专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案

由
2
2k

2x

3 2
2k
(kZ
)，得
4
k

x

3 4
k
(kZ
)；
所以
f
( x) 的单调递增区间是[
4

k
,
4

k ] （
k
Z
）；
单调递减区间是 [4

k
,
3 4
k ] （ k
Z
）．
（Ⅱ）
f
(
A 2
)

sin
A

1 2

0
，sin
2
x
；
当
x (2
, ] 时，
f
(x)

cos
x sin
x


1 2
sin
2x
，故选
C．
7．A【解析】由
2 3 0
sin( x
)dx


cos( x
)
2
|03

1 2
cos

3 2
sin


cos

0
，
得 tan
3
，所以

3

k
(k
Z)
，所以
f
(x)
13．【解析】（1）由正棱柱的定义， CC1 平面 ABCD ，
所以平面 A1ACC1 平面 ABCD ， CC1 AC ．
记玻璃棒的另一端落在 CC1 上点 M 处．
因为 AC 10 7 ， AM 40 ．
所以 MN
402 (10
7 )2
30 ，从而 sin MAC
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（2）如图， O ， O1 是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义， OO1 ⊥平面 EFGH ，
所以平面 E1EGG1 ⊥平面 EFGH ， OO1 ⊥ EG .
同理，平面 E1EGG1 ⊥平面 E1F1G1H1 ， OO1 ⊥ E1G1 .
记玻璃棒的另一端落在 GG1 上点 N 处.

4 5

24 25

(
53)
7 25

3 5
.
记 EN 与水面的交点为 P2 ，过 P2 作 P2Q2 EG ，Q2 为垂足，则 P2Q2 ⊥平面 EFGH ，
故 P2Q2 =12，从而
EP2
=
P2Q2 sin∠NEG

20 .
答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)

a2
c2 ac 2ac

2ac ac 2ac

1 2
a2 c2 2ac （当且仅当 a c 时等号成立）

a
2 c2 2ac
1（当且仅当 a
c 时等号成立）

a2 c2 2ac

1 2
1
1 2

1 2
（当且仅当 a

c
时等号成立）
即
cos
点 P 在 BC 上时，f (x) = BP + AP = tan x + 4 + tan2 x (0 ≤ x ≤ ) ．不难发现 f (x) 4
的图象是非线性，排除 A．
6．C【解析】由题意知，f
(x)
|
cos
x
|
sin
x
，当
x
[0,
2
]
时，f
(
x)

sin
x
cos
x

1 2
sin

8000k (sin
cos

cos
)
，
[0 ,
2
)
．
设
f
( )

sin
cos

cos
，

[0
,
2
)
，
则 f ( ) cos2 sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1) ．
时，
sin(12
t

3
)

1 ；
于是 f (t) 在[0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8.
故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为 8C ，最大温差为 4C
（Ⅱ）依题意，当 f (t) 11时实验室需要降温.
由（Ⅰ）得
f
(t)
10

2sin( 12
t

3

sin( x

3

k
)(k
Z)
，
由正弦函数的性质知
y

sin( x

3

k
)
与
y

sin( x

3
)
的图象的对称轴相同，
令
x

3

k

2
，则
x

k

5 6
(k
Z ) ，所以函数
f
(x)
的图象的对称轴为
x

k

5 6
(k

Z)
，当 k

0
，得
x

5 6
，选
A．
倍数．
3．C【解析】由图象知： ymin 2 ，因为 ymin 3 k ，所以 3 k 2 ，解得： k 5 ，
所以这段时间水深的最大值是 ymax 3 k 3 5 8 ，故选 C． 4．D【解析】对于 A，当 x = 或 5 时， sin 2x 均为 1，而 sin x 与 x2 + x 此时均有两个
A

1 2
，
由题意 A 是锐角，所以
cos A
3． 2
由余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A ，
可得1 3bc b2 c2 2bc
bc 1 2 2 3
3 ，且当 b c 时成立．
bc
sin
A

2
4
3
． ABC
面积最大值为
2
4
过 G 作 GK ⊥ E1G1 ， K 为垂足， 则 GK = OO1 =32.
因为 EG = 14， E1G1 = 62，
所以 KG1 =
62
14 2

24
，从而
GG1

KG12 GK 2
242 322 40 .
设∠EGG1
,∠ENG

,
则 sin

sin( 2
∠KGG1 )
14．【解析】（Ⅰ）由题意
f (x)
1 2
sin
2x

1

cos(2x 2

2
)

1 2
sin
2
x

1 2

1 2
sin
2x

sin
2
x

1 2
．
由
2

2k

2x 2Fra bibliotek2k(k
Z
)，可得
4

k

x

4

k
(k
Z
)；
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tan

1 2
．
11．（1）3；（2） 【解析】（1） y 4

f (x)
cos( x ) ，当

6
，点 P 的坐标为（0，
33 2
）时
cos 6

33 2
,

3；
2
（2）曲线 y

f (x)
cos( x ) 的半周期为
，由图知 AC
2．B【解析】由于
f
(x)

sin2
x

b sin
x

c

1
cos 2x 2

b sin
x

c
．
当 b 0 时， f (x) 的最小正周期为 ；
当 b 0 时， f (x) 的最小正周期 2 ；
c 的变化会引起 f ( x) 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选 B．
注：在函数 f ( x) h( x) g( x) 中， f ( x) 的最小正周期是 h(x) 和 g(x) 的最小正周期的公
44 值，故 A、B 错误；对于 C，当 x =1或 x 1 时， x2 +1 = 2 ，而| x +1| 由两个值，
故 C 错误，选 D．
5．B【解析】由于 f (0) = 2, f (4 ) =1+ 5, f (2 ) = 2 2 < f (4 ) ，故排除选项 C、D；当
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专题四 三角函数与解三角形
第十一讲 三角函数的综合应用
答案部分
1．C【解析】由题意可得 d | cos m sin 2 | | m sin cos 2 |
m2 1
m2 1
|
m2 1(
m sin m2 1
1 m2

1
cos
)

2
|

|
m2 1sin( ) 2 |
则矩形 ABCD 的面积为 2 40 cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，
CDP
的面积为
1 2

2
40
cos
(40

40 sin
)

1600(cos

sin
cos
)
．
过 N 作 GN ⊥ MN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K ，则 GK KN 10 ．
2，

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P
S ABC S

2 2

4
．
12．【解析】(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥ MN ，所以 OH =10．
D MA
P
θ
OH
C
G
EK
BN
过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，则 OE ∥ MN ，所以 COE ， 故 OE 40 cos ， EC 40sin ，

3 4
．
记 AM 与水平的交点为 P1 ，过 P1 作 P1Q1 AC ， Q1 为垂足，
则 P1Q1 平面 ABCD ，故 P1Q1 12 ，
从而
AP1

P1Q1 sin MAC
16 ．
答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm.
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)
3．
15．【解析】（Ⅰ）因为
f (t) 10 2(
3 2
cos
12
t

1 2
sin
12
t
)
10

2
sin( 12
t

3
)
，
又0

t

24
，所以
3

12
t

3

7 3
，
1
sin(12
t

3
)
1，
当
t

2
时， sin(12
t

3
)

1；当 t

14
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sin B sin[ ( A C)] sin( A C)
sin A sin C 2sin A C
（2） a，b，c 成等比数列，b2 2ac
由余弦定理得 cos B
a2
c2 b2 2ac
令
GOK

0
，则 sin0

1 4
，0
(0,
6
)
．
当
[0
,
2
)
时，才能作出满足条件的矩形
ABCD
，
所以
sin

的取值范围是
[
1 4
,1)
．
答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos ) 平方米， CDP 的面积为
1600(cos

sin
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令
f
( )

0 ，得

π 6
，
当

(
0
,
6
)
时，
f ′( )>0 ，所以
f
( ) 为增函数；
当
(6
,
2
)
时，
f ′( )<0 ，所以
f
( ) 为减函数，
因此，当

π 6
时，
f
( ) 取到最大值．
答：当

π 6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
m2 1
m2 1
（其中 cos m ， sin 1 ），∵ 1≤ sin( ) ≤1 ,
m2 1
m2 1
∴ | 2 m2 1 | ≤ d ≤ 2 m2 1 ， 2 m2 1 1 2 ，
m2 1
m2 1
m2 1
m2 1
∴当 m 0 时， d 取得最大值 3，故选 C．
)，
所以10

2
sin( 12
t

3
)

11
，即
sin(12
t

3
)


1 2
，
又0t

24
，因此
7 6

12
t

3

11 6
，即10 t
18 ，
故在 10 时至 18 时实验室需要降温.
16．【解析】（1） a，b，c 成等差数列， a c 2b
由正弦定理得 sin A sin C 2sin B

T 2

2
，
S ABC

1 2
AC

2
，设
A, B 的横坐标分别为 a, b ．设曲线段
ABC
与
x
轴所围成的
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区域的面积为 S 则 S
b f (x)dx
a
f (x)
b a

sin(a ) sin(b )

cos∠KGG1

4 5
.
因为
2


，所以 cos