 关于x 的函数解析式为：280y x =-+；
（2）由题意，可得：(10)(280)450x x --+=，解得：1225x x ==． 答：该种文具每件的销售价格应该定为25元. 【总结】考察一次函数与应用题综合应用．
【例39】 （2015学年·浦东新区二模·第22题）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万
元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示：
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本 = 每吨的成本⨯生产数量） 【难度】★★
【答案】（1）()1
1004010
y x x =-+≤≤；（2）30吨．
【解析】（1）设函数解析式为()0y kx b k =+≠，
将()0,10、()40,6分别代入y kx b =+得10640b
k b =⎧⎨=+⎩
，
解之得11010
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，所以()11004010y x x =-+≤≤
（2）由11021010x x ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭，解得：130x =或270x =，由于040x ≤≤，所以30x =
答：该产品的生产数量是30吨．
【总结】考察一次函数与应用题的综合应用．
【例40】 （2014学年·长宁区二模·第21题）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地
卸货后返回甲地．设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km ），y 与x 的关系如图所示．
根据图像回答下列问题： （1）汽车在乙地卸货停留（h ）；
（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域； （3）求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离． 【难度】★★
【答案】（1）0.5；（2）()482402.55y x x =-+≤≤； （3）这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ． 【解析】（1）0.5； （2）设(0)y kx b k =+≠，
把（2.5，120）和（5，0）分别代入
得120 2.505k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得48
240k b =-⎧⎨=⎩
，∴解析式为()482402.55y x x =-+≤≤．
（3）当x = 4时，48424048y =-⨯+=
∴这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ．
【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及已知自变量求函数值．
【例41】 （2013学年·奉贤区二模·第22题）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，
分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队
从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
【难度】★★
【答案】（1） 520y x =＋；（2）110米． 【解析】（1）设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 间 的函数关系式为 y kx b =+，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴230650k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5
20k b =⎧⎨=⎩
，∴ 520y x =＋；
（2）由图可知，甲队速度是：60610÷=（米/时）， 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米， 依题意，得6050
1012
z z --=
解得：z =110．
答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．
【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及根据实际问题解应用题．
【例42】 （2014学年·闵行区二模·第22题）货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与
A 处相距360千米的
B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：
（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方
12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）
【难度】★★
【答案】（1）30150y x =-+；（2）D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油 【解析】（1）设所求函数为：y k x b =+，
根据题意，得150120b k b =⎧⎨+=⎩，解得：30
150k b =-⎧⎨=⎩，∴所求函数的解析式为30150y x =-+；
（2）设在D 处至少加w 升油， 根据题意，得：36046012
1504303021060
w -⨯--⨯+≥⨯⨯+，
解得：94w ≥．
答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油．
【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及一次函数性质的应用，主要是认真审题， 明白题目中所蕴含的条件．
时)
y
【例43】（2014学年·徐汇区二模·第21题）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（0
x≥）之间的函数关系式；
（2）若两个月内该营销员的销售量从
2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收
1.414，保留到百分位）．
【难度】★★
【答案】（1）800800
y x
=+；（2）41%．
【解析】（1）设函数关系式为y kx b
=+，
将()
0800
，、()
22400
，代入得到：
800
2+2400
b
k b
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
800
800
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴函数关系式为800800
y x
=+；
（2）当5
x=时8005800=4800
y=⨯+，
设这个增长率为a，由题意有2
2400(1)=4800
a
+，
解得：
12
11
a a
=-+=--
∴10.4140.4141%
a=-≈=．
答：函数关系式为800800
y x
=+，这个增长率为41%．
【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及增长率类型应用题的应
【例44】（2015学年·长宁区、金山区二模·第21题）在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P （1，m）（m > 0）和点Q关于x轴对称．
（1）求证：直线OP // 直线AQ；
（2）过点P作PB // x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）详见解析；（
2）点P的坐标是(1．
【解析】（1）设直线OP 和直线AQ 的解析式分别为1y k x =和22y k x b =+． 根据题意，得：点Q 的坐标为（1，-m ） 1k m =，22222+0k b m k b +=-⎧⎨
=⎩，解得：22
2k m
b m =⎧⎨=-⎩ ∵12k k m ==，∴直线OP ∥直线AQ ；
（2）∵OP ∥AQ ，PB ∥OA ，AP ⊥BO ，∴四边形POAQ 是菱形，
∴PO =AO ，∴212m +=，3m =±．∵0m >，∴3m =，∴点P 的坐标是()
13，． 【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合四边形的综合应用．
【例45】 （2013学年·宝山区、嘉定区二模·第22题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于
点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）.
（1）求直线AB 的表达式和线段AB 的长；
（2）将OAB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，求线段AB 上横坐标为a 的点E 在
线段CD 上的对应点F 的坐标（用含a 的代数式表示）.
【难度】★★★
【答案】（1）直线AB 的解析式为22y x =-+，5AB =；（2）点()22F a a -，． 【解析】（1）将点A （1，0），点B （0，2）代入直线y kx b =+，
可求得：2k =-，2b =，
∴直线AB 的解析式为22y x =-+，线段AB =2
2
(10)(02)5-+-=； （2）∵E 为线段AB 上横坐标a 的点，∴第一象限的E ()22a a -+，， 根据题意F 为E 绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点， 第二象限的F 的坐标为()22a a --+， ∴点()22F a a -，．
【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合几何图形的综合应用．
一、 二次函数
一般地，解析式形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数．
模块五：二次函数
x
y
O
1
2 1
2 1-
1-
2- A
B
C
D
知识精讲
二次函数2y ax bx c =++二、 二次函数的图像
1、2y x =的图像：
在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：
（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3
）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示． 二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =．
2、二次函数2y ax =的图像：
抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
3、二次函数2y ax c =+的图像：
一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上
图1
图2。