(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ）
A 1-
B ．1
C ．
2
D ．12
-
2．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3
f π
()f x 在6
x π
=
处取得最大值，则ω的最小值为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
3．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αα
αα
+=-（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4．若πtan 34α⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
，则sin 2α=（ ） A ．2
B ．1
C ．
45
D ．35
-
5．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6
g x m x m m π
=--+>，若
对任意1[0,]4x π
∈，存在2[0,]4
x π
∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4
(1,)3
B ．2(,1]3
C ．2[,1]3
D ．4[1,]3
6．已知25cos2cos αα+=，()4
cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，则cos β的值为（ ） A ．45
-
B ．
44125
C ．44
125
-
D ．
45
7．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝
⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
等于( ) A ．7
B ．
1
7
C ．-
17
D ．-7
8．已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510
αβ=
=
，则αβ+=（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
34
π 9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
1
7
B ．7
C ．17
-
D ．-7
10．已知函数2
2()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπ
ωωω=-->在区间25[,]36
ππ
-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）
A ．3(0,]5
B ．13[,]25
C ．13[,]24
D ．15[,)22
11．已知直线524x π=
是函数21()sin (08)222
x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．
若sin 2α=(
)sin βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74
π
B ．94π
C ．
54
π或74π
D ．
54π或94
π 二、填空题
13．已知α、0,
2πβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，sin α=
，(
)cos αβ+=()cos 2αβ+=______.
14．已知4cos 5θ=
，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
____________． 15．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 16．函数()3sin cos22f x x x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的最大值为_________. 17．已知cosα17=
，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2
π<，则sinβ=_____. 18．已知2tan 3tan 5πα=，则
2sin 59cos 10παπα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭________.
19．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为
()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好
在双曲线上,则该双曲线的方程为________. 20．
设)
sin17cos172a =︒+︒,2
2cos 131b =︒-
,c =则a ,b ,c 的大小关系是______.
三、解答题
21．已知cos
α=
，sin （α﹣β
）=，且α、β∈（0，2π）．求：
（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值．
22．已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛
⎫
=⋅-
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦. （1）求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
； （2）求()f x 的值域.
23．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线4
3
y x =
上. （1）求2sin()cos()
3cos sin 22πααππαα++-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
的值；
（2）若,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且cos()5
αβ+=-
，求tan β的值. 24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2
ϕπ<
）的图象向右平移12π
个单位长度得到
()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；
②
函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->； ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛
⎫
=+
-> ⎪⎝
⎭
； 问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()f α=α的值．
25．已知函数2
())2cos
1(0,0)2
x f x x ωϕ
ωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且
()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．
（1）当5,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值．
26．已知函数21
()cos cos 2222
x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数
()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.
你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移
32
π
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移
4
π
个单位.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间
,4t t π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数
44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，
所以函数()f x 的周期为22T π
π==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期， 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡
⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大
值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，
区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的中点为428
t t
t t π
π-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18
t π
-
=，解得224
t k π
π-
=，所以,,8
t k k Z π
π=
+∈
所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫
==+==
⎪⎝⎭
故()()()g t M t N t =-
取最小值为12
-． 故选：D ． 【点睛】
关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π
⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.
2．C
解析：C 【分析】
利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=
⎪⎝⎭
，又根据()3f π=
，可求得cos 6πω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
sin 6πω⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据
ω的范围，即可求得答案.
【详解】
(
)sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，
因为22T π
πω
=
<，所以1ω>，
因为()f x 在6
x π
=处取得最大值，
所以
2,6
2
k k Z πω
π
ϕπ+=+
∈，即2,2
6
k k Z π
πω
ϕπ=+
-
∈，
所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫
=+-=-== ⎪ ⎪⎛
⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
， 所以1
tan 6a
πω⎛⎫=
⎪⎝⎭，
因为()3f π
3πω
ϕ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
又2
2
22sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，
所以a =1
sin 62
πω⎛⎫=
⎪⎝⎭， 所以
2,66k k Z πωππ=+
∈或
52,66k k Z πω
π
π=+
∈，
解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，
又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】
解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫
⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫
⎪⎝⎭
的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
3．A
解析：A 【分析】
已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】
原式分子分母同除以cos α得 原=
tan 121
12tan 141
αα++==--
故选：A.
【点睛】
已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：
一是将所求式子分子分母同除cosα或2
cosα，化为tanα求解；
二是利用
sin
tan
cos
α
α
α
=得sin tan cos
ααα
=代入消元即可.
4．C
解析：C
【分析】
先利用切化弦结合两角和的公式展开，平方后由二倍角正弦公式可得结果.【详解】
∵
π
sin
πsin cos
4
tan3
π
4cos sin
cos
4
α
αα
α
αα
α
⎛⎫
+
⎪+
⎛⎫⎝⎭
+===- ⎪-
⎛⎫
⎝⎭+
⎪
⎝⎭
，
∴()
()
2
2
sin cos
9
cos sin
αα
αα
+
=
-
，即
1sin2
9
1sin2
α
α
+
=
-
，
解得
4 sin2
5
α=，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了两角和公式以及切化弦思想的应用，等式两边平方是解题的关键，属于中档题.
5．D
解析：D
【解析】
22
2221
f x sin x x sin x cos x
=+-=+-
（））
1
2222222
23
sin x x sin x x sin x
π
==+=+
（）（），
当0,
4
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
时，
55
2[]21[12]
3366
min
x f x sin f x
ππππ
+∈∴==∴∈
，，（），（），，
对于2230
6
g x mcos x m m
π
=--+
（）（）（＞），
2[]2[]
3
6662
m
x mcos x m
π
πππ
-∈--∈
，，（），，
3
[33]
2
g x m m
∴∈-+-
（），，
∵对任意10,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，3
31
2
32
m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
故选D ．
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，
6．B
解析：B 【分析】
先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】
2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或3
5
因为0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3cos 5
α=
22443247
sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-
,42ππα⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
()()43
cos 2,2(2,3)sin 255
αβαβππαβ+=+∈∴+=
cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++
4732444
525525125
=-⨯+⨯=
故选：B 【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
7．B
解析：B 【分析】
先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】
由已知得tan α=34,则tan π1tan 1
41tan 7
ααα-⎛⎫-=
= ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】
本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.
8．B
解析：B 【分析】
依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】
由已知α、β
均为锐角，sin 510
αβ=
=
，
cos αβ∴=
=
又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
＝2
， ∵0＜α+β＜π，
∴α+β＝
4
π． 故选B ． 【点睛】
解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．
9．A
解析：A 【分析】
根据角的范围以及平方关系求出4
cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4
α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，3sin 5α=，
所以4cos ,5
α==-
sin 3
tan cos 4
ααα=
=-， tan tan
4tan 41tan tan 4
π
απαπα+⎛⎫+=
= ⎪⎝
⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】
本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于
[]0,π，最后取交集.
【详解】
因为()2
22sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，
22sin sin sin x x x ωωω=+-，
sin x ω=，
令22,22k x k k Z ππ
πωπ-+≤≤+∈，
则22,22k k x k Z ππππωωωω
-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数， 25,23,2262,k k k Z π
πππω
ωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562π
πωππ
ω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，
令2,2
x k k Z π
ωπ=
+∈，
因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤
≤，所以1
2
ω≥， 所以ω的取值范围是13
25
ω≤≤. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】
解：函数211()sin cos )sin sin()2223
x
f x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：
5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5
k
k Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，
12．A
解析：A 【分析】
先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值，再利用
()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解
()cos αβ+的值.
【详解】
∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦
.
∵sin 2α=∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，
∴,42ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，cos 2α= ∵3,
2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣
⎦，
∴()cos 10
βα-=-
， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦
5105102⎛⎛=-⨯--= ⎝
⎭⎝⎭.
又∵5,24αβπ⎡⎤
+∈π⎢⎥⎣⎦
， ∴74
αβπ+=. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.
二、填空题
13．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】
因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则0αβ<+<π，
又
10sin
10，()cos 5
αβ+=，所以，cos α==
()sin 5
αβ+==
， 所以
()()()()
cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦
-=
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及
两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角
解析：1
7
【分析】 由4cos 5θ=
，且,02πθ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=
，且,02πθ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，
可得3
sin 5
θ===-
，所以sin 3tan cos 4θθθ=
=-， 又由3
11tan 14tan 341tan 7
14
πθθθ-
+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：1
7
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
15．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：
2425
【分析】
由已知式求出3
tan 4
α=-
，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2
sin 23cos +αα化为2
2tan 3tan 1
αα++，代入即可求值. 【详解】
4sin 3cos 0αα+=，
3
tan 4
α∴=-，
则22
222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααα
αααα
++=+
22tan 3
tan 1
α
α+=
+
2
32()3
43()14
⨯-+=-+ 2425
=
. 故答案为：2425
. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.
16．4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图：显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查诱导
解析：4 【分析】
采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数，再结合二次函数图像求解即可 【详解】
22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛
⎫=++=+-=+- ⎪⎝
⎭，令cos t x =
[]11t ,∈-，则原函数等价于()2231f t t t =+-，对称轴为3
4
t =-，画出大致图像，如图：
显然在1t =时取到最大值，()max 4f t =，所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
最大值为4
故答案为：4 【点睛】
本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题
17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题
解析：
2
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02
π
βα<<<
，则02
π
β>->-
，所以02
π
αβ<-<
，所以
sin 7α==
，()
sin 14
αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=--
-
1317147147142
=
⨯-⨯==
⨯.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
18．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系
解析：1
2
【分析】
由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后用正弦的和差公式
展开，然后将条件代入即可求出原式的值 【详解】 因为2tan 3tan
5
π
α=
所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
==⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++-+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222sin
cos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan
5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：1
2
【点睛】
本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.
19．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最
解析：22
122
x y -=.
【分析】
设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】
不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,
由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,
2tan a APF m +∠=
,2tan a
BPF m
-∠=, ∴(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()2
0b m m m
=>,即当m b =时,等号成立,
此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.
点P 的坐标为()2,b ,代入22
221x y a b
-=,
可得a =
b =
∴双曲线的方程为22
122x y -=.
故答案为:22
122
x y -=.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
20．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<
【分析】
根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】
)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622
a =
︒+︒=︒+︒=，
22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c =
=， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
三、解答题
21．（Ⅰ）10
；（Ⅱ）4π．
【分析】
（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】
（Ⅰ）∵02παβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭，，，∴α﹣β∈（2π-
，2
π
），
∵cos 5
α=
，()sin 10αβ-=，
∴sin α5==
，cos （α﹣β）10
==， ∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α
10
=
-=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α cos （α﹣β）+ sinα sin （α﹣β）
2
=
+=
， 又∵02πβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，∴β4
π
=
．
【点睛】
关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.
22．（12）0,2⎡⎢⎣
⎦. 【分析】
（1）利用两角和与差的正、余弦公式、正弦余弦的二倍角公式进行化简代入函数值可得答案；
（2）根据x 的范围可以得到26
x π
-及sin 26x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的范围，再求()f x 的值域可得答案. 【详解】
（1）2
3()2sin cos 3sin cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
31cos 2
sin 222
x x -=
26x π⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭
，
所以，66f ππ⎛⎫==
⎪⎝⎭
（2）因为0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
26x π⎡⎛
⎫-∈⎢
⎪⎝⎭⎣，
()f x
的值域为⎡⎢⎣
⎦. 【点睛】
本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算、基础知识. 23．（1）5
7
-；（2）2.
【分析】
（1）根据题意可知4
tan 3
α=
，利用同角三角函数的诱导公式将原式化简，再给分子分母同除以cos α，得到关于tan α的表达式，代入4
tan 3
α=求值即可； （2）根据,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
及cos()αβ+=求解出()sin αβ+的值，再根据()sin sin βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，将上式展开，代入sin α，cos α，()sin αβ+及
()cos αβ+的值求解sin β的值，从而得出cos β的值.
【详解】
解：（1）由题意得，4
tan 3
α=
， 2sin()cos()2sin cos 3sin cos cos sin 22παααα
ππαααα++--+=+⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12tan 5
tan 17
αα-==-+， （2）若,0,2παβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且cos()αβ+=，4tan 3α=， 则4sin 5
α
，3cos 5α=
，sin()αβ+=，
所以sin sin[()]βαβα=+-
sin()cos sin cos()αβαααβ=+-+，
3455555⎛=⨯--⨯= ⎝⎭
，
cos 5
β=
，故sin tan 2cos βββ==. 【点睛】
本题考查三角函数诱导公式的运用、考查和差角公式的运用，解答的一般思路如下： （1）当已知关于sin α、cos α的齐次式时，可将原式化为关于tan α的表达式求解； （2）当已知角α、αβ±的三角函数值，求解β的三角函数值时，可运用正弦、余弦及正切的和差角公式进行求解.
24．（Ⅰ）()2sin(2)6
f x x π=+（Ⅱ）12
π
α=或4
πα=
【分析】
分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6
f x x π=+， （Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间； （Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果. 【详解】
因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22
T π
π=⨯=， 选择①，则
22π
πω
=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 所以()()2sin 2()1212g x f x x π
πϕ⎡⎤
=-
=-+⎢⎥⎣⎦
2sin(2)6x πϕ=-+， 因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =， 所以2sin()06
π
ϕ-=，所以6
k π
ϕπ-=，k Z ∈，所以6
k π
ϕπ=+
，k Z ∈，
因为||2ϕπ
<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6
f x x π=+， 选择②，
())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6
x π
ω=+，
所以
22π
πω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6
f x x π=+， 选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭
4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭1-
=1
4cos cos 12x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭
2cos 2cos 1x x x ωωω=+-
2cos 2x x ωω=+
2sin 26x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以
22π
πω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6
f x x π=+，
（Ⅰ）由222262k x k πππππ-
+≤+≤+，k Z ∈， 得36k x k π
π
ππ-+≤≤+，k Z ∈，
所以()f x 的单调递增区间为[,]36
ππk πk π-++，k Z ∈.
（Ⅱ）若0,
2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)62πα+=， 因为02πα<<，所以72666πππα<+<， 所以263ππα+
=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=. 【点睛】
关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.
25．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.
【详解】
（1）由题意函数2())2cos 12x f x x ωϕ
ωϕ+=++-
)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭， 因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π，
所以T π=，可得2ω=．
又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+
=± ⎪⎝⎭， 所以62k π
π
ϕπ+=+，k ∈Z ，则3k π
ϕπ=+，k ∈Z ．
因为0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，所以函数()2cos2f x x =，
令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k π
ππ-≤≤，k ∈Z ，
当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x π
π-=-，即12
x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-；
当403x π-=，即12x π
=时，
函数()g x 取得最大值，最大值为2．
所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】
方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间
先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】
（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；
选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．
【详解】
（1）∵函数1cos 1()sin()1226
x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；
（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π
=-++，
令226x k π
ππ+=+，即5()12
x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为
5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-+
+， 令226x k π
ππ+=+，即5()12
x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】
关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。