高中数学第一章导数及其应用阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修2-2(2021学年)

2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修2-2
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第一章导数及其应用
(Ａ卷学业水平达标)
(时间12０分钟,满分150分)
一、选择题（本大题共１0小题,每小题5分,共5０分)
1.下列各式正确的是（)
A.(ｓｉn ａ)′＝ｃｏs a（a为常数）
B．(coｓx)′=ｓｉn ｘ
C.(ｓin x）′＝ｃos ｘ
D.（x-5)′＝－错误!x-6
解析:选C 由导数公式知选项A中（ｓin ａ)′=0；选项B中(cos ｘ)′＝-ｓin x;选项D中(x-5）′＝-5x－6．
2．下列函数中，在(0,＋∞)内为增函数的是（)
A．y＝siｎx B.y＝x e２
Ｃ.ｙ＝x３-x D．y=ln x－ｘ
解析:选Ｂ只有B中y′=e２＞0在(０，＋∞）内恒成立．
3.若曲线y=2x2的一条切线l与直线ｘ＋4ｙ-8＝0垂直,则切线ｌ的方程为（）
A．x+4y+３=０ B.x＋4y-9＝0
C.４x-ｙ+３＝０D．4x-ｙ-2=0
解析:选D 设切点坐标为(x0，y0），y′＝4x，由题意得4ｘ0＝4，解得x0＝１,所以y0＝2，故切线l的方程为y-2＝4（ｘ-１),即４x－y－２＝0。

４．若函数f（x)=错误!ｘ3-ｆ′（1）·x2－x，则f′（１)的值为（）
A.０Ｂ．2
C．1 D．－1
解析:选A ∵f（x)＝＼f（1,3）x３-f′(1)·x2－x，
∴ｆ′（x）＝ｘ２-2f′（1)·x-1,
∴ｆ′(1)=1－2f′（１)－1,
∴f′(1)=０．
５．对任意的x∈R，函数f（x）＝x３+aｘ2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤２1 B．a=0或a=7
C.a〈0或a>21 Ｄ．a=０或a＝２1
解析:选A f′(ｘ）＝3x2+2ax＋7a，当Δ＝4a2－84ａ≤0,即０≤ａ≤2１时，f′（x)≥0恒成立，函数f（ｘ）不存在极值点．
6.已知,对于任意实数x,有f(-x)＝－ｆ（x），ｇ（－x）＝g（x),且x〉0时，f′(ｘ)〉0，ｇ′(x)〉0，则x＜０时,（）
A．f′（x）〉0,g′(x）>0
B．f′(x）〉0，g′(x)<０
Ｃ.ｆ′（x)＜0,g′(x）>0
Ｄ．f′(x）〈0,ｇ′(x)<０
解析:选Ｂf(ｘ）为奇函数且x>0时单调递增,所以x＜０时单调递增，f′(x)〉0；g(x）为偶函数且x〉０时单调递增,所以x＜０时单调递减,g′(x)〈0。

7。

设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x），且函数ｙ＝（１-x)f′(ｘ）的图象如右图所示,则下列结论中一定成立的是( )
Ａ．函数f(x)有极大值f（2)和极小值f(１)
B．函数ｆ(x)有极大值f(－2)和极小值ｆ（1）
C．函数f(x）有极大值f(2)和极小值f(-2)
D．函数f（ｘ)有极大值ｆ(-2)和极小值f(２)
解析：选D 由题图可知，当ｘ<－2时,f′(x)>０;当x=-2时,f′(x)＝0；当－2〈ｘ〈1时，f′(x)〈0;当1〈x〈2时，f′(x）〈0；当x=2时，f′（x）＝0;当x>２时,f′(ｘ)〉0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值．
8．设f（x）=错误!则错误!f(ｘ）dｘ等于（）
A。

＼f（4，3) Ｂ.错误!
C。

错误!Ｄ。

错误!
解析：选A错误!ｆ(x）d x＝错误!ｘ2ｄx＋错误!错误!d x
=错误!ｘ3错误!＋ln x错误!=错误!.
9.
已知函数f(x)=－x３+ax２+bｘ（a，b∈R)的图象如右图所示，它与x轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为错误!，则a的值为( )
A.-１ B．0
Ｃ．１ D.-2
解析:选A 法一:因为ｆ′(x)=-３x２＋2ax+b,函数f(ｘ）的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0,即b＝0,所以f(x）=-x３+aｘ2，令ｆ(x)＝0，得ｘ=0或x＝a(a＜0).因为函数f(ｘ）的图象与x轴所围成区域的面积为错误!,所以错误!(-x3+ax2）dｘ=－错误!,所以错误!错误!＝-1
,所以ａ=－1或a=１(舍去)，故选A.
12
法二:因为f′（x)＝－3x2+2ax＋b,函数f(x)的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即ｂ=0,所以f(x)＝－x3+ａx2。

若a＝0，则f(x)＝-x3，与x轴只有一个交点(0,0),不符合所给的图象，排除B;若a＝１,则f(x)=－x３+ｘ2＝－x２（x－1)，与ｘ轴有两个交点(０，0），（1,0），不符合所给的图象,排除C;若a=－２,则所围成的面积为错误!－2x2)d x=错误!错误!＝错误!≠错误!,排除D,故选Ａ．
10.若函数f（x）=2ｘ2－ln x在其定义域的一个子区间（k-1,k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（)
A。

错误!B．错误!
C。

错误!Ｄ。

错误!
解析:选Ｄ由ｆ(x）＝2x2-ln x可知定义域为(0，＋∞）,所以ｋ-1≥0，ｋ≥1.故排除B、Ｃ两项．又因为ｆ′(x）＝4x-错误!，令f′（x）＝０,得x=错误!或ｘ=－错误!(舍去）,f(x）在错误!上单调递减,在错误!上单调递增.由题意知错误!且ｋ≥1,得1≤k<错误!。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2０分)
11．（陕西高考)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线ｙ=＼ｆ(1，ｘ)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为＿＿____＿_.
解析：y′＝e x，曲线y＝ｅx在点（0，1)处的切线的斜率ｋ1＝ｅ0=1，设P(ｍ,n),y＝
＼f（1，x)(x＞０)的导数为y′＝-错误!(ｘ＞0），曲线ｙ＝错误!(ｘ>０）在点P处的切线斜率k2＝－＼ｆ(1，m2)（m＞0),因为两切线垂直,所以ｋ1ｋ2=－1，所以m=１,ｎ=1,则点P的坐标为（1,1).
答案:（1,1)
１2.函数f（ｘ）=２x２-ｌnｘ的单调递增区间为_＿_＿____.
解析:函数f(x)的定义域为(0,＋∞)，
令f′（x）=4x－＼f(1，x）＝错误!≥0，得ｘ≥错误!.
答案:错误!
13.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t）=２7-０．9t(v的单位：m/s;ｔ的单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为_＿____＿_.
解析：停车时v(ｔ)=0,则27-0．9ｔ=0，∴t=30,
∴s＝∫错误!v（t)d t=∫错误!（27-０.9t)d t
=(2７t-0.4５ｔ２）错误!=4０5(ｍ).
答案：405 m
14.函数f(x)＝x３－3a２x+a(a>０)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．
解析:令f′（ｘ)=３ｘ2－3a2=0，
∴ｘ＝±a.
当f′(ｘ)〉０时,x＞ａ或x<-ａ；
当f′（x)〈0时，-a〈x<a，
所以函数f（x)在（ａ，＋∞),(-∞,-ａ)上为增函数，
在（－ａ,a）上为减函数.
故f（x)极大值＝ｆ（－a)=2a3＋a，
f(x)极小值=f(a)=a-2a3,
∴错误!
答案：错误!
三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤.)
15．(本小题满分12分)已知函数f（x）＝ax2＋bx＋4ln x的极值点为１和2。

（1)求实数ａ,b的值；
（2）求函数f(x）在区间(0,3]上的最大值．
解：（1）ｆ′（x）=2ａx+b+错误!
=错误!,x∈(0，+∞)，
由y=ｆ(x)的极值点为1和２，
∴２ａｘ2＋bx+4=0的两根为1和2，
∴错误!
解得错误!
(2)由(1)得f（x)＝x２-６x＋4lｎx,
∴f′(x)＝２x-６+错误!=错误!
=错误!,x∈(0,3］．
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
∴f(x）max＝f(3)=4lｎ3-9。

1６.（本小题满分12分)若函数f(x）＝aｘ2＋2x-错误!lnｘ在x=1处取得极值. (1）求a的值；
(2）求函数f(x)的单调区间及极值．
解：(１）ｆ′（x)=２ax+2－错误!,
由f′(１)＝2a+错误!=０，得ａ=－错误!。

(2)f(x)=－错误!ｘ2＋2x－错误!ln x(ｘ>０)．
f′(ｘ)＝-错误!x＋２-错误!＝错误!。

由f′(ｘ)＝0,得x＝1或x＝2.
①当f′(ｘ)>0时,1＜x＜2;
②当f′(x)<0时,0＜x<１或x>２。

当x变化时f′(x）,f（x)的变化情况如下表：
!因此
函数的极小值为f(1)＝５
3
,极大值为ｆ(2）＝错误!－错误!ln 2。

17.(本小题满分１2分)已知a∈R，函数f（x）=（-ｘ２+ax)ｅx。

（1）当a=2时,求函数ｆ(x）的单调区间；
(２)若函数f（x）在（－1，１)上单调递增，求实数ａ的取值范围．
解:(1)当a＝2时，f(x）＝(－x2+２x）e x,ｆ′（ｘ)＝(－x2＋2)eｘ。

令f′（x)＞0,即（-x2＋2)ｅx＞0,注意到e x>0,所以－x2+２>0,解得－错误!＜ｘ<错误!，所以函数f（x)的单调递增区间为（-＼ｒ(2),错误!）.同理可得，函数f(x）的单调递减区间为（－∞,－错误!）和（错误!,+∞)．
(2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增，所以f′(ｘ)≥0在（-1,1)上恒成立.
又因为ｆ′(ｘ）=e x,所以e x≥０,注意到e x>０，因此-x2＋(a-2)x+a≥0在(－1，１）上恒成立，也就是a≥错误!=ｘ+１-错误!在(－1,1）上恒成立.
设y＝x＋1－错误!，则y′=1+错误!>０，
即y＝ｘ＋１－错误!在(－1，1)上单调递增,
则ｙ＜1＋１-错误!=错误!,故a≥错误!,
所以实数a的取值范围为错误!。

1８．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln x-错误!.
（1)若ｆ(x)存在最小值且最小值为2，求a的值;
(2)设ｇ(x）=ln x-a,若ｇ（ｘ)<x２在(0,e］上恒成立,求a的取值范围．
解:(1）f′（x)=错误!＋错误!＝错误!(x>0),
当a≥0时，f′(x)＞0,f(ｘ)在(0,＋∞）上是增函数，f（x)不存在最小值.
当a＜0时,由f′（ｘ)＝０，得x＝－ａ，
且0＜x<-ａ时f′（ｘ)＜0，
x>－ａ时f′（x）＞0.
∴x=-a时f（ｘ)取最小值,
ｆ(－a)=ｌn(-a)＋1=2,解得a=－e.
(2）g(x)＜x2，即ln x-ａ＜x2,即ａ＞ln ｘ－ｘ2,
故g（x)<x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x-x2在(0,e］上恒成立.
设h(x)＝ｌn ｘ-x2,则ｈ′(x)＝错误!-2x＝错误!,由h′(x）＝0及０＜x≤e,得x=错误!．
当0＜x<＼f（2）
2时h′(x）＞0，当错误!＜x≤e时ｈ′(x)＜0，即h（x）在错误!上为
增函数,在错误!上为减函数,所以当x＝错误!时ｈ(x）取得最大值为ｈ错误!=lｎ错误!－错误!．所以g(x）<x２在（0，e]上恒成立时，
a的取值范围为错误!.
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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

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ｎg， esｔablｉsｈｏuｒｂelief, keep our pure ｓｐirｉtuaｌwoｒld ａnd resｉst the attａｃｋof the eｘtｅrnal world．。