浙江省杭州二中2015届高三仿真考数学理试题-Word版含答案

2015 年浙江省杭州二中高三年级仿真考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页 , 非选择题部分3 至 4 页．满分 150分 , 考试时间120 分钟．
请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上．
参照公式：
柱体的体积公式 V=Sh此中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
1
此中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高锥体的体积公式 V= Sh
3
1
台体的体积公式 V h (S1S1 S2 S2 )此中 S1,S2分别表示台体的上 ,下底面积
3
球的表面积公式 S=4πR2此中 R 表示球的半径， h 表示台体的高
4
πR3此中 R 表示球的半径
球的体积公式 V=
3
第 I 卷（共 40分）
一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的．
1．已知定义域为R 的函数 f ( x)不是奇函数，则以下命题必定为真命题的是（）
A ．x R， f (x) f ( x)B．x R， f (x) f (x)
C．x0R， f (x0 ) f ( x0 )D．x0R， f (x0 ) f ( x0 )
35 ，则a7（）
2．设等差数列{ a n} 的前n 项和为S n， a3a813且
S7
A ．11B． 10C． 9D． 8
3．函数 f (x)Asin( x)（其中A0,)）的图象如下图，为了获得
2
g(x)sin x 的图象，则只需将 f (x) 的图象（）
A ．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
612
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
612
4．设a,b R ，则“a > b”是“a a > b b ”的（）
A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件
x 2 y10
5．若变量x, y知足2 x y0，则点 P(2 x y, x y) 所在地区的面积为（）
x1
3
B.4
C.
1
D.1
A ．
32 4
| log 2 x |,0x2
6．已知函数f (x)
sin(x),2x
，若存在实数 x1，x2，x3，x4，知足 x1 x2 x3 x4，10
4
且 f ( x1 ) f ( x2 ) f (x3 ) f (x4 ) ，则(x
3
2)( x4
2)
的取值范围是（）x1 x2
A ．(4,16)B．(0,12)C．(9,21) D ．(15,25)
7．已知点 P 为双曲线
x2y21(a0,b0) 右支上一点，F
1, F2分别b2
a2
为双曲线的左右焦点，且| F1F2 |b2， I为三角形PF1 F2的心里，若
a
S
IPF1S
IPF2
S
IF1F2建立，则的值为（）
D1C1
122
B．231C．21D．21
A ．
2A1 B 1
8．过正方体 ABCD-A 1B 1C1D1棱 DD 1的中点与直线 BD 1所成角为 40°，且
与平面 AC C 1A1所成角为 50°的直线条数为（）
A ．1B． 2
C．3D．无数
D C
A B
第 II 卷（共 110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，第9 至 12 题每题 6 分，第 13至 15 题每题 4 分，共36 分．
9．设全集为R，会合M{ x R | x24x30},集合 N{ x R | 2x4}, 则
M N； M N； C R(M N).
10．已知
α
π
,
π
β 0,α β3，且
tan
α
3
，则22cos()54
cosα________, sin β_______.
11．在如下图的空间直角坐标系—中，一个四周体的极点坐标分别是(2，0，0) ，(0 ，
O xyz
2， 0) ， (0 ， 0， 2) ， (2 ，2， 2) ．给出编号为① ，② ，③ ，④ 的四个图，则该四周体的正视
图、侧视图和俯视图分别为（填写编号）
，此四周体的体积为 .
① ②
③
④
12．已
知 圆
C : (x cos
)2 ( y
sin )2
2( R) 与直线 l : x cos y sin 1 0(
R) ，则圆
C 的圆心轨迹方程为
，直线 l 与圆 C 的地点关系是 ______．
13．已知点 A(
1 , 1 ) 在抛物线 C : y
2 2 px( p 0) 的准线上，点 M ， N 在抛物线 C 上，且
2 2
位于 x 轴的双侧， O 是坐标原点，若 OM ON
3 ，则点 A 到动直线 MN 的最大距离
为
．
uuur uuur
14．在直径 AB 为 2 的圆上有长度为 1 的动弦 CD ，则 AC BD 的取值范围是
．
15．已知 a, b, c 为非零实数， f (x)
ax
b
, x R ，且 f (2) 2, f (3) 3.若当 x
d 时，
cx d
c
对于随意实数 x ，均有 f ( f ( x)) x ，则 f (x) 值域中取不到的独一的实数是
．
三、解答题：本大题共 5 小题，第 16 至 19 题每题 15 分，第 20 题 14 分，共
74 分．解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16． ABC 中，内角 A, B,C
3 的对边分别是 a, b, c ，已知 a,b, c 成等比数列，且 cos B.
1 1
4
（Ⅰ）求 的值；
tan A tan B
uuur uuur 3 ，求 a c 的值 . （Ⅱ）设 BA BC
2
17．已知四棱锥 P
ABCD 中，底面 ABCD
为
ABC
2
的菱形，
3
PA 平面 ABCD ，点 Q 在直线 PA 上 . （Ⅰ）证明：直线
QC 直线 BD ；
P
Q
D
A
C
M
B
（Ⅱ）若二面角 B QC D 的大小为2
，点M为BC的中点，求直线QM 与 AB 所成角的余3
弦值 .
1
为奇数
，
n
1,a n 1
a n
n, n
18．已知数列 {a } 中， a 1
3
a n
为偶数
3n, n
3 （Ⅰ）求证：数列
{ a 2n
} 是等比数列；
2
（Ⅱ）设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，求知足 S n 0 的全部正整数 n ．
19．如图，中心在座标原点，焦点分别在 x 轴和 y 轴上的椭圆 T 1 ， T 2 都过点 M (0,
2) ，且
椭圆 T 1 与 T 2 的离心率均为
2 . y
2
（Ⅰ）求椭圆 T 1 与椭圆 T 2 的标准方程；
Q
x
O
P
（Ⅱ）过点
M 引两条斜率分别为 k, k 的直线分别交 T 1 T 2 于点 P Q
k 4k
， ， ，当
M
时，问直线 PQ 能否过定点？若过定点，求出定点坐标；若可是定点，请说明原因 .
20．设 f ( x)
x 2
ax 1， g( x)
ax 2 x
a
x 2 ，
（Ⅰ）若 f ( x) b 0 在 [1,2] 上有两个不等实根，求 g(1)
b 的取值范围；
（Ⅱ）若存在 x
[1,2] ，使得对随意的
1
，都有 f ( x ) g (x ) 建立，务实数 a 的取
x 2
[ ,1] 1
1 2
2
值范围 .
参照答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
C
D
B
D
B
二、填空题： 9. (
,1) (2,
)； (3,
) ； (
,3]
10. 4 ；
7 11.③②② ； 8 ；
5
25
3 12. x
2
y
2
1；订交 ;
13. 5 2 ;
14. [
3,1
];
15.
5
2
2
2
2
三、解答题：
16. 解：（Ⅰ）由于 a, b, c 成等比数列，因此 b 2 ac ,
由余弦定理可知：
cos B
a 2
c 2 b 2 a 2
c 2 ac 1 ( c a
1)
2ac
2ac
2 a
c
又 cos B
3 ，因此 sin B 7 ，且 1 ( c a 1)
3
，解得
c
2或
1
.
4
4 2 a c
4
a
2
于是
1 1 cos A cos B sin C a c 8 7或 2
7 .
tan A tan B sin A sin B sin A sin B sin B 7 7 uuur uuur 3 3 ca 2
（Ⅱ）由于 BA BC ,因此 ca cosB ，因此 ，
2 2
又
c
2或 1
，于是 c
a 3 .
a uuur 2
uuur 3
得
ca cos B
3
，由 cos B
3 可得 ca 2 ，即 b 2
2 【另解】由 BA BC
2
2
4
由余弦定理
b 2
a 2
c 2 2ac cos B 得 a 2 c 2 b 2 2ac cos B 5
a c
2
c 2 2ac 5
4 9 ∴ a
c
3 .
a 2
17. （Ⅰ）证明：明显 BD AC ， PA 平面 ABCD ，则 PA
BD ，故 BD
平面PAC ,
QC
平面 PAC ,则直线 QC 直线 BD ；
（Ⅱ）由已知和对称性可知，
二面角 B QC A 的大小为
3 ，设底面 ABCD 的棱长为单位长度
2， AQ x ，设 AC ，BD 交于点 E,则有点 B 到平面 AQC 的距离 BE 为 1，过点 E 做 QC 的
垂线，垂足设为 F ，则有
tan BFE tan
BE 3
，BE=1 ，则 BE=
3 EF
3
，点A 到QC 的距离为
2 3
，则有
3
2 3 x 2 (2 3)2
x 2 3 ，得 x
6 .
3
2
过点 M 作 AB 的平行线交 AD 的中点为 G ，则 GM=2 ， QG
( 6 ) 2
12
10 ，
2
2
AM
2
2
1
2
221
1
7，则 QM
( 6)2
7
2
34 ，
2
2
2
QM 2
GM 2
QG 2
34
4 10
5 34
cos QMG
4
4
2QM GM
34
34
，
2 2
2
即所求的 QM 与 AB 所成角的余弦值为
5 34
34 .
18.
（
Ⅰ
）
证
明
：
a
1) 3
1
a 2 n 1
(2n 1) 3
1
( a 2 n 6n) (2 n 1) 3 1
a 2 n 1
1 ， 2( n
2 3
2
3 2 3
2
3
3
a
2 n
3 a 2n
a 2n
a
2n
3 3 2
2
2
2
因此数列 { a 2 n 3 3
1 1
} 是以 a 2 2
为首项，
为公比的等比数列。

2
6
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
a
2n
3 1 ( 1)n 1 1 ( 1
) n ，则 a 2n 1 ( 1)n 3 ；
2
6 3 2 3
2 3 2
由 a 2n
1
a 2n
1
(2n 1) ，得 a 2n
1
3a 2 n 3(2n 1)
1 ( 1)n 1 6n 15
，
3
1
1
1
1
2 3 2
得： a 2 n 1
a
2n
n 1
n ] 6n 9
n
6n 9 ，
2
[( )
( )
2( )
3
3
3 S
2 n
(a 1
a 2 ) (a 3 a 4 )
(a
2n 1 a 2 n )
2[
1
(1)2 (1)3
(1)n
] 6(1
2 3
n)
9n
3
3
3
3
1 [1 ( 1
) n
] n(n 1)
2 3 3 9n
6 2
1 1
3
( 1 n 1 2 6n 1 n 3(n 1) 2 2
) 3n ( )
3 3
明显，当 n
N 时， {S 2 n } 单一递减，
当 n
1时， S 2
7 0 ， n
2时 S 4
8
2 时， S 2 n 0；
3 0 ，则当 n
9
S
1 S a 3 ( 1)n
5 3n 2 6n ， 2n 2n 2 n
2 3
2
同理可得仅当 n
1 时，
S
2n
1
0 ，
综上，可得知足条件
S n 0 的 n 的值为 1 和 2.
19.解：（Ⅰ）
x 2
y 2
1, y 2
x 2 1；
4
2
2
（Ⅱ）直线 MP 的方程为 y kx 2 ，联立椭圆方程得：
x 2 y 2
1 ，消去 y 得 (2k
2 1)x 2
4
2k
，则点 P 的坐标为
4 2 4 2kx 0 ，则 x P
2 y kx
2
2k
1
P : (
4 2k
,
2
2k 2
1 2 ) 同理可得点 Q 的坐标为：
2k 2 1
2k 2
Q : (
2 2k
, 2k k 2
2 k
2 2
2 2
) ，又 k 4k ，则点 Q 为： (
4
2k , 8 2k 2
2
) ， 2
8k 2 1 8k 2 1
8 2k 2 2 2 2k 2 2
8k 2 1 2k 2 1
1 ，
k PQ
2k
4
2k
2k
4
8k 2 1 2k 2
1
2 2k 则直线 PQ 的方程为： y
2k
2
2
2 1
( x
4 2k
) ，即 1
2k
2k 2 1
2 2k 2 2 1
4 2k
1
y
2k 2
1
2k ( x 2k 2 1 ) ,化简得 y 2k x2 ，
即当 x 0 时， y
2 ，故直线 PQ 过定点 (0,
2) .
方法 2：先证明一个结论：曲线
x 2 y 2 1 上的任一点 T (x 0 , y 0 ) 和曲线上两个对于中心的
a
2
b
2
对称点
P( x , y ),Q( x , y ) （ T 不一样于 P ， Q ）连线的斜率乘积为
b 2
a 2 .
证明： k TP k
TQ y0y y0y y02y 2，点 T ( x0 , y0 ) ，点 P(x , y ) 在曲线
x
2y21 x0x x0x x02x 2a2b2
上，则有： x02y021， x 2y 2 1 ，两式相减得：x
02x 2y
2y 20 ，则
a2b2a2b2 a 2b2
k TP k
TQ
y02y2b2。

x2x2a2
回到此题，设点N (0,2) ，PN与曲线 T2交于点 Q ，则有：
对曲线 T1，则有k PM k
PN
21
，
42
对曲线 T2，则有 k Q M k Q N k
Q M
k
PN
2
k
Q M
k
PN
k
Q M
4 ，又
1
2 ，则
k
PN
4 ，则
k
PM
k
PM
k
4k
QM
PQ过定点N (0, 2).
，则 Q 与 Q 重合，即直线
k k PM
20.解：（Ⅰ）依题意可设： F ( x) f ( x)b x2ax1b
( x x1 )( x x2 ) ，此中 x1x2 , x1, x2[1,2] ,
Q F (2)(2x1 )(2x2 )(2x1 )(2 x2 )(16,9)则 g(1)b2a1b F (2)4(12,5) ；
( f ( x )) max g( x )，对 x 1
（Ⅱ）由题意，问题转变为[ ,1] 恒建立。

2
对函数 g ( x)ax 2x a1
t[1,2] ，x2
，令
x
g( x)ax2x a
h(t)at2t a 则问题转变为：x2
( f ( x))max h(t ), t[1,2] 恒建立.
2a3,a4
明显：
( f (x))max a2
1,4a2
，4
a, a2
（ 1）当a 4 时，
2a 3 at 2 t
a 对 t [1,2] 恒建立，则 a
t 3 对 t [1,2] 恒建立，得
4
t 2
2
a ，得 a 4 ；
3
（ 2）当 4 a
2 时，
a 2 1 at 2 t a 对 t [1,2] 恒建立，则 H (t)
at 2
t a 1
a 2 0 对 t [1,2] 恒
4
4
建立，
对于 t 的二次函数的对称轴在
[ 1 , 1
] 之间，张口向下，则 H (1) 0 ，得 a
0, a 8，
4 8
即得
（ 3）当
4 a 2 ；
a
2 时， a at
2
t a 对 t [1,2] 恒建立，则 a
t 2
t
对 t [1,2] 恒建立，得
2
a
2 2 a
2
，得
；
4
4
综上，得知足题意的 a 的范围是：
2 .
a
4。