指数性质及运算知识分享

指数性质及运算
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高一数学衔接教学
指数性质及运算
知识要点: 1.指数概念的扩充 当 n N 时，a n a a a
n 个a
当n Q 时，⑴零指数a 0=1 （a 工0）⑵负整数指数a -=— （a 工0）
a
⑶分数指数a 陰育（a>0, m 、n 为正整数）
①根式
如果有x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数.
当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负 数，用符号“a ”表示.例如&27 3，旷32=—.
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数. 用符号“土a' 表示.例如4 16 = ±2
负数没有偶次方根. 零的任何次方根都是零，用符号n 0=0表示. 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
根据n 次方根的意义，可得（n a ）n =a .例如（5）2=5，（3一2）3=-
但要注意，n a ^不一定等于a.当n 为奇数时，n 了 =a ，例如（3一2）3=- 2 .但当n 为偶数时，如果a 是非负数，则n j =a ，例如（4 3）4=3，但如果a 是负数，贝U 〈'孑=-a
例如 门7 = - £）=3.这就是说， 当n 为奇数时，n
a n
=a ；当n 为偶数时，
a a
分数指数幕
当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数 的指数能被根指数整除一样写成分数指数幕的形式.例如
3
a 2 a"，
4
b 5 b[
我们规定正数的正分数指数幕的意义是 a-
（a>0，m ，n N ，且n>1）
正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，就是规定
⑷(日―b )2 (a<b).
⑵ J ( 10)2 =|-0|=10； ⑷.(a b)2 =|a -b|=b -a(a<b).
1
1
1002
1
2 -1
(10尸 1 .
10，
(a>0, m , n N ，且 n>1)
注:零的正分数次幕是零，零的负分数次幕没有意义.
规定了分数指数幕
的意义以后，指数从整数推广到了有理数.
分数指数的定义揭示了分数
指数幕与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幕的运算 2.幕运算法则
⑴ a m a n =a m+n (m ， n Z); ⑵(a m )n =a m n (m ，n Z); ⑶(ab)n =a n b n (n Z).
注:因为a m T 可以看作a m aj 所以a m ^n =a m -可以归入性质⑴.
例题分析： 例1.求下列各式的值
⑴ 3( 8)3 ；⑵(10)2 ；⑶ 4(3一)4 ；
解：⑴ 3 ( 8)3 = -8；
⑶ 4(3 )4=|3 - |= -3;
例2.求下列各式的值:
例3.计算下列各式
2
丄 1
1
丄 2
丄 上 ⑴(2a 3b 7)( 6a 2b 3) ( 3a 7b^);
⑵(p 7q 和8 . 21
11
丄 2
2
丄 1
丄丄
5
解：⑴(2a 3b 2)( 6a 2b 3) ( 3a^b^) 4a 3
6
b~ 3 6 4ab 0 4a ;
1 3 1 3 2
1 3
、
8
/48/ 8
、8
2 3
P
⑵(p q ) (p ) (q ) p q 3 .
q
例4.计算下列各式
2
c 2
Q 1
c
解：83 (23)3 2 3 22 4 ;
⑵(35
、,12
5)
⑴
a 10a 7
2 5
解：⑴a
'
(2)(3 5 125) 4 5 (53 57) 5习 5^ a 3
2 a a
~1
T
2 10
a
a
7 10
4
5
；
⑶ 3xy 2(. xy)3 .
!■ 1 1 ⑶ 3xy 2( xy)3 3
xy 2(x 2y 2)3
习题： 1.求下列各式的值：
⑴ 4
1004
; 3
xy 2 x 2y 2
5
57 ；
7 1
2. 求下列各式的值:
3. ⑵ 5( 0.1)
1
⑴1217 ；
4)2 ；
1
⑵（訂;
⑷6 (x y)6 (y>x).
3
(3) 10000
力;
计算
1 a 3 7
a 17 ； 1 ⑶(x 3
y 1
⑷ 4a 3b 3
( 3
a 4
2
⑵a
3
3
a 7
2a 3 1 2x^y 4 12
)； 1 1 3b 3) 1 3)(3x _2
y 3)(
"2丄6
⑸(直占)
25r 4
丄
_2
4x 7y 3);
⑺ 4x 4( 3x"y 3) ( 6x 2y 3); 1 1 1
3y 7)(2x ? 3y 4).
1
⑻(2x 2 4.计算 2
W 1253 (丄)2 2
1 1
3433 (寺)3 ；
(2)(铲(5.6)0
2 1
(2芳)3 0.125 2 ;
4 3 2
⑶(41.5) 3 160.25[(0.0081) 4]° (2._2尸 2 4；
1 _
2 2
⑷(6” 2( .3)0 (3|) 30.125 3( 1) 1 ( 1)3；
11 1 1
⑸a^ a M-; ⑹(a2乞+a-) -fa2-「2).
a2b2a2b2
5.已知a2x= .2+1，求a：a：x的值.
a a
1 , 1 , 1 石一6 .求下面等式中的x的值七T 一、2
x 3x 31 x 31 x 31。