湖北省八校高三年级联考试题(文科)

湖北省八校高三年级第一次联考数学试题(文科)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）
1、cos 75cos165︒⋅︒=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
4
D ．23
-
2、函数sin cos y x x =+的最小正周期是（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
3、首项系数为1的二次函数()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，则（ ）
A ．()()20f f >
B ．()()20f f <
C ．()()22f f >-
D ．()()22f f <-
4、已知定义在[]1,1-上的函数()y f x =的值域为[]0,2-，则函数(cos )f x 的值域为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]1,3--
C ．[]0,2-
D ．无法确定
5、函数2
()3
1(0)2x m y e m π
--
=
⋅>的部分图像大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02
ax b
x +>-的解集为（
）
A ．()2,1-
B ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞
C ．（1，2）
D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞
7、若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=
，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不对
8、若平面α与平面β相交，直线m α⊥，则（
）
A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直。

B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直。

C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直。

D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直。

9、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
13n n S a =-，则其各项和S （ ）
A ．1
B ．
3
2
C ．
53
D ．23
10 ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．90︒
D ．120︒
11、P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，12,F F 分别是其左、右焦点，
且焦距为2c ，则12PF F ∆的内切圆圆心的横坐标为：
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a b c +-
12、如图所示，在正方体''''ABCD A B C D -的侧面'AB 内有一动点P 到直线AB 与直线''B C 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）
13、若指数函数()()x f x a x R =∈的部分对应值如下表：
则不等式1(1)0f x --<的解集为 。

14、(4,3),1a b =-=
，且5a b ⋅= ，则向量b = 。

15、已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是 。

16、若在所给条件下，数列{}n a 的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上 。

①{}n a 是等差数列，12,S a S b ==（这里n S 是{}n a 的前n 项和，b a ,为实常数，下同）
②{}n a 是等差数列，110,S a S b == ③{}n a 是等比数列，12,S a S b == ④{}n a 是等比数列，13,S a a b ==
⑤{}n a 满足c a N n b a a a a a n n n n =∈+=+=-++11212222*),(,,
三、解答题（本大题6个小题，共74分，请写出必要的文字说明、推理过程或计算
步骤）
17、（本小题满分12分）已知三点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3）， C （ααsin ,cos ），.,4Z k k ∈≠
πα若α
α
αtan 12cos 2sin 1,1+-+-=⋅求的值.
18、（本小题满分12分）已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，n S 是其前n 项和，
且7104,,S S S 成等差数列。

（1）求证：582,,a a a 也成等差数列。

（2）判断以582,,a a a 为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{a n }中的一项？
若是，求出这一项；若不是，请说明理由。

19、（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD 。

（1）求证：AD ⊥平面PBA ；
（2）若面PDA 与面ABCD 成60︒二面角，求该四棱锥的体积；
（3）在四棱锥P ABCD -的高PB 的长度变化时，试探讨二面角A PD C --的度数与90︒的大小关系。

20、（本小题满分12分）2003年10月15日，我国的“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步。

火箭的
起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和。

在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：
2ln 4)]2()[ln(+-+=m n x m k y （其中0≠k ）。

当燃料重量为m e )1(-吨（e 为自然对数的底数， 71828.2=e ）时，该火箭的最大速度为)(4s km 。

（1）求“长征”二号系列火箭的最大速度)(s km y 与燃料重量x 吨之间的函数关系式)(x f y =；
（2）已知“长征”二号F 型火箭的起飞重量是8.479吨，则应装载多少吨燃料（精确到1.0吨）才能使该火箭的最大飞行速度达到s km 8，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
21、（本小题满分12分）设G 、M 分别为不等边ABC ∆的重心与外心，
)0,1(),0,1(B A -，且//。

（1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与曲线E 交于P 、Q 两点，且满足
0=⋅OQ OP ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

22、（本小题满分14分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：
①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；
②存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ； 那么把))((D x x f y ∈=叫闭函数。

（1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ； （2）判断函数)(1
43)(+∈+=R x x
x x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++
=x k y 是闭函数，求实数k 的范围？
答 案
1．B
2．D
3．C
4．C
5．C
6．B
7．A 8．C 9．A 10．C 11．A 12．C
13．)2,1( 14．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53,54
15．[2
1,34-
] 16．①②③
17．解：由()(),3sin ,cos ,sin ,3cos -=-=ααααBC AC ,1-=⋅BC AC 得 .1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα
.3
2
cos sin =+∴αα ①
又
.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12cos 2sin 12ααα
α
ααααα=+
+=+-+ 由①式两边平方得,94cos sin 21=
+αα.9
5cos sin 2-=αα .9
5
tan 12sin sin 22-=++∴ααα
18、证明：（1）由7104,,S S S 成等差数列，得10742S S S =+。

当1=q 时，110171410,7,4a S a S a S ===，由01≠a ，得10742S S S ≠+，所以
1≠q 。

由公式,1)1(1q q a S n n --=得=--+--q q a q q a 1)1(1)1(7141q
q a --1)1(2
101， 整理，得 10742q q q =+，由0≠q ，得6
321q q =+。

(
)(),222187
1
6
1
3
14
1152a q
a q q a q
q a q a q a a a ===+=+=+∴
582,,a a a ∴成等差数列。

（2）由6
321q q =+，得2
13
-
=q 。

设以582,,a a a 为前三项的等差数列的第四项是数列{a n }中的第k 项，则必有
,285a a a a k -=-
即 q a q a q a q a k 1714111-=--，
整理，得 641254521,453
22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴-=--k k q 。

因为k 是正整数，上式不可能成立，所以以582,,a a a 为前三项的等差数列的第四项不是数列{a n }中的一项。

19、解：（1） PB ⊥面ABCD ，∴AD PB ⊥。

又AD BA ⊥，∴ AD ⊥面PBA 。

（2）由（1）知PAB ∠即为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，故60PAB ∠=︒
3133
ABCD V S PB a ∴=⋅= （3）在面PCD 内过C 作CE PD ⊥垂足为E ，连AE ，
则 ,PCD PAD CDE ADE ∆≅∆∆≅∆，
故 EA PD ⊥。

从而CEA ∠即为二面角A PD C --的平面角。

CD PC ⊥ ，PC PD ∴<，PC CD aPC CE PD PD
⋅== 2222
22
2cos 02CE AC PC PD CEA CE PC --∴∠==< 故90CEA ∠>︒。

20、解：（1）依题意把4,)1(=-=y m e x 代入函数关系式
2ln 4)]2ln()[ln(+-+=m x m k y ，
解得 8=k 。

所以所求的函数关系式为 2ln 4)]2ln()[ln(8+-+=m x m y ，
整理得 8)l n (m
x m y +=。

（2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，8,8.479
=-=y x m 代入函数关系
式 8)ln(m x m y +=，得,18.4798.479ln =-x
解得 )(3.303t x =。

21、解：（1）设),(y x C ，则)3
,3(y x G ，其中0≠⋅y x ，设外心),0(m M ，由于//，故3
y m =.由MC MA =，得 222)3
(1)3()0(y y y x +=-+-, 整理得轨迹E 的方程是 )0(3322≠=+xy y x .
（2）假设存在直线l 满足题设条件，由题设知l 的方程为1+=kx y ，代入3322=+y x ，化简得022)3(22=-++kx x k ，则有0)3(8422>++=∆k k 。

设)1,(),1,(2211++kx x Q kx x P ，则
3
2221+-=
+k k x x ① 32221+-=k x x ② 由0=⋅，得 0)1)(1(2121=+++x x kx kx
即 01)()1(21212=++++x x k x x k
结合①②得 132=k ，3
3±=∴k 。

故存在直线l ：13
3+±=x y ，使得0=⋅ 22、解：（1）由题意，3x y -=在],[b a 上递减，则
⎪⎩
⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33
解得⎩⎨⎧=-=.1,1b a 所以，所求的区间为[-1，1]
（2）当0〉x 时，x x x f 143)(+=314
32=⨯≥ 32
=∴x 时，3)(min =x f 。

所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间],[b a ，在区间],[b a 上，函数)(x f 的值域为],[b a ，即 2++=a k a
2++=b k b
b a ,∴为方程(*)2++=x k x 的两个实数根，
即方程),2(02)12(22k x x k x k x ≥-≥=-++-有两个不等的实根，
当2-≤k 时，有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆,22
12,02,0k f 解得 249-≤<-k 。

当2->k 时，有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆,2
12,0,0k k k f 此不等式组无解。

综上所述，]2,4
9(--∈k 。