精编2020高考数学《立体几何初步》专题测试版题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ
⊥（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））
2．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）
（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12
V (2005全国3文)
3．在空间，下列命题正确的是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）. ①如果两直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b . ②如果直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β. ①
果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直，那么a ⊥β.
④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ. （2000北京安徽春季18）
4．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B ．若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M
C ．若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M
D ．若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N （2003上海春13）
5．α、β表示平面，a 、b 表示直线，则α//a 的一个充分条件是 ( ）
()A βα⊥，且β⊥a ()B b =βα ，且b a // )(C b a //，且α//b ()D βα//，且β⊂a
6．正方体的两条对角线相交所成角的正弦值等于------（ ）
(B)1
3
二、填空题
7．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm 时，圆柱的表面积最小． 8．
若正三棱锥的底面边长为1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 9．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ， 且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有 组
10．两个平面可以将空间分成_____________个部分． 11．设 ， 为两不同直线及平面，给出下列四个命题：
①若 ，
，则
； ②若
，
，则
； ③若
， 与 相交，则 与 也相交；④若 与 异面，
，则
．
其中正确命题的序号是__________；
12．对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：
其中正确的命题的个数是
13．已知直线b a ,和平面α，若αα⊥⊥b a ,，则a 与b 的位置关系是 ． 14．在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B - AC - D ，则折后BD = ．
15．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则下列4组条件中所有 能推得a b ⊥的条件是 ▲ ．（填序号）
①,a b αβαβ⊂⊥‖,
；②,,a b αβαβ⊥⊥⊥； ③,,a b αβαβ⊂⊥‖；④,a b αβαβ⊥‖,
‖．
16．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认
βαβαγαβγβαα
ααα⊥⊂⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则若则若则若则若,,)4(,//,,)3(//,,)2(,,,//)1(m m n n m m n n m m
为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．①③④⇒②（或②③④⇒①）
17．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，22,901====∠AC BC AA ACB o
，D 为
1AA 中点.
（Ⅰ）求证：11CD B C ⊥；
（Ⅱ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅲ）求三棱锥11C B CD -的体积. 【解析】（Ⅰ）∵11190A C B ACB ∠=∠
= ∴1111B C A C ⊥又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥ ∴11B C ⊥平面11ACC A 又CD ⊂平面
11ACC A ∴11B C CD ⊥.
（Ⅱ）由122AA BC AC ===，D 为1AA
中点，可知1DC DC ==
∴222
114DC DC CC +==即1CD DC ⊥.
又11B C CD ⊥ ∴ CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD ,故平面1B CD ⊥平面11B C D . （Ⅲ）
18．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为
43
π
，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．
19．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 . 12π
20．（1）直线,a b 相交于点P ，夹角为60，过点P 作直线，该直线与,a b 的夹角均为
60，这样的直线可作_____条；
（2）异面直线,a b 成60角，P 为空间一点，过点P 且与,a b 所成的角都是60的直线可
C 1
B 1
A 1 B
A D
C
作_____条；
21．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的 中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为
三、解答题
22．正四棱柱的体对角线长为3cm ，它的表面积为2
16cm ，求它的体积．
23．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分
别是AP 、AD 的中点，求证： （1）直线EF ∥平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面PAD(本小题满分14分)
24．如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面
ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:
(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD （2013年高考北京卷（文））
25．如图，已知AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，△ACD 是正三角形，
2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点．
（1）求证：//AF 面BCE ； （2）求证：面BCE ⊥面CDE ；
A
（3）设1AB =，求多面体ABCDE 的体积． （本题满分14分）
26．已知空间四边形ABCD 的对角线AC 、BD ，点E 、F 、
G 、H 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点．求证：三线段EG 、FH 、 MN 交于一点且被该点平分．
证明：如图所示，连接EF 、FG 、GH 、HE .∵E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥HG ，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．设EG ∩FH ＝O ，则O 平分EG 、FH .同理，四边形 MFNH 是平行四边形，设MN ∩FH ＝O ′，则O ′平分MN 、FH . ∵点O 、O ′都平分线段FH ，∴点O 与点O ′重合，∴MN 过EG 和 FH 的交点，即三线段EG 、FH 、MN 交于一点且被该点平分．
27．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为菱形，VA ⊥平面,ABCD E 为VA 的中点，F 为BC 的中点，3,2,4,VA AC BD ===求证： （1）平面VBD ⊥平面VAC ; (2);EF VCD ∥平面 (3)求点C 到平面VBD 的距离。

28．直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，
222AB AD CD ===．问：在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面ACB 1平行？证明你的
结论．
29．已知：如图，四面体A BCD -中，,,AB CD AD BC H ⊥⊥为BCD
的垂心。

求
A
B
C
D
D1
C 1
B 1
A 1
证：AH 平面BCD
A
B D
H
C
30．如图，P,Q,R分别是三棱椎A—BCD的棱AC，BC，BD的中点，过三点P，Q，R 的平面交AD于S．求证：四边形PQRS是平行四边形．。