专题3 等比数列概念及其求和公式的应用-2019年高考数学考点讲解与真题分析含答案

专题3 等比数列概念及其求和公式的应用
【目标要求】
【核心知识点】
1、等比数列的判定方法： （1）根据定义，即寻求
q a a n
n =+1
（q 为不为0的常数）
； （2）根据等比中项，即判断=+2
1n a 2+⋅n n a a 成立（0≠n a ）；
（3）根据通项，若通项n a 能表示成=n a )0,0(≠≠q c cq n
的形式，则数列}{n a 为等 比数列。

(4)据前n 项和，若1na S n =（01≠a ）或)1(-=n n q a S ).1,0,0(≠≠≠q q a 的 形式，则数列}{n a 为等比数列。

2. 等比数列的基本性质
（1）如果m ，n 为正整数，那么m n m n q a a -=（q 为公比）。

（2）一般地，如果l k n m ,,,为正整数，且l k n m +=+，则有l k n m a a a a ⋅=⋅，特别地，当k n m 2=+时，
.2k n m a a a =⋅
（3）在等比数列}{n a 中，每隔k 项（*
∈N k ）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

（4）如果}{n a ，}{n b 均为等比数列，且公比分别为21,q q ，那么数列}{},1
{
n n
ka a )0,(≠∈k R k ，}{n n b a ⋅，}{
n n a b 仍是等比数列，且公比分别为11
q ，1q ，21,q q ，.1
2q q
（5）①如果，1,01>>q a ，那么等比数列}{n a 是递增数列； ②如果10,01<<<q a ，那么等比数列}{n a 是递增数列； ③如果10,01<<>q a ，那么等比数列}{n a 是递减数列； ④如果1,01><q a ，那么等比数列}{n a 是递减数列。

3、等比数列的计算常常用到三个公式：=a 1
-n q
a ，)1(1)
1(1≠--=q q
q a S n n ，
)1(11≠--=q q
q a a S n
n n .这三个公式中每个公式都是含有四个基本量的等式，已知三个可以求出第四个，这
一思想就是方程思想。

三个公式综合起来有五个量1a ，n a ，n ，q ，n S ，
综合运用这些公式，只要知道五个量的任意三个就能求出其余两个，所以等比数列问题的计算过程是一个列方程、解方程的过程。

应用公式求和时，应注意到公式的使用条件，当q ＝1时，应按常数列求和，即1na S n =；当1≠q 时，
q
q a S n n --=
1)
1(1n q q a --=11q a -+11，该式是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为
相反数。

由此可以根据前n 项和公式判断一个数列是否为等比数列，即非常数列}{n a 为等比数列
⇔a aq S n n -=).1,0,0,1(11
≠≠≠--
=q q a q
a a ，应用上述结论时，一定不要忽视条件，否则易出错。

若数列}{n a 为等比数列，且n S 0≠，则n S ，n S 2－n S ，n S 3－n S 2，…仍成等比数列，且公比为.n q 当
公比1≠q 时，m n S S ＝.11m
n
q
q -- 4.等比数列前n 项和的推导方法及应用:等比数列的前n 项和公式是用“错位相减法”推导的，这是一种常用的求和方法。

实际上，如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用“错位相减法”。

【活动思考，阅读拓展】
解决等比数列问题有哪些基本方法？
答：（1）注意与等差数列对比，会用类比思想解决问题．
（2）等比数列的前n 项和公式及通项公式涉及到五个量：1n n a q n a S ，，，，，已知其中任意三个，可通过列方程（组）求出另外两个．
（3）注意灵活设未知数．例如：三个数成等比数列，可设这三数为a
a aq q
，，；四个正数或负数成等比
数列，可设这四个数为
33
a a
aq aq q q
，，，；
（4）巧妙利用等比中项的性质：(0)a G b ab >，，成等比数列，则2G ab =或G =；但要注意，两个正数或两个负数的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项．
（5）在求等比数列的和时，当1q =，易得1n S na =；当1q ≠时，该式是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为相反数。

【真题展示】
（2018•新课标Ⅰ,14）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ． 【答案】-63
（2018•河南信高三二模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（）
A．4n﹣1B．4n﹣1 C．2n﹣1D．2n﹣1
【答案】D
【解析】∵等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，
∴两式相除可得公比q=，∴a 1=2，∴a n ==，S n ==4（1﹣），∴=2n
﹣1，
故选：D ．
考法二：等比数列的性质
（2018•辽宁大连高三二模）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=﹣1，S 4=﹣5，则
S 6=（ ）
A ．﹣9
B ．﹣21
C ．﹣25
D ．﹣63 【答案】B
【方法归纳】等比数列的性质包含：
性质一．若m ＋n ＝k ＋l (m 、n 、k 、l ∈N *)， 则a m •a n ＝a k •a l ；特别地，当m ＋n ＝2k ，则a m •a n ＝a k 2
． 性质二：公比为q 的等比数列，从任意项i a 开始，依次选取i a ，i k a +，2i k a +，…，则这些项组成的数列也是等比数列，且公比为*
()k q i k ∈N ，．
性质三已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，则n n S Aq A =-（关于n 的指数式）； 性质四.已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S ∙∈--成等比数列。

【考法微炼】（2018•云南玉溪高三模拟）已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3、S 9、S 6成等差数列，则q 3
等于（ ） A ．﹣ B ．1 C ．﹣或1 D ．﹣1或
【答案】A
【解析】若S 3、S 9、S 6成等差数列， 则S 3+S 6=2S 9， 若公比q=1，
则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，
考法三：等比数列的证明【真题印证】
【解析】
（2018•陕西榆林高三三模）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n．（1）证明{a n+1﹣2a n}为等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式．
证明：（1）：∵S n=2a n﹣2n，①
∴S n+1=2a n+1﹣2n+1，②，
由②﹣①可得a n+1=2a n+1﹣2a n ﹣2n
，
∴a n+1﹣2a n =2n
，∵数列{2n
}为等比数列，∴{a n+1﹣2a n }为等比数列，
【重难点突破】
考点一：五个基本量的有关计算
等比数列的计算问题涉及五个元素：首项1a 、公比q 、通项a n 、项数n 、前n 项和n s ，在这五个量中，1a 与q 是确定等比数列的两个基本元素，主要把它们求出来其余的元素便可以求出，但是有时候所需要的运算量比较大，需要具体题目解题分析，去寻找较为简捷的方法。

例1已知}{n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1， 且a 4与2a 7的等差中项为5/4，则S 5= A ．35 B.33 C.31 D.29
【命题立意】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用及等差中项的概念，考查学生的运算能力和方程组的思想. 【答案】C
【解析】231136112522a q a a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩3133
12
5(12)2
a q a q q ⎧=⎪⇒⎨+=⎪⎩ 两式相除后可解得11,162q a ==，所以，5
5116[1()]2311
12
S -==-
考点二：等比数列的性质的应用
由于数列是必考内容，所以，在历年的高考试卷中，利用其有关性质求解出一些基本量（n ，d ，n a ，)n S ，则问题将会非常方便。

如在等比数列中，若q p n m +=+，有q p n m a a a a =．是常考知识点。

例2设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是
A 、2X Z Y +=
B 、()()Y Y X Z Z X -=-
C 、2
Y XZ =
D 、()()Y Y X X Z X -=-
【答案】D
考点三：等比数列的判断与证明
判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零；然后，注意运用下列方法来判定即可。

（1）定义法：即验证
q a a n
n =+1
（常数）是否成立，但应注意是从第2项起所有项都满足此等式。

（2）等比中项法：三个非零实数a 、A 、b ，满足ab A =2
，则a 、A 、b 成等比数列，A 叫做a 、b 的等比中项。

（3）等比数列通项公式法：等比数列}{n a 的通项公式为11-=n n q a a （q 为不等于0的常数）；反之，如果数列}{n a 的通项公式为11-=n n q a a （q 为不等于0的常数，且01≠a ），则数列}{n a 是等比数列。

例3在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *
N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
【解析】（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，
65618a a =+=。

考点四：范围、最值问题
由于数列是特殊的函数，所以通过研究数列的单调性求解最值是常考知识点，构造数列利用函数的单调性，则思路就变得清晰，这是应用函数理论的最高境界.另外数列与不等式交汇也是命题热点，常常与基本不等式、解不等式交汇考查。

例4设{a n }是等比数列，
公比q =
S n 为{a n }的前n 项和。

记*21
17,.n n
n n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }
的最大项，则0n = 。

【答案】4
【解析】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用、均值不等式求最值等基础知识。

因为
211*1(1)(1)1711,n n n n a q a q q q T n N a q -----=∈=
217(1)(1)(1)n n
n
q q q q ----， 设n
q t =，则有n T
2
2
-+
≤-+
=
=，即4t =，所以当0n T 为数列{n T }的最大项
时，0n =4。

【课堂巩固，夯实基础】 一．选择题
1.已知等比数列}{n a ，且0>n a ，252645342=++a a a a a a ，那么53a a +等于（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、20 【答案】
A
2.已知数列}{n a 满足12,311-==+n n a a a ，那么数列}1{-n a 是（ ） A 、等差数列 B 、等比数列 C 、既是等差数列又是等比数列 D 、不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
【解析】由条件得)1(22211-=-=-+n n n a a a ，所以数列}1{-n a 是以2为首项，2为公比的等比数列。

3. 在等比数列}{n a 中，若243119753=a a a a a ，则11
2
9a a
的值为（ ）
A 、9
B 、1
C 、2
D 、3 【答案】D
【解析】由等比数列性质可知243
5
7119753==a a a a a a ，所以得37=a ，又11
2
9a a 711117a a a a =⋅=，故选D. 4.若等比数列}{n a 对一切正整数n 都有12-=n n a S ，其中n S 是}{n a 的前n 项和，则公比q 的值为（ ） A 、
21 B 、－2
1
C 、2
D 、－2 【答案】C
【解析】当n ＝1时，1211-=a S ，得11=a ；当n ＝2时，1212-=+a a n ，得.22=a 于是2,212===q q a a ，故选C.
5.已知各项均为正数得等比数列}{n a 中，,6)lg(1383=a a a 则151.a a 得值为（ ） A 、10000 B 、1000 C 、100 D 、10 【答案】A
【解析】根据等比数列的性质得：2
8133a a a =，所以,1063
8=a 所以1008=a ， 又151.a a ＝100002
8=a 。

6.已知等比数列}{n a 的公比q<0，其前n 项的和为n S ，则89S a 和98S a 的大小关系是（ ） A 、89S a >98S a B 、89S a <98S a C 、89S a ≥98S a D 、89S a ≤98S a 【答案】A
【解析】作差得89S a －98S a q q a a --=1)1(819q q a a ---1)1(918q
q q q a a -+--=
1)
1(9918 72181q a a a -=-=，因为0,021<>q a ，所以0721>-q a ，即89S a >98S a ，故选A.
答案：A
7.设}{n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）}{2
n a 一定是等比数列；（2）}{1++n n a a 一定是等比数列；（3）}1
{
n
a 一定是等比数列；
（4）|}|{lg n a 一定是等比数列，其中正确命题的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】B
8.已知n a {}为等差数列，}{n b 为等比数列，其公比1≠q ，且),,3,2,1(0n i b i =>，若11b a =，1111b a =，则（ ）
A 、66b a =
B 、66b a >
C 、66b a <
D 66b a >或66b a < 【答案】B
【解析】 由0>i b ，得01>a ，0>q ，由1111b a =得10
1110q a d a =+，所以，10
1
101a q a d -=，所以，
66b a -＝0)12(2
1051015111011>+-=--+
q q a
q a a q a a ， 所以， 66b a > 二．填空题
9.设等比数列{}n a 的公比为1
2
q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．
【答案】15；
【解析】()23
23
1433
411115a q q q S q q q a a q q ++++++===．
10.）设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ． 【答案】2,63；
【解析】3
412a a q q =⇒=；661(12)
6312
S ⨯-==-．
11.在等比数列中，若14321=⋅⋅⋅a a a a ，816151413=⋅⋅⋅a a a a ， 则44434241a a a a ⋅⋅⋅＝_______. 【答案】1024
【解析】由等比数列的性质可知，连续四项的积仍为等比数列，设公比为q ，设
143211=⋅⋅⋅=a a a a T ，8161514134=⋅⋅⋅=a a a a T ，因为314q T T ⋅=，所以q ＝2，
所以=11T 44434241a a a a ⋅⋅⋅1024210101==⋅=q T ，故答案为1024.
12.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = 【答案】：
15
2。

【解析】由216n n n a a a +++=得：11
6-+=+n n n q q q
，即062=-+q q ，0q >，解得：q ＝2，又2a =1，
所以，112a =，2
1)
21(21
44--=S ＝15
2。

三．解答题
13.已知数列{}n a 满足：10a =，2
12
21,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,
n =．
⑴求345,,a a a 的值；⑵设121n n b a -=+，1,2,3,
n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；
14.设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+
++，n *∈N ，已知1b m =，232
m
b =
，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比；⑵当1m =时，求n b ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围． 【解析】⑴由已知11b a =，所以1a m =；
2122b a a =+，所以12322a a m +=，解得22m
a =-；
所以数列{}n a 的公比1
2q =-；
⑵当1m =时，1
12n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭，
121(1)2n n n b na n a a a -=+-+
++，………………………①，
2311
(1)22
n n n b na n a a a +-=+-+++，……………………②，
②－①得2313
2
n n n b n a a a a +-=-+++
++，。