浙江省丽水市东方中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试题含解析

浙江省丽水市东方中学2018-2019学年高一数学理下学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=f（x）的定义R在上的奇函数，当x＜0时f（x）=x+1，那么不等式f（x）＜的解集是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】可设x＞0，从而有﹣x＜0，根据f（x）为奇函数及x＜0时f（x）=x+1便可得出x＞0时，f（x）=x﹣1，这样便可得出f（x）在（﹣∞，0），[0，+∞）上为增函数，
并且，讨论x：x＜0时，原不等式可变成，从而有，同理可以求出x≥0时，原不等式的解，求并集即可得出原不等式的解集．
【解答】解：设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=﹣x+1=﹣f（x）；
∴f（x）=x﹣1；
∴；
∴，且f（x）在（﹣∞，0），[0，+∞）上为增函数；
∴①若x＜0，由得，f（x）；
∴；
②若x≥0，由f（x）得，；
∴；
综上得，原不等式的解集为．
故选：B．
【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求对称区间上的解析式的方法和过程，一次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及根据函数单调性解不等式的方法．
2. 函数（）在区间上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则的取值范围是
（）
A．B．C． D.
参考答案：
C
3. 数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于（）
A．B． C． D．
参考答案：
B
4. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，3个矩形颜色都不同的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 设，则的大小关系是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
6. 当越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：指数函数增长趋势最快，所以选D.
考点：指数函数单调性
7. 已知函数（其中）的图像相邻对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，则只要将f(x)的图像（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C. 向左平移个单位D．向左平移个单位
参考答案：
D
由题设,则,将代入可得
,所以,则,而
,所以应选D.
8. 设全集,集合，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 在△ABC中，，则B的取值范围是（）
A. B.
C. 或
D. 或
参考答案：
B
【分析】
设（），利用余弦定理建立关于x的函数，从而求出B的范围.
【详解】解：设，则，
由余弦定理可得，，
根据余弦函数的性质可知，,故选B.
【点睛】本题考查三角形已知两边求角范围，余弦定理的应用，三角形的构成条件，基本不等式，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.
10. 函数的图象过定点（）
A.（1，2）
B.（2，1）
C.（-2，1）
D.（-1，1）
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （）（）= ．
参考答案：
【考点】二倍角的余弦．
【专题】计算题．
【分析】由平方差公式将原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得值．
【解答】解：原式=﹣=cos（2×）=cos=
故答案为：
【点评】此题主要考查学生观察式子特征选择平方差公式进行变形，灵活运用二倍角的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值．
12. 若把函数y＝cos(x＋)的图象向左平移m(m＞0)个单位，所得图象关于y轴对称，则m 的最小值是________．
参考答案：
略
13. 从参加数学竞赛的1000名学生中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为_____ .
参考答案：
0795
14. 若向量的夹角为，，则的值为．
参考答案：
2
∵，
∴．
15. 已知函数是偶函数，则实数的值
为
参考答案：
略
16. 已知向量,若向量与反向，且，则向量的坐标是
________.
参考答案：
略
17. 已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1
（n∈N+）．若不等式≤对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为．
参考答案：
【考点】数列递推式．
【分析】通过在a n2=S2n﹣1中令n=1、2，计算可知数列的通项a n=2n﹣1，进而问题转化为求
f（n）=的最小值，对n的值分奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：∵a n2=S2n﹣1，
∴a12=S1=a1，
又∵a n≠0，
∴a1=1，
又∵a22=S3=3a2，
∴a2=3或a2=0（舍），
∴数列{a n}的公差d=a2﹣a1=3﹣1=2，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴不等式≤对任意的n∈N+恒成立，
即不等式≤对任意的n∈N+恒成立，
∴λ小于等于f（n）=的最小值，
①当n为奇数时，f（n）==n﹣﹣随着n的增大而增大，
∴此时f（n）min=f（1）=1﹣4﹣=；
②当n为偶数时，f（n）==n++＞，
∴此时f（n）min＞＞；
综合①、②可知λ≤，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合A={1，3，x2}，B={x+2，1}．是否存在实数x，使得B?A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】可假设B?A，这样便有x+2=3，或x+2=x2，这样解出x，从而得出A，B，判断是否满足B?A即可．
【解答】解：假设存在实数x，使B?A，则x+2=3或x+2=x2．
（1）当x+2=3时，x=1，此时A={1，3，1}，不满足集合元素的互异性．故x≠1．
（2）当x+2=x2时，即x2﹣x﹣2=0，故x=﹣1或x=2．
①当x=﹣1时，A={1，3，1}，与元素互异性矛盾，故x≠﹣1．
②当x=2时，A={1，3，4}，B={4，1}，显然有B?A．
综上所述，存在x=2，使A={1，3，4}，B={4，1}满足B?A．
【点评】考查列举法表示集合，子集的定义，以及集合元素的互异性，比较基础．
19. 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|．
（1）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（2）解不等式f（x）≥5．
参考答案：
【考点】函数的图象．
【分析】（1）利用去掉绝对值符号，化函数为分段函数，然后画出函数的图象．（2）利用函数的图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|=．
函数的图象为：
（2）不等式f（x）≥5，
由函数的图象可知：x≤﹣2或x≥3．
不等式的解集为：{x|x≤﹣2或x≥3}．
【点评】本题考查函数的图象的画法，不等式的解法，函数的图象的应用，是中档题．20. （本题满分12分）已知为上的奇函数，
当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）作出的图象并根据图象讨论关于的方程：
有3个以上根的情况。

参考答案：
（1）当＜0时，-＞0，∵为上的奇函数，∴
∴=-=
即：=………………………………………3分当=0时，由得：……………………4分
所以= ………………………………5分
（2）作图（如图所示）…………8分
由，作直线，……9分
则方程有3个以上根的情况：
或，方程有3个根；…10分
0＜＜1或＜＜0，方程有4个根；
……………………………………11分
=0，方程有5个根。

…………12分
21. 如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
求证：（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．
参考答案：
（1）详证见解析；（2）详证见解析.
【分析】
（1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．
（2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．
【详解】（1）证明：连交于O,
因为四边形是正方形,
所以,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面.
（2）因为平面,
所以,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．22. (本小题满分12分)根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n。

（1）画出执行该问题的程序框图；
（2）以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，请找出错误并予以更正。

参考答案：
（1）程序框图如图所示：
或者：
（2）①DO应改为WHILE;
②PRINT n+1 应改为PRINT n；
③S=1应改为S=0。