最新-2018届高三数学一轮复习 31 数列的概念课件 理 大纲版 精品

∴an+1=2×2n-1=2n.
∴an=2n-1;
当x=-3,y=6时，an+1=-3an+6.
∴an+1-
23=-3(an-
3).
2
∴数列{an- }23是首项为a1-
=3- ,公1比为-3的等比数列.
22
∴an-
3=-
2
(-13)n-1.
2
∴an=
3-
2
(1-3)n-1.
2
综上，当x=2,y=1时，an=2n-1;
2. 数 列 {an} 中 ， a1=1,n≥2 时 ， 都 有 a1·a2·a3…an=n2, 则
a3+a5=（ ）
（A） 61
（B） 25
16
9
【解析】选A.方法一：
（C） 25 16
（D） 31 15
当n=2时，a1·a2=22,∴a2=4.
当当nn==34时 时， ，aa11· ·aa22··aa33=·3a24,=∴4a32=,∴94a4.=196
【解析】选C.∵a1·a2·…·an=log2(n+2)∈Z, ∴n+2=2k(k∈N),∴n=2k-2∈（1，2 010］,
3<2k≤2 012,∴2≤k≤10,
∴在（1，2 010］内的所有“优数”之和为
（22-2)+(23-2)+…+(210-2)
= 22 (1-2-99) ×2=211-22=2 026.
an =2.
an 1
∴a1=2(a1-1),∴a1=2,
∴a2=2a1=4.
答案：4
8.设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n，都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则 a1+a2+…+a100的值是_____. 【解析】将递推式中的n替换为n+1, 得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,两式相减得 an+1an+2an+3(an+4-an)=an+4-an, 由an+1an+2an+3≠1得an+4-an=0,即an+4=an, ∴数列{an}是周期数列，其周期为4k(k∈Z), 由已知易得a4=4, 故 a1+a2+…+a100=25(a1+a2+a3+a4)=25(1+1+2+4)=200. 答案：200
7.（2010·安庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= 2（an-1)，则a2等于____. 【解析】n≥2时，
∵Sn=2(an-1),
∴Sn-1=2(an-1-1),∴Sn-Sn-1=2(an-an-1),
∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴ 又∵S1=2(a1-1),
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.已知数列{an}满足an+2=an+1+an(n∈N*).若a1=1，a5=8,
则a3=（ ）
（A）3 （B）2 （C）1
（D）-1
【
解
析
】
选
A.
易
知
a3=a1+a2=1+a2,a5=a4+a3=(a3+a2)+a3= 2a3+a2=2+3a2=8, ∴a2=2,∴a3=1+2=3.
【解析】选C.∵a1·a2·…·an=log2(n+2)∈Z, ∴n+2=2k(k∈N),∴n=2k-2∈（1，2 010］, 3<2k≤2 012,∴2≤k≤10, ∴在（1，2 010］内的所有“优数”之和为 （22-2)+(23-2)+…+(210-2) = 22 (1 29 ) =92112-22=2 026.
三、解答题（共16分） 9.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an=a1+
(n＞1).
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若an=2 010,求n. 【解析】（1）∵an=a1+
∴an+1=a1+
(n＞1),
两式相减得an+1-an= 1 an(n＞1), n
∴an+1= n+1an.又a1=1≠0,∴an≠0. n
2. 数 列 {an} 中 ， a1=1,n≥2 时 ， 都 有 a1·a2·a3…an=n2, 则 a3+a5=（ ）
【解析】
3.在数列a1,a2,a3,…,an,…的每相邻两项间插入3个数，使它 们与原数列构成一个新数列，则新数列的第49项（ ） （A）不是原数列的项 （B）是原数列的第12项 （C）是原数列的第13项 （D）是原数列的第14项பைடு நூலகம்【解析】选C.易知an前面插入(n-1)×3个数， ∴an是数列的第(3n-3)+n=4n-3项. ∴4n-3=49,则n=13. ∴是原数列的第13项.
xy=6, ∴x,y为方程x2-5x+6=0的两根.
∴ x=2或 x=3 y=3 y=2.
即x=2或3. (2)由（1）可知{an+1-xan}为等比数列， ∴an+1-2an=(a2-2a1)·3n-1=3·3n-1=3n, 也有an+1-3an=(a2-3a1)·2n-1=2·2n-1=2n, 以上两式相减得an=3n-2n 即所求数列的通项公式.
12
【解题提示】通过求出{an}的前若干项，观察数列{an}是 否具有周期性.
【解析】选B.本小题考查了数列的基本性质.由已知得数列{an}
的周期为4且前四项分别为 ， ，2 ，4 ，3 1
易得a2 009=a1=2 . 5
5 5 55
二、填空题（每小题3分，共9分） 6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-λn，如果an≥a3恒成立， 则实数λ的取值范围是____. 【解析】∵f(x)=x2-λx为二次函数， ∴由图象易知，an≥a3等价于 a2≥a3 即 4-2λ≥9-3λ a4≥a3, 16-4λ≥9-3λ， ∴5≤λ≤7. 答案：5≤λ≤7
1-2
5.数列{an}满足an+1= 等于( )
2an 2an-1
(0≤an< 1 )
(
1
2 ≤an<1)
，若a1=
2 5
,则a2009
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
5
5
5
5
【解题提示】通过求出{an}的前若干项，观察数列{an}是否
具有周期性.
【解析】选B.本小题考查了数列的基本性质.由已知得数列{an}
（2）求数列{an}的通项公式. 【解析】（1）依题意知a2=x+y=3 a3=x(x+y)+y=3x+y, a4=x(3x+y)+y=15 联立①②可解得 x=2 或 x=-3
① ②
y=1. y=6
【规律方法】
（10分）已知数列{an}满足an+2=5an+1-6an(n∈N*),a1=1,a2=5. (1)是否存在实数x使{an+1-xan}为等比数列，如果有，求出x 的值，如果没有，请说明理由. (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】（1）假设存在x,设公比为y，则 an+2-xan+1=y(an+1-xan), ∴an+2=(x+y)an+1-xyan,∴ x+y=5
a2≥a3 ,即
a4≥a3
4-2λ≥9-3λ ，
16-4λ≥9-3λ
∴5≤λ≤7.
答案：5≤λ≤7
7.（2010·安庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= 2（an-1)，则a2等于____. 【解析】n≥2时，
∵Sn=2(an-1),
∴Sn-1=2(an-1-1),∴Sn-Sn-1=2(an-an-1),
三、解答题（共16分）
9.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an=a1+ 1 an-1(n＞1).
1 a2+ 2
1 3
a3+…+
n1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若an=2 010,求n.
【解析】
【误区警示】
10.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=xan+y,且a2=3,a4=15. (1)求常数x,y的值；
【解析】（1）依题意知a2=x+y=3
①
a3=x(x+y)+y=3x+y,
a4=x(3x+y)+y=15
②
x=2 x=-3 联立①②可解得 或 .
y=1 y=6
(2)当x=2，y=1时,an+1=2an+1. ∴an+1+1=2(an+1). ∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.
.
当n=5时，a1·a2·a3·a4·a5=52,∴a52=5 .
∴a3+a5=61 ,故选A.
16
16
方法二：an= ∴a3+a5=
故选A.
3.在数列a1,a2,a3,…,an,…的每相邻两项间插入3个数，使它 们与原数列构成一个新数列，则新数列的第49项（ ） （A）不是原数列的项 （B）是原数列的第12项 （C）是原数列的第13项 （D）是原数列的第14项 【解析】选C.易知an前面插入(n-1)×3个数， ∴an是数列的第(3n-3)+n=4n-3项. ∴4n-3=49,则n=13. ∴是原数列的第13项.
当x=-3，y=6时，an=3
2
-1 (-3)n-1.
2
（10分）已知数列{an}满足an+2=5an+1- 6an(n∈N*), a1= 1,a2=5. (1)是否存在实数x使{an+1-xan}为等比数列，如果有，求出x 的值，如果没有，请说明理由.
(2)求数列{an}的通项公式. 【解析】（1）假设存在x,设公比为y，则
的周期为4且前四项分别为 a2009=a1= 2 .
5
， 2， 5
4， ，3易得 1 555
二、填空题（每小题3分，共9分）
6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-λn，如果an≥a3恒成立， 则实数λ的取值范围是____.
【解析】∵f(x)=x2-λx为二次函数，
∴由图象易知，an≥a3等价于
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.已知数列{an}满足an+2=an+1+an(n∈N*).若a1=1，a5=8,则a3= （）
（A）3
（B）2
（C）1
（D）-1
【解析】选A.易知a3=a1+a2=1+a2,a5=a4+a3=(a3+a2)+a3 =2a3 +a2=2+3a2=8, ∴a2=2,∴a3=1+2=3.
4.（2010·重庆模拟）已知数列{an}的通项为an=logn+1(n+2) (n∈N*),我们把使乘积a1·a2·…·an为整数的n叫做“优 数”，则在（1，2 010］内的所有“优数”的和为（ ）
(A)1 024
(B)2 003
(C)2 026
(D)2 048
【解题提示】应用换底公式求出{a1·a2·…·an}的通项 公式是关键.
又a2=a1=1,∴当n＞1时，an=n2 . 又a1=1不适合上式，
1 (n=1)
∴an= n
. (n≥2)
2 (2)由an=2 010，得n=4 020.
10.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=xan+y,且a2=3,a4=15. (1)求常数x,y的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
an+2-xan+1=y(an+1-xan),
x+y=5
∴an+2=(x+y)an+1-xyan,∴
, xy=6
∴x,y为方程x2-5x+6=0的两根.
x=2 x=3 ∴ 或 .即x=2或3 .
y=3 y=2
(2)由（1）可知{an+1-xan}为等比数列，
∴an+1-2an=(a2-2a1)·3n-1=3·3n-1=3n, 也有an+1-3an=(a2-3a1)·2n-1=2·2n-1=2n, 以上两式相减得an=3n-2n 即所求数列的通项公式.
4.（2010·重庆模拟）已知数列{an}的通项为 an=logn+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·…·an为整数 的n叫做“优数”，则在（1，2 010］内的所有“优数”的和
为（ ）
(A)1 024
(B)2 003
(C)2 026
(D)2 048
【解题提示】应用换底公式求出{a1·a2·…·an}的通项 公式是关键.
∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴
a=n 2.
a n-1
又∵S1=2(a1-1),
∴a1=2(a1-1),∴a1=2,
∴a2=2a1=4.
答案：4
8.设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n， 都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+ an+3， 则a1+a2+…+a100的值是____. 【解析】将递推式中的n替换为n+1, 得 an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 两 式 相 减 得 an+1an+2an+3(an+4-an)=an+4-an, 由an+1an+2an+3≠1得an+4-an=0,即an+4=an, ∴数列{an}是周期数列，其周期为4k(k∈Z), 由已知易得a4=4,故a1+a2+…+a100=25(a1+a2+a3+a4) =25(1+1+2+4)=200. 答案：200