数学人教B全国通用版必修一学案:第2章 2.1 2.1.3 函数的单调性 Word版含答案

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2.1.3函数的单调性
学习目标:1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义.(重点)2.掌握定义法判断函数单调性的步骤.(重点)3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法).(难点)
[自主预习·探新知]
1.增、减函数的概念
2.函数的单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).
思考:如何正确理解函数单调性的概念?
[提示](1)定义中“区间M⊆A”及“在这个区间M上”说明了:函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是函数的整个定义域也可以是定义域的某个子集.
(2)定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性,即“任意取x1,x2”,所以,在证明单调性时“任意”二字不能丢掉,更不可随意以两个特殊值替换;二是有
大小,通常规定x 1<x 2;三是同属于一个单调区间.
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系实现正逆互推,即由f (x )是减(增)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1>x 2(x 1<x 2).
[基础自测]
1.思考辨析
(1)已知f (x )=1x ,因为f (-1)<f (2),所以函数f (x )是增函数.( )
(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1、x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”.( )
(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数.( )
[解析] (1)×.由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数值也越大,而不是个别的自变量.
(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”.
(3)×.反例:f (x )=⎩⎨⎧ x 2,x ∈(1,2],
12x ,x ∈(2,3).
[答案] (1)× (2)× (3)× 2.设函数f (x )=(4m +1)x +n 是R 上的减函数,则有( )
A .m ≥14
B .m ≤-14
C .m >-14
D .m <-14
D [∵f (x )在R 上为减函数,
∴4m +1<0,即m <-14.]
3.函数f (x )=1x 的减区间为( )
A .(-∞,+∞)
B .(-∞,0)∪(0,+∞)
C .(0,+∞)
D .(-∞,0)和(0,+∞)
D [画出反比例函数y =1x 的图象,由图象可知其减区间为:(-∞,0)和(0,
+∞).]
4.函数f (x )=x 2-2x +3的单调减区间是________.
(-∞,1) [因为f (x )=x 2-2x +3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x =1,所以函数f (x )的单调减区间是(-∞,1).]
[合 作 探 究·攻 重 难]
是减函数.
(1)f (x )=-1x ;
(2)f (x )=⎩⎨⎧ 2x +1(x ≥1),5-x (x <1);
(3)f (x )=-x 2+2|x |+3.
[思路探究] (1)根据反比例函数的单调性求解;(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间;(3)做出函数的图象求其单调区间.
[解] (1)函数f (x )=-1x 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),
(0,+∞)上都是增函数.
(2)当x ≥1时,f (x )是增函数,当x <1时,f (x )是减函数,所以f (x )的单调区间为(-∞,1),(1,+∞),并且函数f (x )在(-∞,1)上是减函
数,在(1,+∞)上是增函数.
(3)因为f (x )=-x 2+2|x |+3=⎩⎪⎨⎪⎧
-x 2+2x +3,x ≥0,-x 2-2x +3,x <0.
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
函数f (x )的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞).
f (x )在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.
[规律方法] 1.求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象,如本例(3).
2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).
[跟踪训练]
1.若f (x )=⎩⎨⎧
(x -1)2,x ≥0,x +1,x <0,则f (x )的单调增区间是________,单调减区间是________.
(-∞,0],[1,+∞) [0,1] [作出函数f (x )的图象(图略),利用图象易写出它的增区间和减区间.]
A .f (x )=3-x
B .f (x )=(x -1)2
C .f (x )=1x
D .f (x )=x 2+2x
(2)用定义法证明函数f (x )=x 2
x 2-1
在区间(0,1)上是减函数. [思路探究] (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断.
(2)利用函数单调性的定义,取值,作差,变形,定号,下结论,即可证得.
[解] (1)对于A :f (x )在R 上递减,不合题意;对于B :f (x )的对称轴是x =1,
在(0,1)上递减,不合题意;对于C:f(x)在(0,+∞)上递减,不合题意;对于D:f(x)的对称轴是x=-1,开口向上,在(0,+∞)上递增,符合题意,故选D.
[答案] D
(2)设x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
x21
x21-1

x22
x22-1

x22-x21
(x21-1)(x22-1)

(x2-x1)(x2+x1)
(x1-1)(x1+1)(x2-1)(x2+1)

∵x1<x2,∴x2-x1>0,∵x1,x2∈(0,1),∴x1+1>0,x2+1>0,x1-1<0,x2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以,函数f(x)=
x2
x2-1
在区间(0,1)上是减函数.
[规律方法]判断函数单调性的常用方法
(1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法.
(2)图象法.根据函数图象的升、降情况进行判断.
(3)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.同时还要注意以下结论:
①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
②函数f(x)恒为正或恒为负时,函数y=
1
f(x)
与y=f(x)的单调性相反.
③在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数等. [跟踪训练]
2.已知函数f(x)=1
a-
1
x,用单调性定义证明f(x)在(0,+∞)上是单调递增函
数.
[证明] 设任意x 2>x 1>0,则x 2-x 1>0,x 1x 2>0,
∵f (x 2)-f (x 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2
>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数.
[探究问题]
1.根据函数单调性的定义,若函数f (x )是其定义域上的增函数,
那么当自变量x 越大,函数值是越大还是越小?如果函数f (x )是减函
数呢?
提示:若函数f (x )是其定义域上的增函数,那么当自变量x 越大,函数值就越大;若函数f (x )是其定义域上的减函数,那么当自变量x 越大,函数值就越小.
2.若函数f (x )=ax 2-4ax +3,显然其图象的对称轴为x =2,那么f (4)>f (3)一定成立吗?
提示:不一定.如果函数f (x )是图象开口向上的二次函数,则f (x )在(-∞,
2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则f (4)>f (3);如果函数f (x )是图象开口向下的二次函数,则f (x )在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f (4)<f (3).
3.若函数f (x )=x 2-2ax +3在(2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是什么?
提示:因为函数f (x )=x 2-2ax +3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x =a ,所以其单调增区间为(a ,+∞),由题意可得(2,+∞)⊆(a ,+∞),所以a ≤2. (1)f (x )为(-∞,+∞)上的减函数,a ∈R ,则( )
A .f (a )<f (2a )
B .f (a 2)<f (a )
C .f (a 2+1)<f (a )
D .f (a 2+a )<f (a )
(2)已知函数f (x )=x -a x +a 2在(1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围.
[思路探究] (1)先比较题中变量的大小关系,再利用减函数中大自变量对应小函数值,小自变量对应大函数值来找答案即可.
(2)由函数的单调性求参数a 的取值范围⇒函数单调性的定义.
[解] (1)因为a ∈R ,所以a -2a =-a 与0的大小关系不定,没法比较f (a )与f (2a )的大小,故A 错;而a 2-a =a (a -1)与0的大小关系也不定,也无法比
较f (a 2)与f (a )的大小,故B 错;又因为a 2
+1-a =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+34>0,所以a 2+1>a .又f (x )为(-∞,+∞)上的减函数,故有f (a 2+1)<f (a ),故C 对;易知D 错.故选C.
[答案] C
(2)设1<x 1<x 2,则x 1x 2>1,因为f (x )在(1,+∞)上是增函数,
所以f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1
+a 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+a x 1x 2<0. 因为x 1-x 2<0,所以1+a x 1x 2
>0,即a >-x 1x 2. 因为1<x 1<x 2,x 1x 2>1,所以-x 1x 2<-1,所以a ≥-1.
故a 的取值范围是[-1,+∞).
母题探究:1.(变条件)将例3(2)改为f (x )在[1,+∞)上是增函数,且f (2m )>f (m -9),求实数m 的取值范围.
[解] 因为f (x )在[1,+∞)上是增函数,又f (2m )>f (m -9),所以
⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≥1,m -9≥1,
2m >m -9,即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥12,m ≥10,m >-9.
解得m ≥10,
所以实数m 的取值范围为[10,+∞).
2.(变条件)将例3(2)改为在定义域(0,1)上是减函数,求实数a 的取值范围.
[解] 设0<x 1<x 2<1,则0<x 1x 2<1.
因为f (x )在(0,1)上是减函数.
所以f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1
+a 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+a x 1x 2>0. 因为x 1-x 2<0,所以1+a x 1x 2
<0,即a <-x 1x 2. 因为0<x 1<x 2<1,0<x 1x 2<1,所以-1<-x 1x 2<0.所以a ≤-1,故a 的取值范围为(-∞,-1].
[规律方法] 1.已知函数的单调性比较函数值的大小,首先要确定自变量的大小,并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内,然后利用函数的单调性确定函数值的大小.
2.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
(2)依据常见函数的单调性,如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解.
(3)要注意:“函数f(x)的增区间是(a,b)”与“函数f(x)在区间(a,b)上单调递增”是不同的,后者意味着区间(a,b)是函数f(x)的增区间的一个子集.
[当堂达标·固双基]
1.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,那么对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中不正确的是()
A.f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.若x1<x2,则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
D.x1-x2
f(x1)-f(x2)
>0
C[因为f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同,故A,B,D都正确,而C中应为若x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).]
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调减区间是()
A.(-∞,1)B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
B[易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x =1,所以其单调减区间是(1,+∞).]
3.若x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,函数f(x)=-1
x,则f(x1)与f(x2)的大小关
系是()
A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.以上都有可能
B[∵函数f(x)=-1
x在(-∞,0)上是增函数,又∵x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,
∴f(x1)<f(x2).]
4.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围为________.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫-∞,32 [∵f (x )是定义在R 上的增函数, 又∵f (x -2)<f (1-x ),
∴x -2<1-x ,∴x <32,
即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫-∞,32.] 5.证明函数f (x )=x +1x 在(-1,0)上是减函数.
[证明] 设-1<x 1<x 2<0,则有f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1-⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2+1x 2=(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1-1x 2=(x 1-x 2)·x 1x 2-1x 1x 2, 由于-1<x 1<x 2<0,0<x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,又x 1x 2>0,x 1-x 2<0, 则f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),
所以函数在(-1,0)上为减函数.。

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