2014年高考文科数学真题问题详解全国卷1

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2014年高考文科数学真题及答案全国卷1
一、选择题（题型注释）
1．已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M
N =（ ）
A. )1,2(-
B. )1,1(-
C. )3,1(
D. )3,2(- 【答案】B 【解析】
试题分析：根据集合的运算法则可得：{}|11M
N x x =-<<，即选B ．
考点：集合的运算 2．若0tan >α，则
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α 【答案】C 【解析】
试题分析：由sin tan 0cos α
αα
=>，可得：sin ,cos αα同正或同负，即可排除A 和B ，又由sin 22sin cos ααα=⋅，故sin 20α>.
考点：同角三角函数的关系 3．设i i
z ++=
11
，则=||z A.
2
1
B. 22
C. 23
D. 2
【答案】B
【解析】
试题分析：根据复数运算法则可得：11111
1(1)(1)222
i i z i i i i i i i --=
+=+=+=-++-，
由模的运算可得：||2
z ==. 考点：复数的运算
4．已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2
5 D. 1 【答案】D
【解析】
试题分析：由离心率c e a
=可得:222
2
32a e a +==，解得：1a =． 考点：复数的运算
5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论
中正确的是
A.)()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C 【解析】
试题分析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ． 考点：函数的奇偶性
6．设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A.AD B.
21 C. 2
1
D. 【答案】A
【解析】
试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，
1
2E B E F F B E F A B
=+=+，同理1
2
F C F E
E C
F E A C
=+=+，则11
1
11()()()()22
2
22
E B
F C E F A B F E A C A B A C A B
+=+++
=+=+=
． 考点：向量的运算
7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π
+=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③ 【答案】A 【解析】
试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22
T π
π==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，
即T π=; ③22T ππ==; ④2
T π=，则选A ．
考点：三角函数的图象和性质
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
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A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱 【答案】B 【解析】
试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．
考点：三视图的考查
9．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =
( )
A.
20
3
B.72
C.165
D.158
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，
则出循环，输出15
8
M =． 考点：算法的循环结构
10．已知抛物线C ：x y =2
的焦点为F ,()y x A
,是C 上一点，x
F A 0
45=，则=
x
（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-
，则有：01||4AF x =+，即有0015
44
x x +=，可解得01x =． 考点：抛物线的方程和定义
11．已知函数3
2
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 【答案】C
【解析】
试题分析：根据题中函数特征，当0a =时，函数2
()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负; 当0a >时，求导可得：2
'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增; 2(0)x a
∈，时函数单调递减，显然存在负零点; 当0a <时，求导可得：
2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：
2(,)x a ∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减; 2
(0)x a
∈，时函数单调递增，欲要使得函
数有唯一的零点且为正，则满足：2()0
(0)0
f a f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222
()3()10a a a
⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）
． 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用 12．设x ，y 满足约束条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =
（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】B 【解析】
试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：
11
(
,)22
a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则
22172
a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值．故选B
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考点：线性规划的应用
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】
23
【解析】
试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P 63
=
=． 考点：古典概率的计算
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：
可以得出结论乙去过的城市为：A ． 考点：命题的逻辑分析
15．设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.
【答案】(,8]-∞ 【解析】
试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由13
2x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞ 考点：1.分段函数;2.解不等式
16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m
.
【答案】150 【解析】
试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知00
45,90,100CAB ABC BC ∠=∠==，易
得：AC =;在AMC ∆
中，已知00
75,60,MAC MCA AC ∠=∠==易得：045AMC ∠=，由正弦定理可解得：
sin sin AC AM
AMC ACM
=
∠∠，即
：3
102
AM =
=;在
AMN
∆中
，
已
知
0060,90,MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.
考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用 八、解答题
17．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）14
22
n n n S ++=-. 【解析】
试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程2560x x -+=，可运用因式分解的方法求
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出它的两根为2,3，即可得出等差数列中的242,3a a ==，运用等差数列的定义求出公
差为d ，则422a a d -=，故12d =
，从而13
2
a =.即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中已求出通项，易求出：1
2
22n n n a n ++=
，写出它的前n 项的形式：2313412
2222
n n n n n S +++=++++，观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用
错位相减的方法进行数列求和，即两边同乘12，即：341213412
22222
n n n n n S ++++=++++，
将两式相减可得：23412131112()222222n n n n S +++=++++-123112
(1)4422n n n +++=+--，
所以14
22
n n n S ++=-.
试题解析：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==. 设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而13
2
a =. 所以{}n a 的通项公式为1
12
n a n =+. （2）设{
}2n
n
a 的前n 项和为n
S ，由（1）知1222n n n a n ++=，则 23134122222n n n n n S +++=++++，
34121341222222
n n n n n S ++++=++++. 两式相减得23412131112
()222222
n n n n S +++=++++-
123112(1)4422
n n n +++=+-- 所以14
22
n n n S ++=-.
考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和
18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】（1）
（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104
（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
【解析】
试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，进而由方差公800.06900.261000.381100.221200.08100
式可得：质量指标值的样本方差为22222
s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=;（3）根
(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104
++=，据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95
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的产品至少要占全部产品80%”的规定. 试题解析：（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
质量指标值的样本方差为
22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.
所以这种产品质量指标值
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68++=，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB
求三棱柱111C B A ABC -的高. 【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -
的高为
7
. 【解析】 试题分析：（1
）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形
是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故
1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的
距离，即：作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高． 试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO.
由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥
.
（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.
因为0
160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =
，可得4
OD =
. 由于1AC AB ⊥，所以11122
OA B C =
=, 由OH AD OD OA ⋅=⋅
，且4AD ==
14OH =， 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC
的距离为
7
. 故三棱柱111ABC A B C -
. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用
20．已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.
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(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833
y x =-+; POM ∆的面积为165
. 【解析】
试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4，根据求曲线方程的方法可设
(,)M x y ，
由向量的知识和几何关系：0CM MP ∙=，运用向量数量积运算可得方程：
22(1)(3)2x y -+-=;（2）由第（1）中所求可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆，加之题中条件||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥，不难得出l 的方程为1833
y x =-+;结合面积公式可求又POM ∆的面积为165
. 试题解析：（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4，
设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，
由题设知0CM MP ∙=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.
（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆.
由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为1
3-，故l 的方程为1833
y x =-+.
又||||OP OM ==，O 到l 的距离为5，||5PM =，所以POM ∆的面积为165
. 考点：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系 21．设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 求b;若存在01,x ≥使得()01
a f x a <-，求a 的取值范围。

【答案】（1）1b =;（2）(1)
(1,)+∞.
【解析】
试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：'()(1)a f x a x b x
=+--，利用上述关系不难求得'(1)0f =，即可得1b =;（2）由第（1）小题中所求b ，则函数()f x 完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：'1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a -=
+--=---根据题意可得要对1a a
-与1的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若12a ≤，则11a a ≤-，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得
0()1a f x a <
-的充要条件为(1)1a f a <-，即1121
a a a --<-，所以
11a <<.（ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1a x a
∈-时，'()0f x <；当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a
+∞-单调递增.所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11
a a f a a <--，无解则不合题意.（ⅲ）若1a >，则11(1)1221a a a f a ---=-=<-.综上，a 的取值范围是
(1)(1,)+∞.
试题解析：（1）'()(1)a f x a x b x =
+--， 由题设知'(1)0f =，解得1b =.
（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2
a f x a x x x -=+-， '1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a
-=
+--=--- （ⅰ）若12a ≤，则11a a ≤-，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增，
所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <
-的充要条件为(1)1a f a <-，即1121a a a --<-，
所以11a <<
. （ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1a x a
∈-时，'()0f x <； 当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a
+∞-单调递增.
所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11
a a f a a <--，
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而2()ln 112(1)11
a a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意. （ⅲ）若1a >，则11(1)1221
a a a f a ---=-=<-.
综上，a 的取值范围是(1)
(1,)+∞. 考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用
22．如图，四边形ABCD 是
的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，
且CB CE =.
（I ）证明：D E ∠=∠；
（II ）设AD 不是的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知A ，B ，C ，D 四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠;（2）不妨设出BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =，由等腰三角形三线合一可得：MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即M N A D ⊥，所以//AD BC ，故A C B E ∠=∠，又C B E E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.
试题解析：（1）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，
由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠.
（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，
故O 在直线MN 上.
又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，
即MN AD ⊥.
所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，
又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠.
由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.
考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质
23．已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t
y t x l 222:（t 为参数） 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
【答案】（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的普通方程为
26y x =-+.
（2）最大值为
5;最小值为5. 【解析】
试题分析：（1）根据题意易得：曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，（θ为参数），直线l 的普通方程为26y x =-+;（2）由第（1）中设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ，
利用点到直线的距离公式可求得：距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-，则
0||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4t a n 3
α=，当
s i n ()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为
5.当sin()1θα+=时，||PA 取
得最小值，最小值为
5. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩，（θ为参数）， 直线l 的普通方程为26y x =-+. （2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为
|4cos 3sin 6|5
d θθ=+-.
则0||5sin()6|sin 30d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，
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当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5
.
当sin()1θα+=时，||PA . 考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性
24．若,0,0>>b a 且ab b
a =+11 （I ）求33
b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
【答案】（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=.
【解析】
试题分析：（111
a b =+≥，得2ab ≥，且当
a b ==33a b +≥≥a b ==
立.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥，而事
实上6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.
试题解析：（111
a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.
故33a b +≥≥a b ==
.
所以33a b +的最小值为.
（2）由（1）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.
考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理。