广西桂林一中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年广西桂林一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}
2．下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）
A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x
3．已知集合A={1，3，m2}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）
A．3 B．0或3 C．1或0 D．1或3
4．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=2x2+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2
5．（log227）=（）
A．1 B．C．2 D．3
6．﹣2log510﹣log50.25+2=（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|
8．已知a=，b=，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
9．设，则f（g（π））的值为（）
A．1 B．πC．﹣π D．没有正确答案
10．函数f（x）=ax5﹣bx+1，若f（lg（log510））=5，求f（lg（lg5））的值（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．﹣9
11．f（x）是R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x3+ln（x+1），当x＞0时，f（x）（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）
12．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=3x﹣x+5b（b为常数），则f（﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空
13．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|2x﹣1＜2}，则A∩B= ．
14．若函数f（x）=﹣|3x+a|在区间有最小值﹣3
（1）求实数a的值，
（2）求函数的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， 2x （1）求当x＜0时，函数f（x）的表达式
（2）解不等式f（x）≤3．
22．（12分）已知函数是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并给出证明．
2016-2017学年广西桂林一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．
【解答】解：∵∁U A={0，4}，
∴（∁U A）∪B={0，2，4}；
故选D．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）
A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】代入选项直接判断正误即可．
【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；
对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；
对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；
对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．
3．已知集合A={1，3，m2}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）
A．3 B．0或3 C．1或0 D．1或3
【考点】并集及其运算．
【分析】根据两个集合之间的关系，得到B⊂A，当一个集合是另一个集合的子集时，根据两个集合的元素之间的关系得到关系式，解方程即可．
【解答】解：∵B∪A=A，
∴B⊂A，
∵集合A={1，3，m2}，B={1，m}，
∴m=3，或m2=m
∴m=3或m=0，
故选：B
【点评】本题考查集合之间的关系，本题解题的关键是根据两个集合之间的包含关系，得到元素之间的关系，注意集合元素的三个特性．
4．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=2x2+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】集合中元素个数的最值．
【分析】根据集合的元素关系确定集合即可
【解答】解：集合A={﹣1，1}，B={0，2}，
∴集合{z|z=2x2+y，x∈A，y∈B}={2，4}，
故选D．
【点评】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．
5．（log94）（log227）=（）
A．1 B．C．2 D．3
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数性质、运算法则和换底公式求解即可得答案．
【解答】解：（log94）（log227）===3，
故选：D．
【点评】本题考查对数化简求值，解题时要注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用，是基础题．
6．﹣2log510﹣log50.25+2=（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的性质、运算法则求解． 【解答】解：﹣2log 510﹣log 50.25+2 =﹣（log 5100+log 50.25）+2 =﹣log 525+2 =﹣2+2 =0． 故选：A ．
【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题要时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．
7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．y=
D ．y=x|x|
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A ．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件． B ．y=﹣x 2是偶函数，不满足条件．
C ．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．
D ．设f （x ）=x|x|，则f （﹣x ）=﹣x|x|=﹣f （x ），则函数为奇函数， 当x ＞0时，y=x|x|=x 2，此时为增函数，
当x ≤0时，y=x|x|=﹣x 2
，此时为增函数，综上在R 上函数为增函数． 故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．
8．已知a=
，b=
，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a 【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=＜0，b=＞1，c=2log52∈（0，1），
则a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．设
，则f（g（π））的值为（）
A．1 B．πC．﹣π D．没有正确答案
【考点】函数的值．
【分析】由函数性质得g（π）=，从而f（g（π））=f（），由此能求出结果．
【解答】解：∵
，
∴g（π）=，
∴f（g（π））=f（）=﹣π．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10．函数f（x）=ax5﹣bx+1，若f（lg（log510））=5，求f（lg（lg5））的值（）A．﹣3 B．5 C．﹣5 D．﹣9
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据对数的运算性质，结合函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：lg（log510））=lg（））=﹣lg（lg5），
则设t=lg（lg5），
则由f（lg（log510））=f（﹣t）=5，
∵f（x）=ax5﹣bx+1，
∴f（﹣t）=﹣at5+bt+1=5，
则f（t）=at5﹣bt+1，
两式相加得f（t）+5=2，
则f（t）=2﹣5=﹣3，
即f（lg（lg5））的值为﹣3，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据对数的运算法则以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
11．f（x）是R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x3+ln（x+1），当x＞0时，f（x）（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用函数的奇偶性与已知条件转化求解即可．
【解答】解：f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x）；
当x≤0时，f（x）=x3+ln（x+1），
则当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=﹣x3+ln（1﹣x）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，是基础题．
12．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=3x﹣x+5b（b为常数），则f（﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用函数的奇偶性的性质求解即可．
【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，可得1+5b=0，5b=﹣1．
当x≥0时，f（x）=3x﹣x﹣1，
则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（31﹣1﹣1）=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力．
二、填空
13．若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|2x﹣1＜2}，则A∩B= {x|＜x＜} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣，即A={x|x＞}，
由B中不等式解得：x＜，即B={x|x＜}，
则A∩B={x|＜x＜}，
故答案为：{x|＜x＜}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
14．若函数f（x）=﹣|3x+a|在区间，且开口向下
∴当x=95时，y max=1225．
即商品的售价定为95元时，销售利润最大，最大利润为1225元．
【点评】本题考查了二次函数在实际中的应用，关键是设出变量由条件列出解析式，要求出函数的定义域，再转化为函数问题求解．
20．（12分）（2016秋•秀峰区校级期中）已知函数f（x）=﹣﹣ax+a，在区间有最小值﹣3
（1）求实数a的值，
（2）求函数的最大值． 【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）函数f （x ）=﹣﹣ax+a ，对称轴为x=﹣a ，对称轴进行分区间讨论，
找出f （x ）最小值时x 的取值；
（2）由（1）知要使得f （x ）最小值为3，对称轴须在内，再分别求出最大值；
【解答】解：函数f （x ）=﹣
﹣ax+a ，对称轴为x=﹣a ；
（1）①当﹣a ≤﹣2时，即a ≥2：f （x ）min =f （2）=﹣3⇒a=1，故舍去；
②当﹣a ≥2时，即a ≤﹣2：f （x ）min =f （﹣2）=﹣3⇒a=﹣
，故舍去；
③当﹣2＜﹣a ≤0时，即：0≤a ＜2：f （x ）min =f （2）=﹣3⇒a=1，满足题意；
④当0＜﹣a ≤2时，即：﹣2≤a ＜0：f （x ）min =f （﹣2）⇒a=﹣，满足题意；
综上，函数f （x ）=﹣
﹣ax+a ，在区间有最小值﹣3时，a=1或﹣
；
（2）当﹣2＜﹣a ≤0时，a=1，所以f （x ）=﹣x 2
﹣x+1，f （x ）max =f （﹣a ）=f （﹣1）=
；
当0＜﹣a ≤2时，a=，所以f （x ）=﹣
+
﹣
，f （x ）max =f （﹣a ）
=f （
）=﹣
；
【点评】本题主要考查了二次函数的图形特征，以及分类讨论思想的应用，属中等题．
21．（12分）（2016秋•秀峰区校级期中）已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，
2x
（1）求当x ＜0时，函数f （x ）的表达式 （2）解不等式f （x ）≤3．
【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据奇函数的定义与性质，求出x ＜0时f （x ）的解析式即可； （2）由题意，分别求出x ＞0和x ＜0时对应不等式的解集即可． 【解答】解：（1）函数f （x ）为奇函数，
当x ＞0时，
2x ，
所以，当x ＜0时，﹣x ＞0，
f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣2（﹣x ）=﹣（﹣2x ），
所以f （x ）=；
（2）由题意：当x ＞0时有2x ≤3，解得x ≥；
当x ＜0时有﹣（﹣2x ）≤3，
即
（﹣2x ）≥﹣3，解得x ≤﹣
；
综上，原不等式的解集为{x|x ≤﹣
或x ≥
}．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，以及分段函数“分段处理”的应用问题，属于基础题．
22．（12分）（2016秋•秀峰区校级期中）已知函数是
奇函数
（1）求常数a 的值
（2）判断函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并给出证明． 【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）由函数解析式求出定义域，由奇函数的性质得f （1）+f （﹣1）=0，代入列出方程求出a 的值；
（2）由指数函数的单调性先判断，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论证明．
【解答】解：（1）∵
是奇函数，
∴定义域是{x|x ≠0}，f （1）+f （﹣1）=0，
则
，
解得a=；
（2）由（1）得，，
则f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是减函数，
证明如下：任取0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣（）
==，
∵x1，x2∈（0，+∞），∴＞0，＞0，
又x1＜x2，则＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当x1，x2∈（﹣∞，0）时，同理可证f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
综上知，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是减函数．
【点评】本题考查了奇函数的性质，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明函数的单调性，以及指数函数的单调性，考查化简、变形能力．。