(好题)高中数学必修三第三章《概率》检测题(有答案解析)(2)

一、选择题
1．在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则cos x π的值介于2
2与32
之间的概率为
（ ） A ．13
B ．14
C ．
15 D ．
16
2．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
2129
B ．
2329
C ．
1112
D ．
1213
3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．
15
B ．
13
C ．
35
D ．
23
4．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．
13
B ．
47
C ．
23
D ．
56
5．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin
8
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如
图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的
概率为（ ）
A ．136
B ．118
C ．
116
D ．
18
6．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
949
π B 33π
C ．
3
3π
D ．
9
π 7．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．
25
B ．
35
C ．38
D ．
58
8．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。

在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ） A ．
15
B ．
1115
C ．
35
D ．
13
9．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．
m
m n
+ B ．
n
m n
+ C ．
4m
m n
+ D ．
4n
m n
+ 10．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方
形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A ．
14
B ．
316
C ．38
D ．
716
11．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）
A ．
()
23323
ππ-- B ．
()323
π-
C ．
(
)
3
23
π+ D ．
(
)
23323
ππ-+
12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O 为大圆圆心，线段AB 为小圆直径．△AOB 的三边所围成的区域记为I ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）
A ．123p p p >>
B ．123p p p =+
C ．213p p p >>
D ．123p p p =>
二、填空题
13．已知函数2()22f x x =
-M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随
机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．
14．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全
相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.
15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别13，1
2
，p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为
7
18
，则p 的值为_____． 16．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于________.
17．已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个白球的概率为__________.
18．若正方体1111ABCD A B C D 的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________. 19．
为长方形，
，
，为
的中点，在长方形
内随机取一点，取
到的点到的距离大于1的概率为________．
20．从一堆产品(正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件
④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件
其中正确的有______(填序号)．
三、解答题
21．2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),
[65,75)，得到如下直方图：
（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数； （2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.
22．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为
人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付
作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占2
3
，在仍以现金作为首选支付方
式的人中，45岁及以上的有30人.
（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.
23．2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）
为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.
（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；
（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
附：
2
2
()
=
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
++++
，其中n a b c d
=+++
参考数据：
24．某公司结合公司的实际情况针对调休安排展开问卷调查，提出了A，B，C三种放假方案，调查结果如下：
35岁以下 20 40 80 35岁以上（含35岁） 10
10
40
n ”的人中抽取了6人，求n 的值；
（2）在“支持B 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.
25．某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，
[120,130)，[130,140)，[140,150].
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y 的情况如下表所示： 分组区间 [100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
y
15
40
40
m
n
且区间内英语人数与数学人数之比为，现从数学成绩在的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.
26．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，可知其概率平分别为
1(),1000P A =
101(),1000100
P B ==501
()100020P C ==． （1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据余弦函数的图象和性质，求出cos x π
之间时，自变量x 的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案. 【详解】
cos 22
x π≤≤，11,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ 则：
1164x ≤≤或11
46
x -≤≤- 在区间11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上随机取一个数，cos x π
的值介于2
与2
之间的概率： 11214611622
P ⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=+ 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，几何概型，考查了分析问题的能力，属于中档题.
2．A
解析：A 【解析】
试题分析：设水深为x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 详解： 设水深为x 尺， 则（x+2）2=x 2+52， 解得x=214， 即水深21
4
尺． 又葭长
29
4
尺，
则所求概率为21 29
.
故选A．
点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
3．A
解析：A
【分析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336
+=，利用古典概型求解即可.
【详解】
6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),
而加数全为质数的有(3,3),
根据古典概型知，所求概率为
1
5 P=.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.
4．B
解析：B
【分析】
由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是604
1057
=，得解．
【详解】
由已知有分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有
1111 151********
C C C C
⋅-⋅=种不同的选法，
又已知有人表现突出，且B县选取的人表现不突出，则共有11
51260
C C⋅=种不同的选法，
已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是
604 1057
=.
故选：B．
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系. 5．D
解析：D
【分析】
根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可． 【详解】
由已知，可得大圆的直径为y ＝3sin 8
πx 的周期，由
T 216
8
π
π==，
可知大圆半径为8， 则面积为S ＝64π，
一个小圆的周长242l r r π==∴= 故小圆的面积S ′＝π•22＝4π， 在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P 2'81
648S S ππ===， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．
6．B
解析：B 【分析】
设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】
如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.
设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303
AB AD CD ===.所以217233
ABC S r ∆⨯==
，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率22333493
r P ππ==
故选：B. 【点睛】
本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【分析】
直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

【详解】
从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为4416n =⨯=，即()()()()
()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,4,1,4,2,4,3,4,4，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为10m =，即
()()()()()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,2,2,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4，
故所求概率105168
m P n ===，故选D 。

【点睛】
本题主要考查古典概型概率的求法。

8．B
解析：B 【分析】
找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可. 【详解】
不超过15的素数为2,3,5,7,11,13，共6个，任取2个分别为2,3（），2,5（），2,7（），2,11（），2,13（），3,5（），3,7（），3,11（），3,13（），5,7（），5,11（），5,13（），7,11（），7,13（），11,13（），共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古
典概型概率公式知11
15
P=. 【点睛】
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个
数构成点的坐标在圆2
2
1x y +=内，进一步得到2
1
14
11+m m n
π⨯=⨯，则答案可求。

【详解】
总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角
形是指两个数构成的坐标在圆2
2
1x y +=内，则2
1
1411+m m n
π⨯=⨯，即4+m m n π=，故选：C 。

【点睛】
本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目。

10．B
解析：B 【分析】
设正方形的边长为2，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】
设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，
则正方形的对角线长为
42
=
，
对应每个小等腰三角形的面积11
24
S ==， 则阴影部分的面积之和为13
344
⨯
=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为3
446
31=，故选：B ． 【点睛】
本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【分析】
设2BC =，将圆心角为
3
π
的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233
ππ⨯⨯， 等边ABC ∆
的面积为
212sin 23π
⨯⨯=
23
π- 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，
即
222233πππ⎛+⨯-=- ⎝
∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率
()(
)
3233
123
23
πππ--
=
--，故选A.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
设OA ＝2，则AB 22=，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】
设OA ＝2，则AB 22=，
1
2222
AOB
S
=⨯⨯=， 以AB 中点为圆心的半圆的面积为2
1(2)2
ππ⨯=， 以O 为圆心的大圆面积的四分之一为2
124
ππ⨯=， 以AB 为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2， 黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣2）＝2， 图Ⅲ部分的面积为π﹣2． 设整个图形的面积为S ，
则p 12S =
，p 22S =，p 32S π-=． ∴p 1＝p 2＞p 3， 故选D ．
【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．
二、填空题
13．【分析】根据函数解析式可求得定义域和的定义域即可由几何概型概率求解【详解】函数的定义域为则的定义域为即解得即根据几何概型的概率计算公式得故答案为：【点睛】本题考查了函数定义域的求法复合函数定义域的求
解析：
22
- 【分析】
根据函数解析式，可求得()f x 定义域M 和(())y f f x =的定义域P ，即可由几何概型概率求解. 【详解】
函数()f x =
M ，则[1,1]M =-，
(())y f f x =的定义域为P
[]1,1-
，解得1,22x ⎡⎤
∈--⋃⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
，即1,22P ⎡⎤
=--⋃⎢⎢
⎥⎣
⎦⎣⎦．
根据几何概型的概率计算公式得212⎛⨯- ⎝⎭=．
故答案为：22
-. 【点睛】
本题考查了函数定义域的求法，复合函数定义域的求法，几何概型概率求法，属于中档题.
14．【分析】先列举出总的基本事件在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数进而可得中奖率【详解】解：先观察成语中的相同的字用字母来代替这些字气—A 风—B 马—C 信—D 河—E 意—F 用ABFBCFCDAED
解析：2
5
【分析】
先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率. 【详解】
解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A ，风—B ，马—C ，信—D ，河—E ，意—F ，用ABF ，B ，CF ，CD ，AE ，DE 分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意
马、信马由缰、气壮山河、信口开河， 则从盒内随机抽取2张卡片有
()()()(),,,,,,,,
ABF B ABF CF ABF CD ABF AE ()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,ABF DE B CF B CD B AE B DE CF CD CF AE CF DE ()()(),,,,,CD AE CD DE AE DE 共15个基本事件，
其中有相同字的有()()(),,,,,,ABF B ABF CF ABF AE (),,CF CD ()(),,,CD DE AE DE 共6个基本事件， 该游戏的中奖率为62155
P ==， 故答案为：25
. 【点睛】
本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.
15．【分析】在甲乙丙处投中分别记为事件恰好投中两次为事件发生由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果【详解】在甲乙丙处投中分别记为事件ABC 恰好投中两次为事件发生故恰好投中两次的概率P （1）解得p 故答
解析：2
3
【分析】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，恰好投中两次为事件ABC ，ABC ，ABC 发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【详解】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ， 恰好投中两次为事件ABC ，ABC ，ABC 发生，
故恰好投中两次的概率P
()1111113232p p ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭（113-）17218
p ⨯⨯=， 解得p 2
3=
． 故答案为：2
3
．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．【分析】将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线由此分别计算出满足要求的方法数最后即可计算出相应概率【详解】由于4条体对角线都经过正方体的中心所
解析：
920
【分析】
将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线，（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线，由此分别计算出满足要求的方法数，最后即可计算出相应概率. 【详解】
由于4条体对角线都经过正方体的中心,所选的两条对角线至少包含一条面对角线： ①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面,考虑重复选取，125
302
⨯∴
=(种)； ②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12224⨯=(种)
∴概率为2
1630249
20
C +=. 故答案为：920
. 【点睛】
本题考查异面直线的理解以及用排列组合的方法计算概率，难度一般.排列组合的方法计算相应概率时，可采用古典概型的概率计算方法：先计算出基本事件的总数，然后计算出满足要求的基本事件的数量，此时P =
满足要求的基本事件数量
基本事件的总数
.
17．【分析】通过分析恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球甲中一黑球乙中一白球于是分别计算概率相加即得答案【详解】恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球甲中一黑球乙中一白球甲中一白球乙中一黑球概
解析：1
2
【分析】
通过分析恰有一个白球分为两类：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分别计算概率相加即得答案. 【详解】
恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率为：3235410⨯=，甲中一黑球乙中一白球概率为：222
5410
⨯=，故所求概率为
1
2
. 【点睛】
本题主要考查乘法原理和加法原理的相关计算，难度不大，意在考查学生的分析能 力，计算能力.
18．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】
由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16
π
-
【解析】 【分析】
先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】
由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE 的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分， 其体积为3
1493832
V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276
P π
π=-=-．
【点睛】
本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础
19．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O 点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S 解析：
【解析】 【分析】
由题意，得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方
形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.
【详解】
由题意，如图所示，可得长方形的面积为
，
以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，
所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分， 所以概率为
.
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量
”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据
求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件如果两个事件为互斥事件且其中必有一个发生即为对立事件对选项一一判断即可得到正确结论【详解】恰好有1件次品和恰好2件都是次品不能同时发生是互斥事件故正确；至 解析：①②④
【分析】
运用不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项一一判断，即可得到正确结论． 【详解】
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；
②“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故②正
确；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，
不是互斥事件但不是对立事件，故③不正确；
④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，④正确．
故答案为①②④． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件和对立事件的判断，考查判断和分析能力，属于基础题．
三、解答题
21．（1）32.5 （2）511
P = 【分析】
（1）中位数是直方图中把频率等分的那一点对应的数据．
（2）由直方图得年龄在[55,65)和[65,75)的乘客人数频率都为0.05，可得人数，计算抽取方法总数和来自同一年龄段的方法数后可计算概率． 【详解】
（1）由直方图可知：中位数在[)25,35区间内，设中位为x . 由题可得：0.2(25)0.040.532.5x x +-⨯=⇒=，
所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5 （2）年龄在[55,65)和[65,75)的乘客人数相等，频率为
(10.20.40.20.1)20.05----÷=．人数为1200.056⨯=人
则在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：。