人教A版数学必修一汶上一中—高一上学期期末模拟考试.docx
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汶上一中2013—2014学年高一上学期期末模拟考试
数学
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上)。
1. 非空集合{}{}
135,116X x a x a Y x x =+≤≤-=≤≤,使得()X X Y ⊆⋂成立的所有a 的集合是( )
A. {}
37a a ≤≤ B. {}07a a ≤≤ C.{}37a a <≤ D.{
}7
a a ≤
2.已知幂函数()y f x =的图像过点
(2,2),则这个幂函数的解析式是( ) A .12
y x = B . 12
y x -= C . 2y x = D . 2
y x -=
3.若集合23={}M x y x x =
-,1
={2()}2
x N x y =-,则M N ⋂=( )
A.[1,1]-
B.[0,1]
C.(,0]([1,)-∞⋃+∞
D.(,1][1,)-∞-⋃+∞ 4.在(0,2)π上,若tan sin θθ>,则θ的范围是( )
A.(0,)(,)22π
ππ⋃ B.3(,)(,)22ππππ⋃ C.3(0,)(,)22πππ⋃ D.3(,)(,222ππ
ππ⋃)
5. 若2
()(2tan )1f x x x θ=+-在[ 1,3-]上为减函数,则θ的取值范围是( )
A . (,]2
3k k π
π
ππ-+-
+ ( k ∈Z ) B. [,)32
k k π
π
ππ++ ( k ∈Z ) C . (,]2
4k k π
π
ππ-+-
+( k ∈Z ) D. [,)42
k k π
π
ππ++ ( k ∈Z ) 6.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a
b c ===,则,,a b c 的大小关系是( )
A .a b c <<
B .c a b <<
C .a c b <<
D .b c a <<
7.要得到)4
2sin(3π
+=x y 的图象只需将x y 2sin 3=的图象 ( )
A .向左平移
4π个单位B .向右平移4π
个单位 C .向左平移8π个单位D .向右平移8
π
个单位
8.函数6ln )(-+=x x x f 的零点所在区间为( )
A.)3,2(
B. )4,3(
C. )5,4(
D. )6,5(
9.已知a =(1,-1),b =(λ,1),a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A .λ>1
B .λ<1
C .λ<-1
D .λ<-1或-1<λ<1 10.定义在R 上的偶函数)(x f ,满足)()(x f x f =+π,且当]2
,0[π
∈x 时,x x f sin )(=,则)3
5(
π
f 的值为 ( ) A.2
1-
B.23
C. 23-
D. 21
11. 函数1()122
x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥,设0a b >≥,若()()f a f b =,()b f a ⋅的取值范围是( )
A .1
(0,]4
B .3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C .()0,2
D . 33,
42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12. 若()y f x =(x ∈R )是周期为2的偶函数,且当01x ≤≤时,2
()2f x x x =-,则方程3()0f x x -=的实根个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4 二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)。
13.圆锥的底面半径是1,它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为 。
14.用过球心的平面将一个球分成两个半球,则一个半球的表面积与原来整球的表面积之比为 。
15.已知函数
2333log 4)3(2+=x f x ,则()f x = 。
16.在函数①x
y ⎪
⎭⎫ ⎝⎛=21;②x y 2log =;③x y =中,满足性质()()222
121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+的是函数
(填写所有满足要求的函数序号)。
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
) 17.(本小题满分10分)
设集合A =}31|{<≤-x x ,B =}242|{-≥-x x x ,C =}02|{>+a x x . (1)求B A ⋂,B A ⋃;
(2)若满足C B ⊆,求实数a 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 设()cos()3
f x A x π
ω=-(0,0A ω>>)的最小正周期为2,图像经过点(0,1)P .
(1) 求A 和ω;
(2) 求()f x 在区间[0,1]上的最大值和最小值.
19.(本小题满分12分) 设2
()(ln )ln 2f x a x x =--. (1)若()2f e =-,求x 的值;
(2)若[,]x e e ∈时()0f x <,求a 的取值范围.
20. (本小题满分12分)
已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==. (1)求()f x 的解析式;
(2)若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调...
,求实数a 的取值范围; (3)在区间[1,1]-上,()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方,试确定实数m 的取值范围.
21. (本小题满分12分)
已知定义域为R 的函数12()22
x x b
f x +-+=+是奇函数.
(1)求b 的值;
(2)判断函数()f x 在R 上的单调性并加以 证明;
(3)若对任意的t R ∈,不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
设二次函数f (x )=ax 2
+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a
1. ⑴当x ∈(0, x 1)时,证明x <f (x )<x 1;
⑵设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称,证明x 0<2
1
x .
参考答案:
1-5 AAACA 6-10 CCCBB 11-12 BD
13. 2 14. 3:4 15. 233log 4)(2+=x x f 16. ②③ 17.解:(1)∵}2|{≥=x x B , ∴}32|{<≤=⋂x x B A ,
}1|{-≥=⋃x x B A .
(2)∵}2|{a
x x C ->=,
又∵C B ⊆,∴22
<-a
,∴4->a .
18.解:(1) 因为()f x 的最小正周期为2, 所以 22T π
ω
=
=,即ωπ=.
又因为()f x 的图像经过点(0,1)P , 所以(0)1f =,即cos()13
A π
-
=,解得2A =.
(2) 由(1)得()2cos()3
f x x π
π=-.
设3
t x π
π=-
,则2cos y t =.
由01x ≤≤得:23
3
t π
π-
≤≤
. 因为2cos y t =在[,0]3
t π
∈-上单调递增,在2[0,
]3
t π
∈上单调递减, 所以当0t =,即1
3
x =时,y 取得最大值2; 当23
t π
=
,即1x =时,y 取得最小值1-. 19.解(1)证明:因为()2f e =-,所以2
(ln )ln 22a e e --=-,即1a =.
所以2
()(ln )ln 2f x x x =--.由2
()(ln )ln 20f x x x =--=得
(ln 2)(ln 1)0x x -+=,即ln 2x =或ln 1x =-,即2x e =或1x e -=.
(2)因为[,]x e e ∈时()0f x <,
所以[,]x e e ∈时有2
(ln )ln 20a x x --<,
即22
ln 211
2()(ln )ln ln x a x x x
+<
=+. 设1ln t x
=
,则22a t t <+.由[,]x e e ∈得[1,2]t ∈.因为关于t 的二次函数2
2t t +在[1,2]t ∈上单调递增,所以2
2t t +的最小值在1t =处取得,这个最小值为3, 所以3a <.
20.
21.解:(1)因为()f x 在定义域为R 上是奇函数,所以(0)f =0,即
1
0122
b b -=∴=+ (2)由(Ⅰ)知11211
()22221
x x x f x +-==-+++,
设12x x <则21
1212121122()()2121(21)(21)
x x x x x x f x f x --=-=++++ 因为函数y=2x
在R 上是增函数且12x x < ∴2122x x ->0
又12(21)(21)x x
++>0 ∴12()()f x f x ->0即12()()f x f x > ∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.
(3)因()f x 是奇函数,从而不等式: 2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于2
2
2(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-, 因()f x 为减函数,由上式推得:2
2
22t t k t ->-. 即对一切t R ∈有:2
320t t k -->, 从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<-
22.证明:(1)令F(x)=f(x)-x .因为x 1,x 2是方程f(x)-x =0的根,所以
F(x)=a(x -x 1)(x -x 2).
当x ∈(0,x 1)时,由于x 1<x 2,得(x -x 1)(x -x 2)>0,又a >0,得
F (x )=a (x -x 1)(x -x 2)>0,即x <f(x).
)]
(1)[())(()]
([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=-
因为a
x x x 1021<
<<< 所以x 1-x >0,1+a (x -x 2)=1+ax -ax 2>1-ax 2>0.得 x 1-f(x)>0.
由此得f(x)<x 1. (2)依题意知a
b x 20-
= 因为x 1,x 2是方程f (x )-x =0的根,即x 1,x 2是方程ax 2
+(b -1)x +c =0的根. ∴a
b x x 1
21--
=+, a
ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-
= 因为ax 2<1,所以2
21
10x a ax x =<
.。