2.6.2 直角三角形的判定

(2)若∠BAC是钝角，如图②，求证：△CDF是等腰直角 三角形． 证明：同(1)可证△BFD≌△ACD， ∴FD＝CD， ∴△CDF是等腰直角三角形．
又∵∠BOM＋∠AOM＝90°， ∴∠NOM＝∠AON＋∠AOM＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
15．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，垂足为D， BE⊥AC，垂足为E，AD交BE于F，连结CF. (1)若∠BAC是锐角，如图①，求证：△CDF是等腰直角 三角形；
证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝45°. ∴BD＝AD. ∵BE⊥AC，垂足为E，∴∠FBD＋∠ACB＝90°. ∵∠CAD＋∠ACB＝90°，∴∠FBD＝∠CAD. ∵∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴△BFD≌△ACD，∴FD＝CD， ∴△CDF是等腰直角三角形．
浙教版 八年级上
第2章 特殊三角形
第6节 直角三角形 第2课时 直角三角形的判定
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1C
2D
3A
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4 50°或90° 7 证明见习题
5 等腰直角
8
△ABC 是 直 角 三角形
65
பைடு நூலகம்
9 证明见习题
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10 △ACE 是 等 腰 直 角 三角形
答案显示
∵∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠CED＝90°. 又∵AB∥DE， ∴∠BAE＋∠DEA＝180°， ∴∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴△ACE是等腰直角三角形．
11．【 2017·聊城】如图是由8个全等的小长方形组成的大
正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果
点P是某个小长方形的顶点，连结PA，PB，那么使
在△DAF 和△ABE 中， A∠DD＝ABFA＝，∠ABE， AF＝BE， 所以△DAF≌△ABE(SAS)．
(2)试判断△AOD的形状． 解：因为△DAF≌△ABE， 所以∠ADF＝∠BAE. 又因为∠DAF＝90°， 所以∠DAO＋∠BAE＝90°. 所以∠DAO＋∠ADF＝90°. 所以△AOD是直角三角形．
10．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE. 试判断△ACE的形状，并说明理由．
解：△ACE是等腰直角三角形． 理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴AB∥DE，∠B＝∠D＝90°. ∵AB＝CD，BC＝DE，∴△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠ACB＝∠CED.
解：△OMN是等腰直角三角形． 理由：连结OA. ∵在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，O是BC的中点， ∴AO＝BO＝CO，AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∴∠NAO＝∠C＝45°＝∠B.
在△OAN 和△OBM 中，A∠ON＝AOBO＝，∠B， AN＝BM，
∴△OAN≌△OBM(SAS)， ∴ON＝OM，∠AON＝∠BOM.
4．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一 动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝_5_0_°__或__9_0_°_．
等腰直角
6．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上 的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数 是___5_____．
7．在△ABC中，∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝∠B.求证： △ABC是直角三角形．
14 △OMN 是 等 腰 直 角 三角形
11 B
15
(1)见习题 12 (2)△AOD是直角三角形
(1)证明见习题 (2)证明见习题
13 证明见习题
1．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
D
3．如图，已知A，B两点，在平面内找一点C，使△ABC为 等腰直角三角形，这样的点C有( A ) A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
13．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，BC＝2AC. 求证：∠A＝90°.
证明：如图，作 CD 平分∠ACB 交 AB 于 D，取 BC 中点 E， 连结 DE，则∠1＝∠2＝12∠ACB.
∵∠ACB＝2∠B，∴∠1＝∠2＝∠B. ∴DB＝DC. 又∵BE＝EC，∴DE⊥BC， 又∵BC＝2AC，∴CE＝CA.
△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】如图，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数为3. 【答案】B
12．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O. (1)试说明：△DAF≌△ABE；
解：在正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABE＝90°.
CE＝CA， 在△ECD 和△ACD 中，∠1＝∠2，
CD＝CD， ∴△ECD≌△ACD(SAS)．
∴∠A＝∠CED＝90°.
14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点， 如果在AB和AC上分别有一个动点M，N在移动，且在移动 时保持AN＝BM.请你判断△OMN的形状，并说明理由．
证明：∵∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝∠B， ∴2∠C＝3∠B，2∠A＝∠B. ∴∠A:∠B:∠C＝1:2:3. 又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝90°，即△ABC为直角三角形．
8．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂 足为D.若∠1＝∠2，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由如下： ∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°. ∴∠1＋∠A＝90°. 又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形．
9．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC延长线上一点， 且AC＝CD.求证：△ABD是直角三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠BAC＝60°. ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D. ∵∠CAD＋∠D＝∠BCA， ∴2∠CAD＝∠BCA＝60°.∴∠CAD＝30°. ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋30°＝90°. ∴△ABD是直角三角形．