2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

a2 xA 4 1 3 c
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1) 2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1) 2+y切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A 、M 、C 共线，
B 、 D、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC MD ）。
在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到
x 轴上，立即可得
防
6
f (m) ( xB x A ) 2 ( xD xC ) 2 2 (xB xA ) ( xD X C )
2 ( xB xC ) (x A xD ) 2 ( xB X C )
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
舍去）
2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，
（ 2）（ 1 ,1） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ QF BQ QR 最小， 此时 Q 点的纵坐标为 1，
3
代入
y
2
=4x
得 x=
1
，∴ Q(
1 ,1)
4
4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
1
题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称
为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用
如“ 2x+y ”，令 2x+y=b，则 b 表示斜率为 -2 的直线在 y 轴上的截距；如“ x 2+y2” , 令 x 2 y 2 d ，
则 d 表示点 P（ x， y）到原点的距离；又如“ 这两点连线的斜率……
y 3 ”，令 y 3 =k，则 k 表示点 P（ x、y）与点 A（ -2 ，3）
M(x 0,y0)，则有
x0 a2
y0 b2
k
0 。(其
中 K 是直线 AB 的斜率 )
x2 （ 2）a 2
y2 b2
1( a
0,b
0) 与直线
l 相交于
A、B，设弦
AB
中点为
M(x 0,y0)则有
x0 a2
y0 b2
k
0(其
中 K 是直线 AB 的斜率 ) （ 3） y2=2px （ p>0）与直线 l 相交于 A 、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p. ( 其中 K 是
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）
总论：常用的八种方法
1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、 K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法
七种常规题型
（ 1）中点弦问题 （ 2）焦点三角形问题 （ 3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （ 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （ 5）求曲线的方程问题
x12 x22 2 y 0
x
2 2
)
2
9① ②
③
由①得
(x
1-x
2
2) [1+(x
1+x
2
2) ]=9
即 [(x 1+x 2) 2-4x1x2]· [1+(x 1+x2)2]=9 ④
由②、③得 2x1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 0 2-2y0
代入④得 [(2x 0) 2-(8x 02-4y0)] · [1+(2x 0)2]=9
5
∴ 4 y0
4
x
2 0
9
1
4
x
2 0
，
4 y0
4
x
2 0
9 4x02
(
4
x
2 0
1)
9 4 x02 1 1
≥ 2 9 1 5, y0 5 4
当 4x0 2+1=3 即 x0
2 2 时， ( y 0 ) min
5
25
此时 M (
,)
4
24
法二： 如图， 2 MM 2 AA2 BB2 AF BF AB 3
离和最小。 （ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥ l 交于 R，则当 B 、 Q、 R 三点共线时，距离和最小。
解：（1）（ 2， 2 ）
连 PF，当 A 、P、F 三点共线时， AP PH AP PF 最小，此时 AF 的方程为 y 4 2 0 (x 1) 31
即 y=2 2 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注： 另一交点为 ( 1 , 2
( x 1) 2 y2
( x 1) 2 y 2 4 ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
4
例
4、△ ABC
中， B(-5,0),C(5,0), 且
sinC-sinB=
3
sinA, 求点
A
的轨迹方程。
5
分析： 由于 sinA 、sinB 、 sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（ R 为外接圆半径） ，可转化为边长
x2
x2
6、参数法
（ 1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点” ），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式
2
求解。如 x 轴上一动点 P，常设 P（ t ， 0）；直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P（ x 1,y 1）外，也可直接 设 P（ 2y1-1,y 1） （ 2）斜率为参数 当直线过某一定点 P(x 0,y 0 ) 时， 常设此直线为 y-y 0=k(x-x 0) ，即以 k 为参数， 再按命题要求依次列式求 解等。 （ 3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法” ，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题： “已知条件 P1,P 2 求（或求 证）目标 Q”，方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2，方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1，方法 3 可将目标 Q以待定的 形式进行假设，代入 P1,P 2, 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析， 选择简易的代入法。 八、充分利用曲线系方程法
1．曲线的形状已知 -------- 这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知 ----- 求轨迹方程 （ 6） 存在两点关于直线对称问题 （ 7）两线段垂直问题
常用的八种方法
1、定义法 （ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，
r1+r2 =2a。第二定义中， r1=ed1 r2=ed2。
（ 2）双曲线有两种定义。第一定义中，
一、定义法【典型例题】
例 1 、 (1) 抛物线 C:y 2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 ) 与到准线的距离和最小
, 则点 P 的坐标为
______________
2
(2) 抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为
。
分析：（ 1） A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PH PF ，因而易发现，当 A 、 P、 F 三点共线时，距
M(x 0y0)用弦长公式
及中点公式得出 y0 关于 x 0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（ 2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。
解法一：
设
A(x
1
，
x
2
1)
，
B(x
2，
x
2
2)
，
AB
中点
M(x 0， y 0)
(x1 x2 ) 2 ( x12 则 x1 x2 2 x0
∴ MM 2
3 ， 即 MM 1
1
3
，
2
42
∴ MM 1
5
， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。
4
y MB
A
A1
0 M1 B1
x
A2
M2 B2
∴ M 到 x 轴的最短距离为 5 4
点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1，x2，从而形成 y 0关于 x 0 的函数，这是一种“设而
不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点
M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，
再利用梯形的中位线，转化为 A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形
“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证
AB 是
否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。
二、韦达定理法 【典型例题】
当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA PF 取得最小值为 4- 5 。
（ 2）作出右准线 l，作 PH⊥ l 交于 H ，因 a2=4 ， b2=3， c2=1， a=2， c=1，e= 1 ， 2
∴ PF 1 PH ,即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
当 A 、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为
“点差法” ，即设弦的
两个端点 A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中点为 M(x 0,y0) ，将点 A 、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中
点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
x2
（ 1） 2
a
y2
2
b
1( a
b
0) 与直线相交于
A 、B ，设弦
AB
中点为
解：如图， MC MD ，
∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2
∴ MA MB 8 （ *）
∴点 M 的轨迹为椭圆， 2a=8， a=4， c=1， b2=15 轨迹方程为 x 2
y2 1
16 15
点评：得到方程（ * ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
的关系。
解： sinC-sinB= 3 sinA 5
∴ AB AC 3 BC 5
2RsinC-2RsinB= 3 · 2RsinA 5
即 AB AC 6 （ * ）
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵ 2a=6， 2c=10 ∴ a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为 x 2 y 2 1 （ x>3 ） 9 16
x2
例 2、 F 是椭圆
4
y 2 1 的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。 3
（ 1） PA PF 的最小值为
（ 2） PA 2 PF 的最小值为
分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径
PF 或准线作出来考虑问题。
解：（1） 4- 5
设另一焦点为 F ，则 F (-1,0) 连 A F ,P F PA PF PA 2a PF 2a ( PF PA ) 2a AF 4 5
1 k 2· △ ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 |a|
5、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在
解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象
为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
直线 AB 的斜率 )
4、弦长公式法
弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦
AB 长的方法是：把直线方程 y kx b 代入圆锥曲
线 方 程 中 ， 得 到 型 如 ax2 bx c 0 的 方 程 ， 方 程 的 两 根 设 为 x A ， xB ， 判 别 式 为 △ ， 则
| AB|
1 k2 ·|xA xB|
r1 r2 2a ，当 r1>r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义
中， r1=ed1， r2=ed2 ，尤其应注意第二定义的应用，常常将
半径与“点到准线距离”互相转化。
（ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接 简明。
2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问
2
例 6、 已知椭圆 x m
2
y
1(2 m 5) 过其左焦点且斜率为
m1
1 的直线与椭圆及准线从左到右依次
交于 A 、 B、 C、 D、设 f(m)= AB CD ,（ 1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。
分析： 此题初看很复杂，对 f(m) 的结构不知如何运算，因 A 、B 来源于“不同系统” ， A 在准线上， B
y
D
C
F1 0 F2
x
B
A
解：（1）椭圆 x 2 m
y2
1
中，
a2=m，
2
b =m-1
，
2
c =1，左焦点
F1(-1,0)
点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（ * ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动， AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。
分析：（ 1）可直接利用抛物线设点，如设
A(x
1
,x
12)
，
B(x
2，
X
2 2
)，又设
AB
中点为